2024屆云南省玉溪市元江第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆云南省玉溪市元江第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)，則使函數(shù)的定義域是，且為偶函數(shù)的所有的值是（）A．0，2 B．0，-2 C． D．22．四棱錐中，平面，底面是正方形，且，則直線與平面所成角為（）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．2 B． C． D．124．某學(xué)校禮堂有30排座位，每排有20個座位，一次心理講座時禮堂中坐滿了學(xué)生，會后為了了解有關(guān)情況，留下座位號是15的30名學(xué)生，這里運(yùn)用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣 D．分層抽樣5．若直線過點(diǎn)，則此直線的傾斜角是（）A． B． C． D．90。6．定義平面凸四邊形為平面上沒有內(nèi)角度數(shù)大于的四邊形，在平面凸四邊形中，，，，，設(shè)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)點(diǎn)是棱長為的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在面所在的平面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是()A． B． C． D．8．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．9．在邊長為2的菱形中，，是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．10．若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最小值是（）A． B．0 C．1 D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，對于下列說法：①要得到的圖象，只需將的圖象向左平移個單位長度即可；②的圖象關(guān)于直線對稱：③在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為；④為奇函數(shù).則上述說法正確的是________（填入所有正確說法的序號）.12．若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，則使前項(xiàng)和最大的自然數(shù)是________.13．等腰直角中，，CD是AB邊上的高，E是AC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿CD翻折成直二面角，則異面直線DE與AB所成角的大小為________.14．若三角形ABC的三個角A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，三角形ABC的面積，則b的最小值是________．15．已知公式，，借助這個公式，我們可以求函數(shù)的值域，則該函數(shù)的值域是______.16．已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，數(shù)列的前項(xiàng)和為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，令，求18．在中，角所對的邊為.已知面積（1）若求的值；（2）若，求的值.19．（Ⅰ）已知直線過點(diǎn)且與直線垂直，求直線的方程；（Ⅱ）求與直線的距離為的直線方程.20．求下列方程和不等式的解集（1）（2）21．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【題目詳解】若函數(shù)的定義域是，則；又函數(shù)為偶函數(shù)，所以只能使偶數(shù)；因?yàn)?，所以能取的值?.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟記冪函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.2、A【解題分析】

連接交于點(diǎn)，連接，證明平面，進(jìn)而可得到即是直線與平面所成角，根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【題目詳解】連接交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，底面是正方形，所以，，因此平面；故平面；連接，則即是直線與平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面角的求法，在幾何體中作出線面角，即可求解，屬于?？碱}型.3、C【解題分析】

由該幾何體的三視圖可知該幾何體為底面是等腰直角三角形的直棱柱，再結(jié)合棱柱的表面積公式求解即可.【題目詳解】解：由該幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面是等腰直角三角形的直棱柱，又由圖可知底面等腰直角三角形的直角邊長為1，棱柱的高為1，則該幾何體的表面積是，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了幾何體的三視圖，重點(diǎn)考查了棱柱的表面積公式，屬基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】抽名學(xué)生分了組（每排為一組），每組抽一個，符合系統(tǒng)抽樣的定義故選5、A【解題分析】

根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式,可求得斜率.再由斜率與傾斜角關(guān)系即可求得直線的傾斜角.【題目詳解】直線過點(diǎn)則直線的斜率設(shè)傾斜角為,根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系可得由直線傾斜角可得故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線斜率的求法,斜率與傾斜角關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

先利用余弦定理計(jì)算，設(shè)，將表示為的函數(shù)，再求取值范圍.【題目詳解】如圖所示：在中，利用正弦定理：當(dāng)時，有最小值為當(dāng)時，有最大值為（不能取等號）的取值范圍是故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用正余弦定理計(jì)算長度范圍，將表示為的函數(shù)是解題的關(guān)鍵.7、B【解題分析】

以為原點(diǎn)，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算三個平面的法向量，根據(jù)夾角相等得到關(guān)系式：，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【題目詳解】`以為原點(diǎn)，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則易知：平面的法向量為平面的法向量為設(shè)平面的法向量為：則，取平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等或看作平面的兩條平行直線，到的距離.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離都是：故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間直角坐標(biāo)系，二面角，最短距離，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.8、C【解題分析】

