江蘇省2023年高考數(shù)學(xué)試題及答案

精選江蘇省2023年高考數(shù)學(xué)試

題及答案（Word版）

江蘇省2023年高考數(shù)學(xué)試題及答案［Word版〕

〔試卷總分值：160分，考試時(shí)間：120分鐘〕

考前須知：

1.試卷總分值160分，另設(shè)附加題40分。理科

類考生加試附加題。

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等

填寫在答題卡和試卷指定位置上。

3.答復(fù)選擇題時(shí)，選出每題答案后，用鉛筆把

答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。答復(fù)非選擇題時(shí),

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

參考公式：

錐體的體積vj對(duì)其中S是錐體的底面積，"是錐體的

|=).

數(shù)學(xué)I

一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共計(jì)70

分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

1.集合A={0,l,2,8},B={-1,1,6,8),那么AB=.

2.假設(shè)復(fù)數(shù)二滿足i.z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，那么z

的實(shí)部為.

2

3.5位裁判給某運(yùn)發(fā)動(dòng)打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如下圖，

那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)

為.

899

9011

(第3題)

4.一個(gè)算法的偽代碼如下圖，執(zhí)行此算法，最后輸

出的S的值為?

?-----------------------i

；/11;

:S-1

[While/<6

；/1/+2

；S—2S

；EndWhile

[PrintS

…謬z頓…一

5.函數(shù)AM師』的定義域?yàn)?

6.某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2

名學(xué)生去參加活動(dòng)，那么恰好選中2名女生的概

率為,

7.函數(shù)y=sin(2x+9)(-/的圖象關(guān)于直線Y對(duì)稱，那么

，的值是.

8.在平面直角坐標(biāo)系9中，假設(shè)雙曲線f=l(a>O,b>0)

的右焦點(diǎn)小。)到一條漸近線的距離為?c,那么其

離心率的值是.

3

9.函數(shù)/(%)滿足/(X+4)=/(%)(%eR),且在區(qū)間(-2,2］上,

TIX__

m=C°ST,那么小(⑸)的值為.

|x+孑-2<xV0,

、乙

10.如下圖，正方體的棱長為2,以其所有面的中心

為頂點(diǎn)的多面體的體積為.

2

11.假設(shè)函數(shù)/(x)=2x3-ax+GR)4^"(0,H-co)內(nèi)有且只有一個(gè)零

點(diǎn)，那么小)在山］上的最大值與最小值的和

為.

12.在平面直角坐標(biāo)系g中，4為直線/：y=2x上在第一

象限內(nèi)的點(diǎn)，驅(qū)。)，以48為直徑的圓。與直線/

交于另一點(diǎn)〃假設(shè)"8=。，那么點(diǎn)4的橫坐標(biāo)

為?

13.在AA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,

Z4BC的平分線交AC于點(diǎn)P,且即=1,那么4o+c的最

小值為-

14.集合A={x|x=2n-1,/zeN),B={x|x=2?,,nGN*)■將A8的所有元

4

素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列U},記S.為數(shù)

列{*的前〃項(xiàng)和，那么使得Bi%成立的"的最

小值為-

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖?題?

卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

15.〔本小題總分值14分〕

在平行六面體ABCD_A4GR中，例=AB,AB,±B??

求證：[I]AB//平面A、B[C；

C2〕平面▲BqA1平面

\BC.

16.〔本小題總分值14分〕

a,P為銳角，tana=g,

cos(a+/)=―與■

⑴求cos2a的值；

〔2〕求tan(a-(3)的值.

