海南省八校聯(lián)盟2023學(xué)年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.中國的國旗和國徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A、3、C、

D、E為頂點的多邊形為正五邊形，且27=叵口4人則/一叵。函=（）

22

C1

與而0空祀

2.在正方體中，E,尸分別為CG，的中點，則異面直線A/，。石所成角的余弦值為（）

,1RV15?2V6n1

A.-B?-------C?-------D.一

4455

3.設(shè)命題P：Va力eR,,一4<|4+網(wǎng)，則為

A.|。一4之同+例B.3a,heR,<|a|+|/?|

C.Ba,beR,|a—Z?|>|a|+|Z?|D.Ba,beR,|a—Z>|>|a|+|Z?|

4.設(shè)過拋物線/=2PMp>（））上任意一點P（異于原點。）的直線與拋物線/=8PMp>0）交于A,8兩點，直線

S

0P與拋物線y2=8px（p>0）的另一個交點為。，則瞪吆=（）

A.1B.2C.3D.4

5.若函數(shù)，。）=//一。恰有3個零點，則實數(shù)"的取值范圍是（）

44

A.（下，+8）B.（0,—）C.（0,4e2）D.（0,+oo）

e~e

6.某高中高三（1）班為了沖刺高考，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上，小王，小董,

小李各寫了一幅書法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細(xì)節(jié)決定成敗”，為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰

寫的，班主任對三人進行了問話，得到回復(fù)如下：

小王說：“入班即靜''是我寫的；

小董說：“天道酬勤''不是小王寫的，就是我寫的；

小李說：“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.

若三人的說法有且僅有一人是正確的，貝!1“入班即靜”的書寫者是（）

A.小王或小李B.小王C.小董D.小李

7.已知集合A={0,1,2},B={X|%（X-2）<0},ljl!|AAB=

A.{1}B.{0,1}C,{1,2}D.{0,1,2}

8.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是（）

俯視圖

22

A.8cm2B.12cm2C.（475+2）cwD.（475+4）cm

9.以下三個命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每1（）分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測，這樣

的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③對分類變量x與y的隨機

變量二的觀測值左來說，攵越小，判斷“x與y有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

x\nx-2x,x>0

io.已知函數(shù)/（x）=23八的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線y=T的對稱點在y=依-1的圖

XH------X,X40

像上，則實數(shù)k的取值范圍是（）

11.若非零實數(shù)"、〃滿足2"=3"，則下列式子一定正確的是（）

A.h>aB.b<a

c.同<同D.例>|《

12.已知拋物線C：V=2py（p>0）的焦點為/（0,1）,若拋物線C上的點A關(guān)于直線/：y=2x+2對稱的點B恰好在

射線y=l1*<3）±,則直線AP被C截得的弦長為（）

100118127

B.——C.-----

99

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若一組樣本數(shù)據(jù)7,9,X,8,10的平均數(shù)為9,則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為.

14.若雙曲線C：斗=乂。〉。力〉0）的離心率為屈，則雙曲線。的漸近線方程為.

ab~

15.（5分）已知函數(shù)/（x）=lg（9Y+l）+x2—l,則不等式/（1083》）+/（陛，）<2的解集為.

X

16.為激發(fā)學(xué)生團結(jié)協(xié)作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個班進行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽

1場，目前（一）班已賽了4場，（二）班已賽了3場，（三）班已賽了2場，（四）班已賽了1場.則目前（五）班已

經(jīng)參加比賽的場次為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）改革開放40年，我國經(jīng)濟取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷

加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機抽取

男女駕駛員各50人，進行問卷測評，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識強.

安全意識強安全意識不強合計

男性

女性

合計

(I)求。的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；

(D)已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1,完成2x2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識與性別

有關(guān)；

(in)在(II)的條件下，從交通安全意識強的駕駛員中隨機抽取2人，求抽到的女性人數(shù)x的分布列及期望.

n(ad-bc『

其中n=a+b-\-c+d

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=a(x+l)ln(x+l)—V一公色>0)是減函數(shù).

(1)試確定a的值；

(2)己知數(shù)列{〃〃}〃"=—("+1).=4a2a3........),求證：ln[(〃+2)<1一".

