信號(hào)分析與處理-第一章

第1章連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析周期信號(hào)的頻率分解非周期信號(hào)的頻譜連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻率分析1.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析方法有三種時(shí)域分析法頻域分析法復(fù)頻域分析法 時(shí)域分析：將信號(hào)分解為具有不同延時(shí)的簡(jiǎn)單沖激信號(hào)分量的疊加，并通過(guò)卷積的方法進(jìn)行系統(tǒng)的時(shí)域分析1.1.1連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述

時(shí)域描述：用一個(gè)時(shí)間函數(shù)式表示信號(hào)隨時(shí)間而變化的特性1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)的定義：在所討論的時(shí)間內(nèi)，對(duì)于除了若干個(gè)不連續(xù)點(diǎn)以外的任意時(shí)刻值都有定義的信號(hào)，用x(t)表示例如：1.1.1連續(xù)信號(hào)的時(shí)域描述2.基本的連續(xù)信號(hào)（5）單位階躍信號(hào)（1）指數(shù)信號(hào)（2）正弦信號(hào)（3）復(fù)指數(shù)信號(hào)(表達(dá)具有普遍意義)（4）

抽樣信號(hào)(SamplingSignal)函數(shù)表達(dá)式函數(shù)表達(dá)式信號(hào)的表示波形函數(shù)表達(dá)式（6）單位沖激信號(hào)重要特性：其對(duì)時(shí)間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。（1）指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào)通常把稱(chēng)為指數(shù)信號(hào)的時(shí)間常數(shù)，記作

,代表信號(hào)衰減速度，具有時(shí)間的量綱。l

指數(shù)衰減,l

指數(shù)增長(zhǎng)l

直流(常數(shù)),KO（2）正弦信號(hào)振幅：K

周期：頻率：f

角頻率：初相：衰減正弦信號(hào)：

（2）正弦信號(hào)正弦信號(hào)的性質(zhì)：兩個(gè)振幅和初相位均不同的同頻率正弦信號(hào)相加后，結(jié)果仍是原頻率的正弦信號(hào)；若一個(gè)正弦信號(hào)的頻率是另一個(gè)正弦頻率的整數(shù)倍，則它們的合成信號(hào)是另一個(gè)非正弦周期信號(hào)，其周期等于基波的周期正弦信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分和積分仍然是同頻率的正弦信號(hào)（3）復(fù)指數(shù)信號(hào)討論（4）抽樣信號(hào)(SamplingSignal)

性質(zhì)①②③④⑤⑥（5）單位階躍信號(hào)（6）單位沖激信號(hào)（6）單位沖激信號(hào)性質(zhì)：抽樣特性加權(quán)特性（6）單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)為偶函數(shù)尺度變換特性單位沖激信號(hào)的導(dǎo)數(shù)（又叫沖激偶）是一個(gè)奇函數(shù)復(fù)指數(shù)信號(hào)和單位沖激信號(hào)是信號(hào)中用的最多的1.1.2連續(xù)信號(hào)的基本運(yùn)算例子：1.信號(hào)的相加與相乘信號(hào)相加和相乘是指兩個(gè)信號(hào)在任一時(shí)刻函數(shù)值之和或積。公式見(jiàn)教科書(shū)p142.信號(hào)的微分與積分例如3.信號(hào)的時(shí)移與翻褶4.信號(hào)的尺度變換可見(jiàn)教科書(shū)P16例題例題解:驗(yàn)證：已知f(t)，求f(3t+5)。宗量t宗量3t+5函數(shù)值t=-13t+5=-1，t=-21t=03t+5=0，t=-5/31t=13t+5=1，t=-4/30計(jì)算特殊點(diǎn)X時(shí)移標(biāo)度變換標(biāo)度變換時(shí)移1.1.3連續(xù)信號(hào)的時(shí)域分解