17.〔本小題總分值14分〕

某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如下圖，它的邊界由圓0

的一段圓弧MPN〔，為此圓弧的中點(diǎn)〕和線段MN

構(gòu)成.圓。的半徑為40

米，點(diǎn)"到網(wǎng)的距離為產(chǎn)二

5.1/

(第17題)

50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，

大棚I內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚II內(nèi)的

地塊形狀為△CDP,要求A,B均在線段MN上，C,￡）均在

圓弧上.設(shè)外與制所成的角為

〔1〕用。分別表示矩形AB8和△€?尸的面積，并確

定sin（9的取值范圍；

〔2〕假設(shè)大棚I內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚II內(nèi)種

植乙種蔬菜，且甲、乙兩

種蔬菜的單位面積年產(chǎn)廠、

值之比為4：3,求當(dāng)。為何

值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬.I?！?/p>

菜的年總產(chǎn)值最大.:二

18.〔本小題總分值16分〕1口）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO）中，橢圓C過點(diǎn)（圖）,

焦點(diǎn)片（一百,0）,6（6,0）,圓。的直徑為耳丹.

〔1〕求橢圓C及圓。的方程；

〔2〕設(shè)直線/與圓。相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①假設(shè)直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),

求點(diǎn)夕的坐標(biāo)；

②直線/與橢圓。交于A3兩點(diǎn).假設(shè)2他的面

積為半，求直線/的方程.

19.〔本小題總分值16分〕

6

記分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).假設(shè)存在

yR,滿足/(毛)=且(不)且廣(*0)=8'(不),那么稱X。為函數(shù)/(X)

與蚣)的一個(gè)“S點(diǎn)".

〔1庇明：函數(shù)〃x)=x與g(x)=f+2A2不存在"S點(diǎn)"；

〔2〕假設(shè)函數(shù)與g(x),存在“S點(diǎn)〃，求

實(shí)數(shù)名的值；

〔3〕函數(shù)f(x)=-x2+aJg(x)=—■對(duì)任意心。，判斷是

X

否存在〃>。，使函數(shù)/(x)與g(x)在區(qū)間(0,+<?)內(nèi)存在S

點(diǎn)"，并說明理由.

20.〔本小題總分值16分〕

設(shè)④是首項(xiàng)為打公差為，的等差數(shù)列，也｝是首

項(xiàng)為人公比為。的等比數(shù)列.

⑴設(shè)%=0,/?!=l,g=2,假設(shè)Ian-b?|<4對(duì)n=1,2,3,4均成,

求，的取值范圍；

〔2〕假設(shè)ax=b]>0,mee(1,^2],證明：存在deR,使

得|%-々區(qū)么對(duì)"=2,3,,m+\均成立，并求d的取值范圍

〔用4,九9表示〕.

數(shù)學(xué)II(附加題)

21.【選做題】此題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定

???

其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.假設(shè)

多做，那么按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫

7

出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.［選修4-1：幾何證明選廠、

講］（本小題總分值10分）（

如圖，圓。的半徑為2,AB｛。、

為圓。的直徑/為48延長（用ZI—A）

線上一點(diǎn)，過。作圓。的切

線，切點(diǎn)為G假設(shè)g2鳥求力的長.

B.［選修4-2：矩陣與變換］（本小題總分值10分）

矩陣:.

〔1〕求A的逆矩陣一

〔2〕假設(shè)點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到

點(diǎn)P（3,l）,求點(diǎn)，的坐標(biāo).

c.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本小題總分值

10分）

在極坐標(biāo)系中，直線/的方程為psin（-O-6*）=2,曲線

。的方程為片公斕，求直線/被曲線。截得的弦

長.

D.［選修4一5：不等式選講］（本小題總分值10分）

假設(shè)Ry,z為實(shí)數(shù)，且戶2y+2z=6,求v+y+z2的

最小值.

8

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20

分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.

22.〔本小題總分值10分〕

如圖，在正三棱柱4既48G

中，AB=M=2,點(diǎn)尺。分別

為仍的中點(diǎn).

C1）求異面直線仍與4G

所成角的余弦值；

B

〔2〕求直線CG與平面（第22題）

所成角的正弦值.

23.（本小題總分值10分）

設(shè),對(duì)1,2,■■■,"的一個(gè)排列池u

如果當(dāng)5＜匕時(shí)，有』，那么稱（中,）是排列咕，，的

一個(gè)逆序，排列眄，的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其

逆序數(shù).例如：對(duì)1,2,3的一個(gè)排列231,只

有兩個(gè)逆序（2,1）,（3,1）,那么排列231的逆

9

序數(shù)為2.記儀)為1,2,■■■,〃的所有排

列中逆序數(shù)為攵的全部排列的個(gè)數(shù).