IT+12

19.(12分)在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為直角梯形，BC//AD,48=90。，PA1CD,

BC=C0=LAO=1,PA=PD,E,b分別為A。，PC的中點.

2

(1)求證：PC=2EF.

(2)若EF工PC,求二面角P-BE-尸的余弦值.

20.(12分)貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會的標(biāo)志性指標(biāo).黨的十九屆四中全會提出“堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，建

立解決相對貧困的長效機制”對當(dāng)前和下一個階段的扶貧工作進行了前瞻性的部署，即2020年要通過精準(zhǔn)扶貧全面消

除絕對貧困，實現(xiàn)全面建成小康社會的奮斗目標(biāo).為了響應(yīng)黨的號召，某市對口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展扶貧工作.對某種農(nóng)產(chǎn)品

加工生產(chǎn)銷售進行指導(dǎo)，經(jīng)調(diào)查知，在一個銷售季度內(nèi)，每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬元，未售出的商品，每噸虧損2

萬元.經(jīng)統(tǒng)計A,8兩市場以往100個銷售周期該產(chǎn)品的市場需求量的頻數(shù)分布如下表：

A市場:

需求量

90100110

（噸）

頻數(shù)205030

8市場:

需求量

90100110

（噸）

頻數(shù)106030

把市場需求量的頻率視為需求量的概率，設(shè)該廠在下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)〃噸該產(chǎn)品，在A、3兩市場同時銷售，以X

（單位：噸）表示下一個銷售周期兩市場的需求量，Y（單位：萬元）表示下一個銷售周期兩市場的銷售總利潤.

（1）求X>200的概率；

（2）以銷售利潤的期望為決策依據(jù)，確定下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量二190噸還是n=200噸?并說明理由.

21.（12分）在AABC中，角A，B,。所對的邊分別為。，b,'匚,且a=bcosC+csin3.

（1）求B的值；

7

（2）設(shè)NBAC的平分線AO與邊3c交于點O,已知4。=一，cosM=——，求人的值.

25

/7T

22.（10分）如圖，四棱錐P-A5CD的底面是梯形.BC//AD,48=8C=CD=1AD=2PB=*,PA=PC=6

992

二BC

（I）證明；AC±BP,

（D）求直線與平面APC所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義，便可解決問題.

【詳解】

解：Q—墾1屈=麗—既=而=墾1就.

22

故選：A

【點睛】

本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬

于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

連接跳，BD,因為BE//A尸，所以ZBED為異面直線AE與DE所成的角（或補角），

不妨設(shè)正方體的棱長為2,取BO的中點為G,連接EG,在等腰ABED中，求出cosNBEG=&G=g,在利用

BE6

二倍角公式，求出cos/BED,即可得出答案.

【詳解】

連接BE,BD,因為BEHAF,所以N3ED為異面直線A尸與OE所成的角（或補角），

不妨設(shè)正方體的棱長為2,則8E=DE=不，BD=2五，

在等腰帖以）中，取BO的中點為G,連接EG,

則==6cosNBEG='=

BE石

所以cosABED=cos2NBEG=2cos2NBEG-1,

31

即：cosNBED=2x——1=—,

55

所以異面直線AE,OE所成角的余弦值為：.

故選：D.

Di

【點睛】

本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計算能力.

3.D

【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.

【詳解】

因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題，：|。一可＜同+同，則f為：3a,b&R,＞|?|+|/?|.

故本題答案為D.

【點睛】

本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比，進而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標(biāo),

最后代入坐標(biāo)，求得三角形面積比.

【詳解】

作圖，設(shè)A8與0P的夾角為。，則中邊上的高與AABO中AB邊上的高之比為學(xué)嗎=黑，

OrsiniOP

.?.學(xué)絲=考=迎二"=①―1,設(shè)則直線OP：)=^x,即＞=女1,與V=8px聯(lián)立，解得

S.ABOOPypyPyip)-x

4y.

y°=4y,從而得到面積比為二-1=3.

故選：C

)4

【點睛】

解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.

