2024屆唐山市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆唐山市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知、是圓：上的兩個動點，，，若是線段的中點，則的值為（）A． B． C． D．2．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．在中，角，，的對邊分別為，，，且.則（）A． B．或 C． D．4．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P,則△PBC的面積大于的概率是()A． B． C． D．5．經(jīng)過，兩點的直線方程為（）A． B． C． D．6．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的前項和為,則（）A． B． C． D．8．已知，，，若，則等于（）A． B． C． D．9．曲線與曲線的（）A．長軸長相等 B．短軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等10．如圖，A，B是半徑為1的圓周上的定點，P為圓周上的動點，∠APB是銳角，大小為.圖中△PAB的面積的最大值為（）A．+sin2 B．sin+sin2C．+sin D．+cos二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的定義域為___________.12．已知向量，的夾角為，若，，則________.13．在等比數(shù)列中，若，則等于__________．14．已知數(shù)列，其前項和為，若，則在，，…，中，滿足的的個數(shù)為______.15．已知，則的最小值為_______．16．已知空間中的三個頂點的坐標(biāo)分別為，則BC邊上的中線的長度為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在直三棱柱（側(cè)面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，平面，，設(shè)的中點為D，.（1）求證：平面；（2）求證：.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，.（Ⅰ)求的坐標(biāo)及；（Ⅱ)當(dāng)實數(shù)為何值時，.19．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，AC的中點．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．20．已知圓心為的圓過點，且與直線相切于點。（1）求圓的方程；（2）已知點，且對于圓上任一點，線段上存在異于點的一點，使得（為常數(shù)），試判斷使的面積等于4的點有幾個，并說明理由。21．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．（1）求角A的大??；（2）若，，求的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】由題意得,所以，選A.2、B【解題分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知都大于1，把化成后可得的大小，從而可得的大小關(guān)系.【題目詳解】因為及都是上的增函數(shù)，故，，又，故，選B.【題目點撥】對數(shù)的大小比較，可通過尋找合適的單調(diào)函數(shù)來構(gòu)建大小關(guān)系，如果底數(shù)不統(tǒng)一，可以利用對數(shù)的運算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù).不同類型的數(shù)比較大小，應(yīng)找一個中間數(shù)，通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞.3、A【解題分析】

利用余弦定理和正弦定理化簡已知條件，求得的值，即而求得的大小.【題目詳解】由于，所以，由余弦定理和正弦定理得，即，由于是三角形的內(nèi)角，所以為正數(shù)，所以，為三角形的內(nèi)角，所以.故選：A【題目點撥】本小題主要考查正弦定理和余弦定理邊角互化，考查三角形的內(nèi)角和定理，考查兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

記事件,基本事件是線段的長度，如下圖所示，作于，作于，根據(jù)三角形的面積關(guān)系得，再由三角形的相似性得，可得事件的幾何度量為線段的長度，可求得其概率.【題目詳解】記事件,基本事件是線段的長度，如下圖所示，作于，作于，因為，則有；化簡得：，因為，則由三角形的相似性得，所以，事件的幾何度量為線段的長度，因為，所以的面積大于的概率．故選：C【題目點撥】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題.常有以下一些方面需考慮幾何概型，求解時需注意一些要點.(1)當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域。(3)幾何概型有兩個特點:一是無限性，二是等可能性.基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用"比例解法求解幾何概型的概率.5、C【解題分析】

根據(jù)題目條件，選擇兩點式來求直線方程.【題目詳解】由兩點式直線方程可得：化簡得：故選：C【題目點撥】本題主要考查了直線方程的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

先求出的模長，然后由可求出答案.【題目詳解】由題意，，，所以與的夾角為.故選D.【題目點撥】本題考查了兩個向量的夾角的求法，考查了向量的模長的計算，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

利用等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)即可得到答案.【題目詳解】由于，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，故選C.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和，難度不大.8、A【解題分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則,依據(jù)題意列出等式求解.【題目詳解】由題知:,,,因為,所以,故,故選:A.【題目點撥】本題考查向量的坐標(biāo)運算,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

首先將后面的曲線化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式，分別求兩個曲線的幾何性質(zhì)，比較后得出選項.【題目詳解】首先化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程，，由方程形式可知，曲線的長軸長是8，短軸長是6，焦距是，離心率，，的長軸長是，短軸長是，焦距是，離心率，所以離心率相等.故選D.【題目點撥】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.10、B【解題分析】