可將一個(gè)復(fù)雜信號(hào)分解為具有不同延時(shí)的沖激信號(hào)序列此窄脈沖可表示為任意信號(hào)可分解為出現(xiàn)在不同時(shí)刻的，不同強(qiáng)度的沖激函數(shù)的和。1.1.4連續(xù)信號(hào)的卷積1.卷積的定義：利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。將上式改為1.1.4連續(xù)信號(hào)的卷積y(t)就是信號(hào)x(t)的沖激信號(hào)序列的分解形式。卷積反應(yīng)了線性系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系，因此研究信號(hào)的卷積有十分重要的意義。圖解過(guò)程2.卷積的圖解1.1.4連續(xù)信號(hào)的卷積卷積的解析法：1.1.4連續(xù)信號(hào)的卷積3.卷積性質(zhì)1.1.4連續(xù)信號(hào)的卷積3.卷積性質(zhì)見(jiàn)P21例1.2周期信號(hào)的頻率分解1.2.1周期信號(hào)的描述

在時(shí)域中信號(hào)可分解為加權(quán)沖激信號(hào)之和，信號(hào)還可以分解為頻率信號(hào)。例如：周期信號(hào)可用傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，實(shí)質(zhì)就是把信號(hào)分解為了一系列不同頻率的諧波分量之和。

一個(gè)連續(xù)信號(hào)在(-∞,∞)區(qū)間，以T0為周期重復(fù)，表達(dá)式：

x(t)=x(t+T0)＝x(t+2T0)….＝x(t+nT0)T0為周期，頻率f0＝1/T0或角頻率Ω0=2π/T0，f0或Ω0稱(chēng)為基本頻率或基本角頻率1.2.1周期信號(hào)的描述具有Ω0的時(shí)間函數(shù)叫基波，2Ω0、3Ω0稱(chēng)為二次諧波、三次諧波等。兩個(gè)周期信號(hào)相加后是否是周期信號(hào)？如果在T1和T2之間存在一個(gè)最小公倍數(shù)T0，則

n1T1＝n2T2

T1/T2=n1/

n2=有理數(shù)，n1，n2均為整數(shù)

1.2.2傅里葉級(jí)數(shù)任何一個(gè)滿足狄里赫利條件的周期為T(mén)的函數(shù)x(t)都可以用三角函數(shù)集中各函數(shù)分量的線性組合來(lái)表示，即1.2.2傅里葉級(jí)數(shù)條件3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。狄利克雷（Dirichlet）條件例1不滿足條件1的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為8，它是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的一半。可見(jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)8，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。例2不滿足條件2的一個(gè)函數(shù)是對(duì)此函數(shù)，其周期為1，有在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的(T1為周期)

說(shuō)明與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)Fn都是有限值，因?yàn)槔?周期信號(hào)，周期為1，不滿足此條件。

1.三角型傅里葉級(jí)數(shù)滿足狄利克雷（Dirichlet）條件的周期信號(hào)都可以展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式：1.三角型傅里葉級(jí)數(shù)（1）式中，是常數(shù)，表示直流分量；當(dāng)n=1時(shí)，為基波；當(dāng)n=2時(shí)，為2次諧波；表示n次諧波。1.三角型傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題：如何求出各諧波分量的大小，即（1）式中各常系數(shù)？1.三角型傅里葉級(jí)數(shù)

是一個(gè)完備的正交函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,...

由積分可知三角函數(shù)集（1）（2）（3）（4）（5）直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度1.三角型傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)上述正交三角函數(shù)集，可以計(jì)算（1）式中的常數(shù)項(xiàng)例1-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為直流基波諧波2.指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)有密切的關(guān)系，由歐拉公式：三角型和指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)質(zhì)上是同一種級(jí)數(shù)的兩種不同表現(xiàn)形式。2.指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)將上述歐拉公式代入三角型傅里葉級(jí)數(shù)公式：令復(fù)系數(shù)當(dāng)x(t)為實(shí)信號(hào)時(shí)，有，則2.指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)或?qū)⒑痛離(t)的級(jí)數(shù)表達(dá)式，得上式即指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式。2.指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)說(shuō)明：上式表明一個(gè)周期信號(hào)可以由無(wú)限多個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)組成，是基波頻率，是n次諧波頻率。振幅和相位由決定，且有例1.2.2求下圖所示的矩形脈沖信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解：由題意，矩形脈沖信號(hào)表達(dá)式如下：例1.2.2（續(xù)）求得復(fù)系數(shù)為