⑴求&2)1(2)的值；

〔2〕求￡0)(〃*5)的表達(dá)式(用〃表示).

參考答案

一、填空題：此題考查根底知識(shí)、根本運(yùn)算和根本思

想方法.每題5分，共計(jì)70分.

10

1.11,8}2.23.90

4.8

5.[2,+8]6.7.」

6

8.2

9.立..10.311.-3

23

12.3

13.914.27

二、解答題

15.本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平

面與平面的位置關(guān)系,考查空間想象能力和推理

論證能力.總分值14分.

證明：〔1〕在平行六面體ABCD-A^aa中，AB

"AB.

因?yàn)?48cz平面48a48u平面ABC,

所以48〃平面48G

〔2〕在平行六面體ABCD-

ABB4為

平行四邊形.

又因?yàn)椤?區(qū)所以四邊形4能4為菱形,

因此4呂_L48

又因?yàn)?BJL8%3C//RG,

所以4BLBC

11

又因?yàn)?8n小伉4昆平面ABC,8Cu平面ABC,

所以ABy-L平面AyBG,

因?yàn)榈膗平面ABRA,

所以平面ABByAyl.平面ABC.

16.本小題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和〔差〕

及二倍角的三角函數(shù)，考查運(yùn)算求解能力.總分

值14分.

sina

解：〔1〕因?yàn)閠anaj,tana=--y-----所以sina=gcoso.

cosa

29

因?yàn)閟in2a+cos2a=1,所以cos~a=—■

25，

因此，cos2a=2cos2■

〔2〕因?yàn)閍/為銳角，所以a+/?e(0,7t)■

又因?yàn)閏os(a+4)=一-y,所以sin(a+6)=W-cos2(a+(])=?

因此lan(a+/)=-2■

2tana24

因?yàn)閠ana=g,tan2a-

l-tan2cr7

2

因此,—a一…司設(shè)北工

H

17.本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值

等根底知識(shí),考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)

學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.總分值14

分.

解：〔1〕連結(jié)力并延長交觸于H,那:

所以朋10.

（第17題）

12

過0作斑_(dá)L8C于￡那么如〃硼所以NCOM6,

故應(yīng)XOcosC,￡Z?=4Osin3,

那么矩形ABCD的面積為2X40cos6

[40sin8+10]=800(4sin8cos6+cos6〕，

△物的面積為；X2X40cos6〔40-40sin6〕

=1600Ccos-sin8cos6〕.

過N悔GN1MN,分別交圓弧和宏的延長線于G

和(那么除誰10.

令NG游8°,那么sin8o=L8?！辍?,四〕.

46

當(dāng)8￡[仇，卜時(shí)，才能作出滿足條件的矩形

ABCD、

所以sin8的取值范圍是[卜1〕.

答：矩形ABCD的面積為800

(4sin6cos8+cos3〕平方米，△COP的面積

為

1600(cos0-sin3cos0),sin8的取值范圍

是1〕.

〔2〕因?yàn)榧住⒁覂煞N蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之

比為4：3,

設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4用乙的單位面積

的年產(chǎn)值為3k〔〃>0〕，

那么年總產(chǎn)值為4/cX800C4sin6cos8+cos6〕

13

+3AX1600〔cos-sin6cos6〕

二80004Csin8cos8+cos3),8￡[8o,]].

設(shè)”O(jiān)'}=sin8cos8+cos6,8￡[60,9,

那么八。)=cos28-sin?8-sin8=-(2sin2，+sin6-1)=-(2sin0-l)(sin6+1).

令八e)=o,得8=3

6

當(dāng)〔d,*〕時(shí)，八。四所以，〔8〕為增

o

函數(shù)；

當(dāng)eec，q時(shí)，m＜0所以fC8〕為減函

o219

數(shù)，

因此，當(dāng)67時(shí)，f〔6〕取到最大值.

6

答：當(dāng)時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)

6

值最大.