5.B

【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)"恰有三個零點，即可求實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為y'=2xex+Ye'=xe\x+2）,

令y'=o,則x=0或-2,

—2<x<0上單調(diào)遞減，（-8,-2）,（0,長。）上單調(diào)遞增，

所以0或-2是函數(shù)y的極值點，

函數(shù)的極值為：/（0）=0,/（-2）=41=—,

e

4

函數(shù)/（為=//一。恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是：（0,f）.

e~

故選B.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象

的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點個數(shù)的問題，難度不大.

6.D

【解析】

根據(jù)題意，分別假設(shè)一個正確，推理出與假設(shè)不矛盾，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：由題意知，若只有小王的說法正確，則小王對應(yīng)“入班即靜”，

而否定小董說法后得出：小王對應(yīng)“天道酬勤”，則矛盾；

若只有小董的說法正確，則小董對應(yīng)“天道酬勤”，

否定小李的說法后得出：小李對應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”，

所以剩下小王對應(yīng)“入班即靜”，但與小王的錯誤的說法矛盾；

若小李的說法正確，貝心細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的，

則否定小董的說法得出：小王對應(yīng)“天道酬勤”，

所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.

所以“入班即靜”的書寫者是：小李.

故選：D.

【點睛】

本題考查推理證明的實際應(yīng)用.

7.A

【解析】

先解A、B集合，再取交集。

【詳解】

x(x-2)<0n0<X<2,所以B集合與A集合的交集為{1},故選A

【點睛】

一般地，把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。

8.D

【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體的表面積.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為2x2=4.側(cè)面的高為萬喬=石，所以側(cè)面積為

4xgx2x6=46.所以該幾何體的表面積是(475+4)on2.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③.

【詳解】

①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；

②兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;兩個隨機變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接

近于0;故②為真命題；

③對分類變量x與y的隨機變量K?的觀測值攵來說，左越小，“x與y有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題.

故選：c.

【點睛】

本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線y=丘-1關(guān)于直線y=T的對稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨

界點，進一步確定攵的取值范圍即可

【詳解】

可求得直線y=kx-l關(guān)于直線y=-1的對稱直線為y=膽-1(機=-&),

當(dāng)x〉0時，f(x)=x\nx-2x,尸(x)=lnx-l,當(dāng)x=e時，則當(dāng)xe(0,e)時，/'(x)<0,/(x)

單減，當(dāng)xw(e,4w)時，/,(x)>0,/(x)單增;

3a3RQ

當(dāng)XWO時，/(可=/+彳%，/(x)=2x+"當(dāng)》=一丁尸(X)=O,當(dāng)x<—］時，"X)單減，當(dāng)-］<x<0時,

“X)單增；

根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖:

31

當(dāng)y=如一1與/(尤)=%2+(xWO)相切時，得△=(),解得機=-］；

y=x\nx-2x

當(dāng)丁=/加一1與/(x)=xlnx-2x(x〉0)相切時，滿足=—l

m=Inx-1

解得X=U結(jié)合圖像可知m即一丘卜,1),kef-3

故選：A

【點睛】

本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題

11.C

【解析】

令2"=3"=t,貝！k>0,rwl,將指數(shù)式化成對數(shù)式得。、b后,然后取絕對值作差比較可得.

【詳解】

令2"=3"=八貝！h>0,rwl,，a=log2f=旦，b=logj=具,

lg2lg3

IM|lgr|^|lgr|(lg3-lg2)

???同一問>o,因此，|a|>網(wǎng).

lg2lg3-Ig21g3

故選：c.

【點睛】

本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題.

12.B

【解析】

由焦點得拋物線方程，設(shè)A點的坐標(biāo)為(m，J根根據(jù)對稱可求出點A的坐標(biāo)，寫出直線AE方程，聯(lián)立拋物線求

交點，計算弦長即可.

【詳解】

拋物線C：x2^2py(p>0)的焦點為F(0,l),

則e=1,即p=2,

2

設(shè)A點的坐標(biāo)為(加」，/),3點的坐標(biāo)為n<3,

4

如圖:

34

m-----

m=63

解得或，35、（舍去）'

n=2

n-一

9

A（6,9）

4

直線AF的方程為y=—x+1,

設(shè)直線AF與拋物線的另一個交點為D,

2

41x-——

V=-X+1x=63

由＜3,解得，1尸9或

X2=4y1

y=一

-9

1\100

??.|AO|=J（6+|）+（9一］

9

故直線A尸被C截得的弦長為—.