故得x(t)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為1.2.3周期信號(hào)的頻率分析通過(guò)上述對(duì)周期信號(hào)的時(shí)域分析表明，一個(gè)周期信號(hào)可以利用正弦型信號(hào)或復(fù)指數(shù)信號(hào)來(lái)準(zhǔn)確描述。不同波形的周期信號(hào)的區(qū)別僅在于基頻以及各組成諧波分量的幅度和相位不同。1.2.3周期信號(hào)的頻率分析由于是離散頻率的復(fù)函數(shù)，有其中：模反映了組成周期信號(hào)的不同頻率諧波分量的幅度隨頻率變化的特性，簡(jiǎn)稱(chēng)幅頻特性；相角反映了不同頻率分量的初相角隨頻率變化的特性，簡(jiǎn)稱(chēng)相頻特性。1.2.3周期信號(hào)的頻率分析由上述分析知，任意波形的周期信號(hào)x(t)可以由反映信號(hào)頻率特性的復(fù)指數(shù)來(lái)描述。二者存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即：從信號(hào)x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式中，提取了反映信號(hào)全貌的三個(gè)基本特征，即基頻、各諧波的幅度和相位。這種用頻率函數(shù)來(lái)描述或表征任意周期信號(hào)的方法稱(chēng)為周期信號(hào)的頻率分析。1.2.3周期信號(hào)的頻率分析信號(hào)的頻譜圖：即用線條的長(zhǎng)短表示的幅頻、相頻變化規(guī)律。頻譜圖與時(shí)域波形變化規(guī)律的關(guān)系：頻率的高低表示時(shí)域波形變化的快慢；諧波幅度的大小反映時(shí)域波形取值的大小相位的變化對(duì)應(yīng)到波形在時(shí)域出現(xiàn)的不同時(shí)刻。請(qǐng)畫(huà)出其幅度譜和相位譜。例1.2.3化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù)

X化為指數(shù)形式整理指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)譜線指數(shù)形式的頻譜圖三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對(duì)比三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖這兩種頻譜表示方法是指是一樣的，不同之處在于：三角函數(shù)形式的頻譜圖每條譜線代表一個(gè)分量的幅度；指數(shù)形式的頻譜圖把每個(gè)分量的幅度一份為二，在正負(fù)頻率相對(duì)應(yīng)的位置一分為二。需要指出的是負(fù)頻率的引入是由于在進(jìn)行歐拉公式變換是自然生成的，只是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，沒(méi)有任何物理意義。1.2.3周期信號(hào)的頻率分析由上述例題，周期連續(xù)信號(hào)頻譜具有如下特點(diǎn)：離散性：頻譜是由頻率離散的非周期性譜線組成，每個(gè)譜線代表一個(gè)諧波分量；諧波性：頻譜中的譜線只在基波頻率的整數(shù)倍處出現(xiàn)；收斂性：頻譜中個(gè)譜線的幅度隨著諧波次數(shù)的增加而逐漸衰減。1.2.4傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.線性性質(zhì)兩個(gè)周期信號(hào)x1(t)，x2(t)的頻譜分別為：（1）若，則有

（2）若，但的周期與的周期存在最小公倍數(shù)，即：則有：2．時(shí)移特性幅度頻譜無(wú)變化，只影響相位頻譜:3．尺度變換性質(zhì)

周期信號(hào)x(t)經(jīng)時(shí)間尺度變換后，其各次諧波的傅里葉系數(shù)仍然保持不變，但基波頻率變?yōu)?.

