2024屆新疆石河子一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆新疆石河子一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，其中平面，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則該球的體積是（）A． B． C． D．2．若，，則等于()A． B． C． D．3．已知，則等于（）A． B． C． D．34．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．5．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度6．已知向量，，若，則與的夾角為（）A． B． C． D．7．在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則此數(shù)大于2的概率為（）A． B． C． D．8．一只小狗在圖所示的方磚上走來(lái)走去，最終停在涂色方磚的概率為（）A． B． C． D．9．平面內(nèi)任一向量都可以表示成的形式，下列關(guān)于向量的說(shuō)法中正確的是（）A．向量的方向相同 B．向量中至少有一個(gè)是零向量C．向量的方向相反 D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，10．如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格邊長(zhǎng)為，圖中粗線畫(huà)的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．對(duì)于下列數(shù)排成的數(shù)陣：它的第10行所有數(shù)的和為_(kāi)_______12．在行列式中，元素的代數(shù)余子式的值是________.13．設(shè)ω為正實(shí)數(shù).若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得14．已知函數(shù),為的反函數(shù),則_______(用反三角形式表示).15．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為3，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)____．16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18．已知函數(shù)，設(shè)其最小值為（1）求；（2）若，求a以及此時(shí)的最大值.19．中，角A，B，C所對(duì)邊分別是a、b、c，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．20．若x，y為正實(shí)數(shù)，求證：，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值以及取得該最小值時(shí)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和線面位置關(guān)系，得到中點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，求得球的半徑，利用球的體積公式，即可求解.【題目詳解】由題意，如圖所示，因?yàn)?，且為直角三角形，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，則平面，得.又由，所以中點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑.所以該球的體積是.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了有關(guān)球的組合體問(wèn)題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問(wèn)題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑.2、C【解題分析】

直接用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【題目詳解】由，.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

等式分子分母同時(shí)除以即可得解.【題目詳解】由可得.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出，計(jì)算即可得出答案?！绢}目詳解】因?yàn)椋怨蔬xC【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式,的圖象變換規(guī)律,得出結(jié)論.【題目詳解】為了得到函數(shù)的圖象,

只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,

故選C.6、D【解題分析】∵，，⊥，∴，解得．∴．∴，又．設(shè)向量與的夾角為，則．又，∴．選D．7、D【解題分析】

根據(jù)幾何概型長(zhǎng)度型直接求解即可.【題目詳解】根據(jù)幾何概型可知，所求概率為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型概率問(wèn)題的求解，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

方磚上共分為九個(gè)全等的正方形，涂色方磚為其中的兩塊，由幾何概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【題目詳解】由圖形可知，方磚上共分為九個(gè)全等的正方形，涂色方磚為其中的兩塊，由幾何概型的概率公式可知，小狗最終停在涂色方磚的概率為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用幾何概型概率公式計(jì)算事件的概率，解題時(shí)要理解事件的基本類(lèi)型，正確選擇古典概型和幾何概型概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

根據(jù)平面向量的基本定理，若平面內(nèi)任一向量都可以表示成的形式，構(gòu)成一個(gè)基底，所以向量不共線．【題目詳解】因?yàn)槿我幌蛄?，根?jù)平面向理的基本定理得，所以向量不共線，故A，C不正確.是一個(gè)基底，所以不能為零向量，故B不正確.因?yàn)椴还簿€，且不能為零向量，所以若，當(dāng)且僅當(dāng)，故D正確.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的基本定理，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，作出圖形即可求出表面積?！绢}目詳解】該幾何體為四棱錐，如圖..選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三視圖，考查了四棱錐的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由題意得第10行的第一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，第10行的最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，再根據(jù)奇數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)，得到第10行的各個(gè)數(shù)，由此能求出第10行所有數(shù)的和．【題目詳解】第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，則第9行9個(gè)數(shù)，故第10行的第一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，第10行的最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為，且奇數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)，故第10行所有數(shù)的和為，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題以數(shù)陣為背景，觀察數(shù)列中項(xiàng)的特點(diǎn)，求數(shù)列通項(xiàng)和前項(xiàng)和，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)要注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．12、【解題分析】

根據(jù)余子式的定義，要求的代數(shù)余子式的值，這個(gè)元素在三階行列式中的位置是第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代數(shù)余子式，解出即可．【題目詳解】解：在行列式中，元素在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代數(shù)余子式為：解這個(gè)余子式的值為，故元素的代數(shù)余子式的值是．故答案為：【題目點(diǎn)撥】考查學(xué)生會(huì)求行列式中元素的代數(shù)余子式，行列式的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．13、ω∈[【解題分析】

由sinωa+sinωb=2?sinωa=sinωb=1.而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ]【題目詳解】由sinωa+而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ]，故已知條件等價(jià)于：存在整數(shù)ωπ當(dāng)ω≥4時(shí)，區(qū)間[ωπ,2ωπ]的長(zhǎng)度不小于4π當(dāng)0<ω<4時(shí)，注意到，[ωπ故只要考慮如下幾種情形：（1）ωπ≤π2<（2）ωπ≤5（3）ωπ≤9綜上，并注意到ω≥4也滿足條件，知ω∈[9故答案為：ω∈[【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.14、【解題分析】

先將轉(zhuǎn)化為，，然后求出即可【題目詳解】因?yàn)樗运运运园雅c互換可得即所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查的是反函數(shù)的求法，較簡(jiǎn)單15、【解題分析】

該多面體為正八面體，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正四棱錐，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)正四棱錐的體積計(jì)算出正八面體的體積.【題目詳解】以正方體所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體為正八面體，也可以看作是兩個(gè)正四棱錐的組合體，每一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)均為．則其中一個(gè)正四棱錐的高為h．∴該多面體的體積V．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正八面體、正四棱錐體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)奇偶性，先計(jì)算，再計(jì)算【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）利用數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；（2）確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出.【題目詳解】（1），，因此，數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由于，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，因此，.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的證明，同時(shí)也考查了數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）（2），【解題分析】

（1）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)解析式后，分三種情況、和討論，根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法求出的最小值的值即可；（2）把代入到第一問(wèn)的的第二和第三個(gè)解析式中，求出的值，代入中得到的解析式，利用配方可得的最大值．【題目詳解】（1）由題意，函數(shù)∵，∴，若，即，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，.若，即，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，.若即，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，，∴．（2）由（1）及題意，得當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去），綜上，，此時(shí)，則時(shí)，取得最大值.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用二次函數(shù)的方法求三角函數(shù)的最值，要求熟練掌握余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，其中解答中合理轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．19、（1）；（2）【解題分析】

(1)將化簡(jiǎn)代入數(shù)據(jù)得到答案.(2)利用余弦定理和均值不等式計(jì)算，代入面積公式得到答案.【題目詳解】；(2)由，可得，由余弦定理可得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)．則面積為．即有時(shí)，的面積取得最大值．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，面積公式，均值不等式，屬于常考題型.20、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，證明見(jiàn)解析【解題分析】

由題意，.【題目詳解】由題意，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立解得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式的運(yùn)用，考查了不等式的證明，屬于中檔題.21、（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值.【解題分析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，