9

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，點關(guān)于直線對稱，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

7+9+X+8+1O

根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得=9,解得x的值，進而由方差公式計算，可得答案.

5

【詳解】

根據(jù)題意，數(shù)據(jù)7,9,X,8,10的平均數(shù)為9,

r,7+9+X+8+10

則-----------------=9,解得:x=ll,

則其方差§2=：[(7-9)2+(9-9)2+(11—9)2+(8—9)2+(10—9)2]=2.

故答案為：L

【點睛】

本題考平均數(shù)、方差的計算，考查運算求解能力，求解時注意求出x的值，屬于基礎(chǔ)題.

14.y=±3x

【解析】

利用=1+(2]=10,得到的關(guān)系式，然后代入雙曲線c的漸近線方程y=±2*即可求解.

⑴⑴a

【詳解】

因為雙曲線。的離心率為e=￡=屈,c?=〃+戶,

a

所以=10口2=々2+)2,即〃=3",

因為雙曲線c的漸近線方程為丫=±2》，

a

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±3x.

故答案為:y=±3x

【點睛】

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.

15.q,3]

【解析】

易知函數(shù)/(x)的定義域為R,B./(-x)=lg[9(-x)2+1]+(-x)2-1=/(x),則/(x)是R上的偶函數(shù).由于小9爐+1在

。+8)上單調(diào)遞增，而y=1gM在“w[1,+oo)上也單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知y=lg(9x2+1)在[0,+oo)上單調(diào)遞增,

又y=》2-1在［0,+°0）上單調(diào)遞增，故知/■（》）=聯(lián)9*2+1）+/-1在［0,+8）上單調(diào)遞增.令ylogjX,知log3，=T,

X

則不等式/Xlog㈤+/（log」）42可化為/⑺+/（T）M2,即2/⑺42,可得了⑴力，又f⑴=lgl0+F_1=1,/⑶是

X

偶函數(shù)，可得用〃）4〃1）,由/（X）在2,”）上單調(diào)遞增，可得|1%》區(qū)1,貝！|-141og3xWl,解得,＜無＜3,故不

等式/（log.x）+/（log3l）＜2的解集為已,3］.

x3

16.2

【解析】

根據(jù)比賽場次，分析，畫出圖象，計算結(jié)果.

【詳解】

畫圖所示，可知目前（五）班已經(jīng)賽了2場.

故答案為：2

【點睛】

本題考查推理，計數(shù)原理的圖形表示，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.（I）?=0.016.0.2（II）見解析，有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)（HI）見解析，y

【解析】

（I）直接根據(jù)頻率和為1計算得到答案.

（II）完善列聯(lián)表，計算K=9＞7,879，對比臨界值表得到答案.

（ni）x的取值為QL2,,計算概率得到分布列，計算數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

（I）10（0.004x2+0.008+?+0.02x2+0.028）=1,解得a=0.016.

所以該城市駕駛員交通安全意識強的概率0=0.16+0.04=0.2.

（n）

安全意識安全意識合

強不強計

男

163450

性

女

44650

性

合

2080100

計

(16x46-4x34)2x100

K2=9〉7.879,

20x80x50x50

所以有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān)

(m>X的取值為0,1,2,

「2。)噫嘿尸S)=警=||,P(X3裳喉

所以x的分布列為

X012

12323

P

199595

加川~、八3262

期望E(X)=—+—=-.

95955

【點睛】

本題考查了獨立性檢驗，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

18.(I)a=2(II)見證明

【解析】

(I)求導(dǎo)得/'(x)=aln(x+1)-2x,由/(x)是減函數(shù)得,對任意的x,都有/'(x)=t/ln(x+l)-2x<0

恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=aln(x+l)-2x,通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0,即可求出

(D)由“X)是減函數(shù)，且/⑼=()可得，當(dāng)x>()時，〃x)<0,貝!即2("+l)ln(l+〃)<〃2+2〃,

ln(n+l)1nn+2?1nn+2

兩邊同除以2(〃+葉得,----------<-----------------，BPna<-----------------，從而

〃+12〃+1〃+1n2〃+1〃+1

T1123n345n+2擊.喏，兩邊取對數(shù)

T=aaa...a<--

n{23n234”+1234……n+1

2

(〃+2)

+<In-=21n(〃+2)-ln(〃+l)-(〃+l)ln2,然后再證明

2n+'(n+

21n(〃+2)-皿(〃+1)-(〃+1)1112+5-1<0恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)

/z(x)=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+|-l,XG[1,+OO),通過求導(dǎo)證明<()即可.