18.本小題主要考查直線方程、圓的方程、圓的幾何

性質(zhì)、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及

橢圓的位置關(guān)系等知識(shí),考查分析問題能力和運(yùn)

算求解能力.總分值16分.

解：〔1〕因?yàn)闄E圓。的焦點(diǎn)為耳(一五0),6(6,0),

可設(shè)橢圓c的方程為5+卷=1(4＞人＞0)■又點(diǎn)點(diǎn)f在橢

圓c上，

所以*'q+方1一，解得

a2-b2=3,=L

因此，橢圓。的方程為。

4

14

因?yàn)閳A0的直徑為時(shí),所以其方程為小八3.

〔2〕①設(shè)直線/與圓。相切于P(x(＞，為)(%＞0，%＞。)，那

么年+%2=3f

所以直線/的方程為y=』(x-Xo)+%，即尸.3

%%為

由消去V,得

y=一一-A：+—,

y0y0

22

(4x；+yn)x-24x(,x+36-4y；=0.1*]

因?yàn)橹本€/與橢圓c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

2222

所以/=(-24x0)-4(4x0+V)(36-4y0)=48y0(v-2)=0?

因?yàn)樗?=3，%=1.

因此，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(友』)?

②因?yàn)槿切?8的面積為半，所以耕。尸二平,

從而付警.

4%,%),8(%,當(dāng))9

24x°±j48%2(為2-2)

由GJ得『2(4-2+%2)

222

所以AB=(x,-x2)+(y,-y2)

22

P.V,48y0(x0-2)

=(F.詆f

因?yàn)閤；+%2=3,

所以AB」"：?點(diǎn),即2_V-45x；+100=0,

解得「汨J20舍去〕，那么%:J,因此"的坐標(biāo)為

15

嚶當(dāng)■

綜上，直線/的方程為y=-\f5x+3>/2■

19.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的性質(zhì),

考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以

及邏輯推理能力,總分值16分.

解：〔1〕函數(shù)ftx}=x,g〔x〕=q+2x~2,那么

fCx]=1,gf〔X〕=2A+2.

由,〔x〕二g〔x〕且rO〕=g'O]，得

[「廣此方程組無解，

[1=2x+2

因此，”外與g〔x〕不存在“￡，點(diǎn).

〔2〕函數(shù)/(x)=ar2-1,g(x)=lnx,

r

那么/r(x)=2ax,g(x)=—x■

設(shè)即為”幻與g〔x〕的點(diǎn)，由”看〕

二gOo〕且2'〔M〕二g'〔X。〕，得

竭-1=Inx0

,即將：l=lnx0,[*]

汽1

2時(shí)）=—2ax^=1

%

16

得lnx0=-；,即那么"—

2MT2

當(dāng)鶯時(shí)…3滿足方程組〔*〕，即%為“幻與

g〔x〕的/點(diǎn).

因此,a的值為會(huì)

3

〔3〕對(duì)任意給0,設(shè)h(x)=x-3x2-ax+a■

因?yàn)椤?0)=a>0,〃⑴=l-3-a+a=-2vO,且力〔X〕的圖象是

不間斷的，

所以存在"91〕，使得…?令.

那么力0.

函數(shù)/(幻=一/+4,g(X)=—X,

那么r(x)=-2x,g，(x)=加'X(1).

由尸〔X〕二g〔X〕且/〔X〕二g'〔X〕，得

竺\-x2+a.、

x,即、嘰-。)*,〔**〕

_加《-1)2Me'(x-l)

—Z.X---z--------Z.X=------;-

X記(1-％)X

此時(shí)，』滿足方程組〔**〕,即/是函數(shù)“外與

g〔外在區(qū)間〔0,1〕內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)".

因此，對(duì)任意給0,存在接0,使函數(shù)》〔外與

g〔x〕在區(qū)間9+8］內(nèi)存在"S點(diǎn)".

20.本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公

式、性質(zhì)等根底知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化

17

歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能

力,總分值16分.

解：〔1〕由條件知：a?=(n-[)d,hn=2"-'.