去掉絕對值將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式后可得其圖象的大體形狀．【題目詳解】由題意得，所以其圖象的大體形狀如選項(xiàng)C所示．故選C．【題目點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是去掉函數(shù)中的絕對值，將函數(shù)化為基本函數(shù)后再求解，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計(jì)算．【題目詳解】由題意，，．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積，平面向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示．10、A【解題分析】

畫出不等式組的可行域,再根據(jù)線性規(guī)劃的方法,結(jié)合的圖像與的關(guān)系判定最小值即可.【題目詳解】畫出可行域,又求最小值時,故的圖形與可行域有交點(diǎn),且往上方平移到最高點(diǎn)處.易得此時在處取得最值.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線性規(guī)劃與絕對值函數(shù)的綜合運(yùn)用,需要根據(jù)題意畫圖,根據(jù)函數(shù)的圖形性質(zhì)分析.屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②④【解題分析】

結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)對四個結(jié)論逐個分析即可得出答案.【題目詳解】①要得到的圖象，應(yīng)將的圖象向左平移個單位長度，所以①錯誤；②令，，解得，，所以直線是的一條對稱軸，故②正確；③令，，解得，，因?yàn)椋栽诙x域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，所以③錯誤；④是奇函數(shù)，所以該說法正確.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱軸、單調(diào)性、奇偶性與平移變換，考查了學(xué)生對的圖象與性質(zhì)的掌握，屬于中檔題.12、【解題分析】

由已知條件推導(dǎo)出，，由此能求出使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)的值．【題目詳解】解：等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，，．如若不然，，則，而，得，矛盾，故不可能．使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時的值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的合理運(yùn)用．13、【解題分析】

取的中點(diǎn)，連接，則與所成角即為與所成角，根據(jù)已知可得，，可以判斷三角形為等邊三角形，進(jìn)而求出異面直線直線DE與AB所成角.【題目詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，直線DE與AB所成角即為與所成角，，，，，，即三角形為等邊三角形，異面直線DE與AB所成角的大小為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中的翻折問題，考查了異面直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

先求出，再根據(jù)面積得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【題目詳解】由題得,所以.由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.所以b的最小值是.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15、【解題分析】

根據(jù)題意，可令，結(jié)合，再進(jìn)行整體代換即可求解【題目詳解】令，則，，，則，，，則函數(shù)值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸绢}目點(diǎn)撥】本題考查3倍角公式的使用，函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題16、．【解題分析】

首先利用數(shù)列的關(guān)系式的變換求出數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的和．【題目詳解】解：數(shù)列中，，當(dāng)時，，整理得，即，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，故，所以，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定義法判斷等差數(shù)列，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

試題分析：(1)利用得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題；(2)利用裂項(xiàng)相消法求和.試題解析：（1）由，得得∴是等比數(shù)列，且公比為（2）由（1）及得，18、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用三角形面積公式可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式求得；利用余弦定理可求解出結(jié)果.【題目詳解】（1）由三角形面積公式可知：（2）由余弦定理得：【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理解三角形、三角形面積公式的應(yīng)用問題，考查學(xué)生對于公式的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)直線與直線垂直，求得直線的斜率為，再利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（Ⅱ）設(shè)所求直線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.【題目詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)所求直線的斜率為，由直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，所以所求直線的方程為直線的方程為：，即.（Ⅱ）設(shè)所求直線方程為，即，直線上任取一點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，解得或-4，所以所求直線方程為：或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線方程的求解，兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）先將方程變形得到，根據(jù)，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）由題意得到，求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）由得，因?yàn)?，所以，因此或；即原方程的解集為：或；?）由得，即，解得：.故，原不等式的解集為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查解含三角函數(shù)的方程，以及反三角函數(shù)不等式，熟記三角函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求解，屬于常考題型.21、（1）證明見解析；（2）；（3）