對(duì)稱(chēng)性質(zhì)信號(hào)為實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù)的頻譜信號(hào)具有一定的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，即當(dāng)周期信號(hào)x(t)為實(shí)函數(shù)時(shí)，其相應(yīng)的幅度頻譜關(guān)于偶對(duì)稱(chēng)，相位譜關(guān)于奇對(duì)稱(chēng)。在計(jì)算時(shí)只需要求出單邊頻譜。4.

對(duì)稱(chēng)性質(zhì)（2）信號(hào)為實(shí)偶函數(shù)(偶對(duì)稱(chēng))

于是有則即：周期信號(hào)為實(shí)偶函數(shù)式，傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式只含直流分量和余弦分量，而不存在正弦項(xiàng)。是奇函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)積分為0。4.

對(duì)稱(chēng)性質(zhì)（3）信號(hào)為實(shí)奇函數(shù)

于是有

則即：周期信號(hào)為實(shí)奇函數(shù)式，傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式只含正弦項(xiàng)，而不存在直流分量和余弦分量。4.

對(duì)稱(chēng)性質(zhì)（4）半周期對(duì)稱(chēng)半周期偶對(duì)稱(chēng)（半周期重疊）半周期偶對(duì)稱(chēng)：即信號(hào)沿時(shí)間軸前后平移半周期仍等于原信號(hào)，滿足周期信號(hào)x(t)的周期為，而基本周期為，因此，其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式除了直流分量只有余弦偶次諧波分量。半周期奇對(duì)稱(chēng)（半周期鏡像）半周期奇對(duì)稱(chēng)：即信號(hào)沿時(shí)間軸前后平移半周期等于原信號(hào)的鏡像，滿足周期信號(hào)x(t)的周期為。其傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式只有正弦奇次諧波分量。4.

對(duì)稱(chēng)性質(zhì)（4）半周期對(duì)稱(chēng)雙重對(duì)稱(chēng)信號(hào)除了具有半周期鏡像對(duì)稱(chēng)外，同時(shí)還是時(shí)間的偶函數(shù)或奇函數(shù)，則前者的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式只有余弦奇次諧波分量，后者只有正弦奇次諧波分量。由上三類(lèi)信號(hào)的不同對(duì)稱(chēng)關(guān)系，可以迅速判斷在傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中哪些分量存在，從而減少不必要的計(jì)算。5.時(shí)域微積分性質(zhì)如果x(t)是周期的周期信號(hào)，那么它的導(dǎo)數(shù)也是周期為的周期信號(hào)，且它們的頻譜有如下關(guān)系：上述結(jié)論也可以推廣到高階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)積分的情況，即1.3非周期信號(hào)的頻譜除了周期信號(hào)外，在自然界和實(shí)際工程領(lǐng)域中還存在著一些非周期信號(hào)，如語(yǔ)音信號(hào)、爆炸產(chǎn)生的沖擊信號(hào)燈，這些非周期信號(hào)能否分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)這樣的周期信號(hào)？如果能，應(yīng)該怎么分解呢？1.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換引出任何周期信號(hào)都可以看成是一個(gè)非周期信號(hào)周期延拓而成的，而周期信號(hào)則可以看成是周期信號(hào)當(dāng)期周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限情況。假設(shè)是周期為T(mén)的周期信號(hào)，中每個(gè)周期信號(hào)波形都相同，記為，二者的關(guān)系為：1.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換周期信號(hào)可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)，有其中將其代入上式，得到當(dāng)時(shí)，1.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換，即相鄰的兩根譜線間隔趨于無(wú)窮?。?，即離散變量趨于連續(xù)變量；，即求和趨于積分。則：，稱(chēng)為非周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)。1.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換頻譜密度函數(shù)是連續(xù)頻率變量的復(fù)函數(shù)，即