因?yàn)閝-2區(qū)4對(duì)hi,2,3,4均成AZ.,

即|(n-l)d-2"-'|<1對(duì)方1,2,3,4均成立，

即1J,九43,3.2a5,7.3^9,得夫〃《?

因此，，的取值范圍為它|].32

n

⑵由條件知：a.=bt+(n-r)d,bn=btq~'.

假設(shè)存在d,使得“.小〔后2,3,???，加d〕

成立，

BPI,怪仇(〃=2,3,，相+1),

即當(dāng)〃=2,3,,〃2+1時(shí)，d滿足白匚a4d4仁仄,

n-\n—\

因?yàn)椤?1雨,那么“?小

從而近小。，4^>0,對(duì)〃=2,3,"均成立.

n—\n—\

因此，取洗。時(shí)，\an-b?\<b｝對(duì)n=2,3,,m+\均成立.

下面討論數(shù)列｛7｝的最大值和數(shù)列｛吟)的最小

n—1n-\

值[n=2,3,,m+l].

①當(dāng)”〃<加時(shí),金一*=時(shí)---獷+2/@-/)川+2

1nn-\n(n-l)n(/?-l)7

當(dāng)\<q<^時(shí)，有qn<q,n<2,從而〃(q"+2>o?

因此，當(dāng)2<n<m+\時(shí)，數(shù)列｛7｝單調(diào)遞增，

故數(shù)列｛弋｝的最大值為

n-1m

18

②設(shè)f(x)=2\l-x),當(dāng)x>0時(shí)，r(x)=(ln2-l—xln2)2'<0,

所以f(x)單調(diào)遞減,從而f(x)"〔0〕二1.

當(dāng)時(shí)，.^7(￡^12<2^(1-1)=/(1)<1,

q=nnn

n-\

因此，當(dāng)2<n<m+\時(shí)，數(shù)列｛吟n-\｝單調(diào)遞減，

故數(shù)列嚀n-i的最小m值為心

因此，，的取值范圍為陛3m”tn].

19

數(shù)學(xué)II（附加題）參考答案

21.【選做題】

A.［選修4一1：幾何證明選講］

本小題主要考查圓與三角形等根底知識(shí),考查推

理論證能力,總分值10分.

證明：連結(jié)00.因?yàn)槠谂c圓。相切，所以O(shè)C

1PC.

又因?yàn)橥?2島OC=2,

所以O(shè)P^y/pc2+OC2—4.

又因?yàn)?3=2,從而8為Rt△呼斜邊的中點(diǎn)，

所以m2

B.［選修4—2：矩陣與變換］

本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、線性變換等根底知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.總分值10分.

解：〔1〕因?yàn)?=［：2］9det（A）=2x2-lx3=l*0,所以4可

逆，

從而

⑵設(shè)PCx,y）,那么R；『卜凡所以斗“舊3］,

1zy1y1—i

因此，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（3,-1）.

C.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

20

本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等根底知識(shí),

考查運(yùn)算求解能力.總分值10分.

解：因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為NCOS。，

所以曲線C的圓心為〔2,0〕，直徑為4的圓.

因?yàn)橹本€/的極坐標(biāo)方程為psin(--0)=2,

O

那么直線/過4〔4,0〕，傾斜角為”

所以4為直線/與圓C的一個(gè)交點(diǎn).

設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為伍那么N/生3

連結(jié)出，因?yàn)?為直徑，從而N。好力

(第21-C題)

所以A3=4cos-=2石.

6

因此，直線/被曲線c截得的弦長為坊.

D.［選修4-5：不等式選講］

本小題主要考查柯西不等式等根底知識(shí),考查推

理論證能力.總分值10分.

證明：由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(l2+22+22)>(x+2y+2z)2.

因?yàn)閤+2y+2z=6,4-y24-z2>4,

當(dāng)且僅當(dāng)A冷時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)

21

244

3337

所以V+y2+z2的最小值為4.

22.【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線

所成角和線面角等根底知識(shí)，考查運(yùn)用空間向量

解決問題的能力,總分值10分.