信號(hào)與線性系統(tǒng)

1．問(wèn)題的提出

付氏變換法存在缺點(diǎn)：

局限性：

要收斂，滿足絕對(duì)可積條件，否則

（1）的付氏變換不存在，例如

（2）存在，但不能用定義式求得，

可能出現(xiàn)沖激函數(shù)，帶來(lái)分析和運(yùn)算困難（3）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)（4）反變換必須計(jì)算廣義積分，有時(shí)計(jì)算比較困難第五章：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.2拉普拉斯變換laplacetransform如果不收斂，可以考慮用收斂因子——將原信號(hào)乘以e?σt——強(qiáng)行使其收斂，再進(jìn)行FT討論：

1）付氏變換與拉氏變換的形式相似，基本差別：

付氏變換時(shí)域與變換域變量皆為實(shí)數(shù)（）

2）拉氏變換時(shí)域變量為實(shí)數(shù)，變換域變量為復(fù)數(shù)

假設(shè)FT存在的前提下，從公式的形式上看,將FT中的純虛數(shù)jω推廣為復(fù)數(shù)s，就可以導(dǎo)出LT；反之，令LT中的復(fù)變量s的實(shí)部為零，就可以得到FT。可以這樣認(rèn)為：FT是LT的一個(gè)特例，LT是FT的推廣。2）物理意義

傅氏：將分解成許多形式為的指數(shù)項(xiàng)之和，每一對(duì)正、負(fù)組成一個(gè)余弦振蕩，振幅為

拉氏：將分解成許多形式為的指數(shù)項(xiàng)之和，每一對(duì)正、負(fù)組成一個(gè)變幅的余弦振蕩,振幅為

——復(fù)頻率——復(fù)頻譜復(fù)頻率可以表示在復(fù)平面上，且復(fù)平面上的點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)相對(duì)應(yīng)3）傅立葉變換是雙邊拉普拉斯變換中的一種特殊情況，因此，求兩者反變換的積分路徑不同。

theunilateralLaplacetransform5.3拉普拉斯變換的收斂區(qū)ROC(regionofconvergence)oftheLaplacetransform0收斂軸收0收斂軸05.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換由求：

而

或的收斂域包括軸在內(nèi)。

三種情況(有始信號(hào))：

①

（收斂邊界在S平面的左半邊）

是衰減函數(shù)，可以對(duì)換②

（收斂邊界落在軸上）

是階躍函數(shù)不可以簡(jiǎn)單對(duì)換（不出現(xiàn)沖激的部分可對(duì)換）

③

（收斂邊界在S平面的右半邊）

是增長(zhǎng)函數(shù)，不可以對(duì)換

下次課內(nèi)容提問(wèn)1.信號(hào)傅里葉變換存在的條件是什么？2.拉斯變換如何對(duì)傅里葉變換進(jìn)行了擴(kuò)展？3.拉斯反變換的物理意義是什么？4.拉斯變換和傅里葉變換的關(guān)系是什么？5.什么是雙邊拉斯變換，什么是單邊變換？6.什么是拉斯變換的收斂區(qū)？7.有始信號(hào)（右邊信號(hào)），有終信號(hào)（左邊信號(hào)），雙邊信號(hào)

的拉斯變換收斂區(qū)是怎樣的？8.有始信號(hào)（右邊信號(hào)）收斂區(qū)滿足什么條件，該信號(hào)存在傅里葉變換？由，常為s的有理函數(shù)

一般形式：

（為實(shí)數(shù)，m、n為正整數(shù)）

如

R(s)的拉氏變換為沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)——理想情況

一般情況下：

求拉氏反變換有三種方法：

查表、部分分式展開法和圍線積分法（留數(shù)法）

(一）部分分式展開法

（）5.5拉普拉斯反變換要點(diǎn)：將分解，逐個(gè)求反變換，再疊加基本形式：

1．的根無(wú)重根[的極點(diǎn)為單階]極零點(diǎn)

極點(diǎn)：

使＝∞的s根值，如為的極點(diǎn)

零點(diǎn)：

使的s根值，

如，

為的零點(diǎn)

求求、

求系數(shù)的兩種方法

[方法一]（2）式兩邊乘以（）：

令

則

[方法二]用微分求（形式）

——羅必塔法則

（

)5.5拉普拉斯反變換inverselaplacetransform2、復(fù)數(shù)極點(diǎn)