由正弦定理可得，，則，，當(dāng)點在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大，求解即可.【題目詳解】在中，由正弦定理可得，，則.，當(dāng)點在的中垂線上時，取得最大值，此時的面積最大.取的中點，過點作的垂線，交圓于點，取圓心為，則（為銳角），.所以的面積最大為.故選B.【題目點撥】本題考查了三角形的面積的計算、正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的化簡，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】試題分析:由題設(shè)可得,解之得,故應(yīng)填答案.考點：函數(shù)定義域的求法及運用．12、【解題分析】

由，展開后進(jìn)行計算，得到的值，從而得到答案.【題目詳解】因為向量，的夾角為，若，，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查求向量的模長，向量的數(shù)量積運算，屬于簡單題.13、【解題分析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,,代入式子中運算即可.【題目詳解】解：在等比數(shù)列中,若故答案為：【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)的應(yīng)用.14、1【解題分析】

運用周期公式，求得，運用誘導(dǎo)公式及三角恒等變換，化簡可得，即可得到滿足條件的的值．【題目詳解】解：，可得周期，，則滿足的的個數(shù)為．故答案為：1．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的周期性及應(yīng)用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，以及運算能力，屬于中檔題．15、【解題分析】

運用基本不等式求出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以，，所以，所以最小值為【題目點撥】本題考查了基本不等式的運用求最小值，需要滿足一正二定三相等.16、【解題分析】

先求出BC的中點，由此能求出BC邊上的中線的長度.【題目詳解】解：因為空間中的三個頂點的坐標(biāo)分別為，所以BC的中點為，所以BC邊上的中線的長度為：，故答案為：.【題目點撥】本題考查三角形中中線長的求法，考查中點坐標(biāo)公式、兩點間距離的求法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

（1）由可證平面；（2）先證，再證，即可證明平面，即可得出.【題目詳解】（1）∵三棱柱為直三棱柱，∴四邊形為矩形，∴E為中點，又D點為中點，∴DE為的中位線，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵三棱柱為直三棱柱，∴平面ABC，∴，又∵，∴四邊形為正方形，所以，∵平面，∴，和相交于C，∴平面，∴.【題目點撥】本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的判定及性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于?？碱}.18、（Ⅰ)，；（Ⅱ)【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)點，的坐標(biāo)即可求出，從而可求出；（Ⅱ）可以求出，根據(jù)即可得出，解出即可．【題目詳解】（Ⅰ)∵，，∴∴（Ⅱ)∵，∴.∵∴，∴【題目點撥】考查根據(jù)點的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長度的方法，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系．19、(1)證明見解析；(2)【解題分析】

（1）可利用線線平行來證明線面平行（2）可采用等體積法進(jìn)行求解【題目詳解】證明：（1）如圖，連結(jié)BD；因為四邊形ABCD為正方形，所以BD交AC于F且F為BD中點；又因為E為中點，所以；因為平面，平面，所以平面；（2）三棱錐的體積.【題目點撥】本題考查了線面平行的證明及錐體體積的求解方法，證線面平行一般是通過證線線平行來證明，三棱錐的體積常用等體積法轉(zhuǎn)換底面和高進(jìn)行求解.20、（1）（2）使的面積等于4的點有2個【解題分析】

（1）利用條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓過點求t，確定圓方程.（2）設(shè)，由確定阿波羅尼斯圓方程，與圓C為同一圓，可得，求出N點的坐標(biāo)，建立ON方程，,再利用面積求點P到直線的距離，判斷與ON平行且距離為的兩條直線與圓C的位置關(guān)系可得結(jié)論.【題目詳解】（1）依題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則半徑為，圓的方程可寫成，因為圓過點，∴，∴，則圓的方程為。（2）由題知，直線的方程為，設(shè)滿足題意，設(shè)，則，所以，則，因為上式對任意恒成立，所以，且，解得或（舍去，與重合）。所以點，則，直線方程為，點到直線的距離，若存在點使的面積等于4，則，∴。①當(dāng)點在直線的上方時，點到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當(dāng)點在直線的上方時，使的面積等于4的點有2個；②當(dāng)點在直線的下方時，點到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當(dāng)點在直線的下方時，使的面積等于4的點有0個，綜上可知，使的面積等于4的點有2個。