模稱(chēng)為幅度頻譜，幅角稱(chēng)為相位頻譜。1.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換傅里葉變換對(duì)1.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換非周期信號(hào)x(t)存在傅里葉變換的條件：滿足狄利克雷（Dirichlet）條件。條件3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。1.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換小結(jié)：：周期信號(hào)非周期信號(hào)連續(xù)譜，幅度無(wú)限小。離散譜例1.3.1

求矩形脈沖信號(hào)的頻譜密度，并繪制出幅度頻譜和相位頻譜解：由矩形脈沖信號(hào)圖，根據(jù)信號(hào)密度的定義是得例1.3.1幅度頻譜：相位頻譜：例1.3.1頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：意義

傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；用性質(zhì)求x(

)；1.3.2傅里葉變換的性質(zhì)1．奇偶虛實(shí)性(1)偶信號(hào)的頻譜為偶函數(shù)，奇信號(hào)的頻譜為奇函數(shù)(2)實(shí)信號(hào)的頻譜是共軛對(duì)稱(chēng)函數(shù)，即其幅度頻譜和實(shí)部為偶函數(shù)，相位頻譜和虛部位奇函數(shù)2．線性性質(zhì)上述性質(zhì)說(shuō)明，傅里葉變換時(shí)一種具有齊次性和疊加性的線性運(yùn)算，即（1）若信號(hào)增加a倍，頻譜也相應(yīng)增大a倍；（2）多個(gè)信號(hào)相加的頻譜等于各單獨(dú)信號(hào)頻譜的疊加。3．對(duì)偶性1．性質(zhì)2．

意義例1例2相移全通網(wǎng)絡(luò)4．時(shí)移特性上式表明，時(shí)域的時(shí)移對(duì)應(yīng)頻域的相移。5．頻移特性上式表明，信號(hào)頻譜沿頻率軸左移或右移，則在時(shí)域上，信號(hào)乘或。頻移特性又稱(chēng)為調(diào)制特性，在實(shí)際應(yīng)用中，通常將信號(hào)x(t)乘正弦或者余弦信號(hào)，則在時(shí)域上用x(t)（調(diào)制信號(hào)）改變正弦或余弦（載波信號(hào)）的幅度，形成調(diào)幅信號(hào)，而在頻域上使產(chǎn)生左右平移。例1-3-3已知矩形調(diào)幅信號(hào)

解：因?yàn)轭l譜圖6．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。

7．卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。頻域卷積定理卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。例1.3.3X8．微分特性推廣（1）時(shí)域微分特性（2）頻域微分特性9．時(shí)域積分性質(zhì)時(shí)域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時(shí)移的單位階躍的無(wú)限積分表示，成為交換積分順序，即先求時(shí)移的單位階躍信號(hào)的傅里葉變換續(xù)…………續(xù)1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析傅里葉變換要求信號(hào)應(yīng)滿足狄利克雷（Dirichlet）條件，即描述信號(hào)的函數(shù)x(t)在上有定義，且絕對(duì)可積。但一些重要的信號(hào)并不滿足這個(gè)條件，如：指數(shù)增長(zhǎng)型信號(hào)、功率非周期信號(hào)等，難以用傅里葉分析法對(duì)它們進(jìn)行分析。于是，將傅里葉分析從頻域推廣到復(fù)頻域，構(gòu)造一種新變換，即拉普拉斯變換。1．從傅里葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換2．拉氏逆變換3．拉氏變換對(duì)2．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱(chēng)為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；例1.4.1討論下列雙邊信號(hào)的拉普拉斯變換及其收斂域(1)(2)解:(1)由雙邊拉普拉斯變換的定義得式中第一項(xiàng)積分的收斂域?yàn)椋诙?xiàng)積分的收斂域?yàn)?，則整個(gè)積分的收斂域是它們的公共部分，即，因此(1)由雙邊拉普拉斯變換的定義得式中第一項(xiàng)積分的收斂域?yàn)?，?/p>