若

D(s)有一對(duì)共軛復(fù)根,其根為

s1,2=j

F(s)可展開成由于F(s)是S的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，應(yīng)有原函數(shù)的形式之一原函數(shù)的形式之二原函數(shù)的形式之三3．當(dāng)＝0有重根的情況[有多重極點(diǎn)]設(shè)＝0共有n個(gè)根，其中一個(gè)根s1為p重根，其余為單根（異根），

即令異根項(xiàng)

其系數(shù)的求法如上所述

重根項(xiàng)的求取

（1）求：

式（2）乘以，再令得（2）求（系數(shù)）

引入

將式（4）對(duì)s取導(dǎo)一次：

將式（5）對(duì)s取導(dǎo)一次，再令得

一般情況：

總結(jié)：

二.圍線積分法（留數(shù)法）拉氏反變換：

1、留數(shù)定理

設(shè)G(s)在閉合區(qū)域D上，除了有限個(gè)極點(diǎn)外，處處解析，則上式左邊的積分是在s平面內(nèi)沿一不通過(guò)被積函數(shù)極點(diǎn)的封閉曲線C進(jìn)行的，右邊則是在此圍線C中被積函數(shù)各極點(diǎn)上留數(shù)之和。

2.在求拉氏反變換的積分路線上補(bǔ)足一條積分路線構(gòu)成一個(gè)封閉曲線*沿此額外路線函數(shù)的積分值為零

為應(yīng)用留數(shù)定理，在求拉氏反變換的積分線（）上應(yīng)補(bǔ)足一條積分線以構(gòu)成一個(gè)封閉曲線。

當(dāng)然要求必須有

或或上式在滿足以下兩個(gè)條件（約當(dāng)引理）時(shí)成立

①

時(shí)，

一致地趨近于零；

②

因子的指數(shù)st的實(shí)部應(yīng)小于，

即

一般條件①都能滿足（除外），

當(dāng)

或條件②滿足

即積分沿左半圓弧進(jìn)行；積分沿右半圓弧進(jìn)行。因此＝圍線中被積函數(shù)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和

或4、留數(shù)的計(jì)算

[的極點(diǎn)即為的極點(diǎn)]

規(guī)則Ⅰ：

若為一階極點(diǎn)，則（Ⅰ）

規(guī)則Ⅱ：

若為p階極點(diǎn)，

則（Ⅱ）

5.6拉普拉斯變換的性質(zhì)propertiesoflaplacetransform1、線性性質(zhì)【方法一】

【方法二】

0Tt

E將鋸齒波分解為三個(gè)函數(shù)之和

=++E0Tt0Tt0Tt例2求單個(gè)半周正弦波解：

=+

EEE

0T/2t

0Tt0T/2T3T/2t

,例

求t=0時(shí)接入周期函數(shù)

0T2T

解：

定理：

設(shè)

則

4復(fù)頻率平移

設(shè)

則

推廣：證明：5、時(shí)域微分性質(zhì)積分從－∞開始：由時(shí)域微分定理可知所以返回初值定理證明：所以終值定理證明根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式返回常用拉斯變換對(duì)用拉氏變換法分析電路的步驟列s

域方程（可以從兩方面入手）列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程得到時(shí)域解答5.7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析法復(fù)頻域阻抗3、舉例例2

CR2

-uC(0-)+

iL(0-)

+R12L

e(t)i1(t)i2(t)

-已知

e(t)=10ε(t)，R12=1/5Ω,R2=1Ω，L=1/2H,C=1F,iL(0-)=4A,uC(0-)=5V

求

i1(t)

解：1）作運(yùn)算電路

+sL

E(s)I1(s)R12I2(s)

--

－

＋

R2

LiL(0-)

+

2)求I1(s)，用回路法解

代入數(shù)值求得：

3）求

可見，由于自動(dòng)引入了初始條件，因此解題運(yùn)算較簡(jiǎn)單，但響應(yīng)中沒(méi)有區(qū)分零狀態(tài)分量與零輸入分量。運(yùn)算法中拉氏變換僅作為數(shù)學(xué)工具，解題過(guò)程中對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)間的相互作用缺乏物理解釋。

二、用拉普拉斯變換法求解線性常系數(shù)微分方程設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的激勵(lì)為，響應(yīng)為輸入輸出方程的一般形式：，描述n階系統(tǒng)的上式也可寫為（5.1）（5.2）及其各階導(dǎo)數(shù)均為零在時(shí)

（5.3）對(duì)式（5.1）取拉普拉斯變換解：由微分方程得舉例：所以5.8雙邊拉普拉斯變換在某些情況下，有時(shí)還要考慮雙邊時(shí)間函數(shù)，如周期信號(hào)、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程等，或是不符合因果律的理想系統(tǒng)，這時(shí)就需要用雙邊拉普拉斯變換來(lái)分析。一、雙邊拉普拉斯變換1、雙邊拉普拉斯變換的定義

是一個(gè)雙邊函數(shù)，可將其分解為右邊函數(shù)和左邊函數(shù)之和，即將f(t)代入雙邊拉普拉斯變換的定義式，則有若、同時(shí)存在，且二者有公共收斂域，則的雙邊拉氏變換為右邊函數(shù)的拉氏變換和左邊函數(shù)拉氏變換之和。如與沒(méi)有公共收斂域，則的雙邊拉氏變換就不存在。2、如何求左邊函數(shù)的拉氏變換

令，則上式成為再令，則上式成為綜上所述求取左邊函數(shù)的拉氏變換可按下列三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）令，構(gòu)成右邊函數(shù)；（2）對(duì)求單邊拉氏變換得；（3）對(duì)復(fù)變量取反，即，就求得。

例1.求雙邊指數(shù)函數(shù)，的雙邊拉普拉斯變換。解：首先求右邊函數(shù)的拉氏變換左邊函數(shù)的拉氏變換求取如下：（1）；（2）（3）因?yàn)?，所以和有公共收斂域，故存在并為?雙邊拉普拉斯反變換例2.求，的時(shí)間原函數(shù)。收斂域?yàn)榻猓海?）由極點(diǎn)分布和給定收斂域作下圖?？梢?，左側(cè)極點(diǎn)為，右側(cè)極點(diǎn)為。左側(cè)的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于的右邊函數(shù)將展開成部分分式有

右側(cè)的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于的左邊函數(shù)

對(duì)應(yīng)于的是左邊函數(shù)，的求取如下①令，得；②對(duì)求單邊拉氏反變換，得③令，即最后得其解為三.雙邊信號(hào)作用下線性系統(tǒng)的響應(yīng)例3.已知激勵(lì)信號(hào)，系統(tǒng)沖激響應(yīng)為，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：由雙邊拉氏變換有而可見，與有公共收斂域，故存在，則有由收斂域可知，為右側(cè)極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的左邊時(shí)間函數(shù)為均為左側(cè)極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的右邊時(shí)間函數(shù)為故系統(tǒng)的響應(yīng)5.9線性系統(tǒng)的模擬①加法器:②乘法器:③初始條件為零的積分器初始條件不為零的積分器對(duì)一個(gè)n階系統(tǒng)，若其微分方程及系統(tǒng)函數(shù)為對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)表示為則其n階系統(tǒng)的復(fù)頻域模擬圖如圖所示。若系統(tǒng)的微分方程中含有輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng),如且，其系統(tǒng)函數(shù)…7、反饋系統(tǒng)整個(gè)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為例二階連續(xù)反饋系統(tǒng)的仿真：開環(huán)傳遞函數(shù)在MATLAB中建立仿真模型如下：階躍響應(yīng)的仿真結(jié)果：反饋系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)：信號(hào)流圖：

是用有向的線圖來(lái)描述線性方程組變量間因果關(guān)系的一種圖。

本質(zhì)：求解線性方程組的圖解法。

（一）信號(hào)流圖的表示法

1。由方程作流圖

例1

作圖規(guī)則：

（1）首先把方程式寫成因果關(guān)系式：果＝f（因）；

如選為果：

（2）方程式中的各個(gè)變量用“○”表示，稱作結(jié)點(diǎn)；

○

○

(3)變量之間的因果關(guān)系用線段來(lái)表示，稱作支路。

其特點(diǎn)：

?。┯邢颍?/p>

果（支路的方向表示信號(hào)流動(dòng)的方向）ⅱ）支路旁邊標(biāo)上因變量的系數(shù)（傳輸值）

a

ⅲ）每一個(gè)結(jié)點(diǎn)的變量等于流入它的變量與相應(yīng)支路傳輸值的乘積的代數(shù)和。

如

1sY(s)1/sY(s)

X(s)

-a5.10、信號(hào)流圖分析法

例2求

的流圖

解：

1）

（1）選為果：

（2）選為果：

【注意】各方程的果變量不能相同

2）用結(jié)點(diǎn)表示變量（結(jié)點(diǎn)還兼有加法器的作用）

3）用支路表示因果關(guān)系并標(biāo)注傳輸值

-a/b

-c/b

-d/f

-e/f

若由此可畫流圖：ab+1cdef+1一個(gè)方程組的流圖不是唯一的,但其解答是唯一的!例3求一階系統(tǒng)的流圖

解：

——時(shí)域模型

——復(fù)域模型

、、——復(fù)量

作流圖：結(jié)點(diǎn)3個(gè)——、、

1/s

1-a0

1若只有、兩個(gè)復(fù)量：

則流圖為：

H(s)

其中

流圖和框圖都用于描述系統(tǒng)方程，但流圖更簡(jiǎn)潔，使用更方便。

2。由框圖作流圖

規(guī)則：

（1）用變量表示結(jié)點(diǎn)，

（2）方框用支路代替，且有向支路旁邊記上傳輸值

（3）加法器用“○”表示叫做和點(diǎn)

如由（1）式可得一階系統(tǒng)的框圖：

則由上述規(guī)則很容易得出其流圖3.

由電路圖作流圖

規(guī)則：

（1）選回路電流及節(jié)點(diǎn)電壓為信號(hào)變量，找出從輸入到輸出的流程

（2）列方程組

(3)作流圖

例

求無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的流圖:

E(s)I1sLI2R2U(s)

R1U11/sC

＋－＋－

已知E(s)，求

U(s)

解：

1）信號(hào)流程：

E

I1

U1

I2

U2）列方程組

3)作流圖：5個(gè)結(jié)點(diǎn)

E

I1

U1

I2

U

1/R1

-1/R1

sL-sL

sC

-sC

R2

U

1對(duì)于有源網(wǎng)絡(luò)：只需將有源器件用包含有受控源的等效電路代替

支路傳輸值：支路因果變量間的轉(zhuǎn)移函數(shù)入支路：流向結(jié)點(diǎn)的支路出之路：流出結(jié)點(diǎn)的支路源結(jié)點(diǎn)：只有輸出，通常表示該信號(hào)為輸入激勵(lì)信號(hào)，如E匯結(jié)點(diǎn)：只有輸入，通常表示輸出響應(yīng)信號(hào)，如―――→U和點(diǎn)：多輸入，單輸出分點(diǎn)：多輸出單輸入閉環(huán)（環(huán)）：順向閉合路徑，如I1→U1→I1自環(huán)：僅包含有一條支路的閉環(huán)（只與一個(gè)結(jié)點(diǎn)相接觸）開路徑：從某一結(jié)點(diǎn)連續(xù)經(jīng)一些順向（有向線段的方向一致）路徑至另一結(jié)點(diǎn)前向路徑：從源結(jié)點(diǎn)至匯結(jié)點(diǎn)的開路徑（不包含有任何環(huán)路的信號(hào)流通路徑），(二）流圖的基本分析方法（通過(guò)流圖分析系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系）1。簡(jiǎn)化求解

化簡(jiǎn)的目的：

將流圖逐步簡(jiǎn)化，最終在激勵(lì)與輸出間僅有一條支路，從而直接得出輸出與激勵(lì)的關(guān)系

簡(jiǎn)化規(guī)則：

（1）支路串聯(lián)（順向的支路串聯(lián)可合并成一條支路，并消去中間結(jié)點(diǎn)）

H1H2H3

X1X2X3X4

X1X4

H1H2H3

（2）支路并聯(lián)（若干支路并聯(lián)可用一等效支路代替）

X1H2X2

H1H3

X1X2

H1+H2+H3

(3)結(jié)點(diǎn)的消除

X1X0

a1X2

a3a2

X3

X1

a1X2

a3a2

X3

a1X1X0

a1X2

a3a2X3

X1

a3X2

a3a2X3

a1規(guī)則：各條路徑的傳輸值等于流入X0和流出X0的傳輸值的乘積。

X1X3

X2X4

a1a3

a2a4

a2a3

a1a4X1X3

X2X4

a1a3

a2a4

X0

(4)自環(huán)的消除

X1X2

X0規(guī)則：消除自環(huán)后，該結(jié)點(diǎn)所有入支路的傳輸值應(yīng)俱除以（1－t）因子，而出支路的傳輸值不變。

X1X3

X2

X0

t

a1a3

a2

X1X3

X2

X0

a1a2

t

X1X2

X0例1

反饋圖的簡(jiǎn)化

X1

X2

X0

ab

c

消去X0

X1X2

ab

bc

消自環(huán)

X1X2

例2化簡(jiǎn)流圖1ss11-1-s-sEI1U1I2UU解：(1)消去I1

s11

-s-sEU1I2UU(2)消自環(huán)

-ss11EU1I2UU

(3)消去U1s-s

11EI2UU-s(4)消自環(huán)

11EI2UU(5)消去I2E