【詳解】

解：(I)/(x)的定義域為(一1,口)，r(x)=aln(x+l)—2x.

由/(x)是減函數(shù)得，對任意的xe(-L+8),都有/'(x)=aln(x+l)-2xW0恒成立.

設(shè)g(x)=aln(x+l)-2x.

,由。>0知—1>-1,

?g'3=2

x+1

,(1a

???當(dāng)?-七時,g(x)>0；當(dāng)-l,+oo時，g'(x)<0,

a

??一仁-1J上單調(diào)遞增，在《T+8)上單調(diào)遞減,

g2

.??8(力在％=事-1時取得最大值.

又???g(0)=0,.?.對任意的g(x)wg(o)恒成立，即g(x)的最大值為g(o).

/.--l=0,解得4=2.

2

(H)由/(x)是減函數(shù)，且"0)=0可得，當(dāng)x>0時，/(力<0,

/./(n)<0,即2(〃+l)ln(l+〃)<n2+2〃.

.、」「“一/八2-In(n+1)1nn+21nn+2

兩邊同除以2("+1)得，--------<--------------,即a”<-----------------

〃+12n+\n+12n+1n+1

從而7；=<￡?123n345n+21n+2

234……n+\234……n+\2^'n+1

“+2)2

所以ln[(〃+2)7；]<ln=21n(/?+2)-in(H+1)-(H+1)ln2①.

2n+,(n+l)

下面證21n(〃+2)-.(〃+1)-(〃+1)m2+5-1<0；

=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+^-l,XG[1,4-OO).

2x--------ln2+—

"(x)=—In2H"-二、-ln2+-J:2,

x+2x+12x+3x+22XH---F3

X

丁=》+：在［2,位)上單調(diào)遞增,

”(x)在［2,物)上單調(diào)遞減,

而“(X)</?,(2)=--ln2+-=-(2-31n2)=-(2-ln8)<0,

6233

.,.當(dāng)xe[2,+oo)時，〃'(x)<0恒成立,

.?.〃(%)在［2,+8)上單調(diào)遞減,

即x￡[2,-Feo)時，〃(x)<〃(2)=21n4-ln3-31n2=ln2-ln3<0,

當(dāng)心2時，A(n)<0.

1Q「

1)=21n3-In2-21n2——=ln--lnVe<0,

28

.,?當(dāng)〃GN*時，/?(?)<0,即21n(〃+2)—ln(〃+l)—(〃+l)ln2<l,②.

綜上①(§)可得，ln[(n+2)7；,]<l-^

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計算求

解能力，屬于難題.，

19.(1)見解析(2)逅

3

【解析】

(1)由已知可證明8,平面Q4D,從而得證面面垂直，再由P￡_LAQ,得線面垂直，從而得PE上EC,由直角

三角形得結(jié)論;

(2)以E4,EB,EP為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法示二面角.

【詳解】

(1)證明：連接EC,■.?ZBCD=ZADC=90°,：.AD1CD.

\PA1CD,PAr\AD^A,\。人平面R4O.

;CDu平面ABC。，，平面ABC￡>_L平面24。.

?;PA=PD,E為AO的中點，：.PE±AD.

?.?平面ABC。n平面E4D=4)，.?.PE_L平面ABCD.

QECu平面ABC。，..PELEC.

?；F為Rt"EC斜邊PC的中點，；.PC=2EF,

(2)?.?MLPC,???由(1)可知，APEC為等腰直角三角形，

則=EC=及.以上為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則及0,0,0),P(0,0,>/2),3(0,1,0),F——,—,

\/

則麗=(0,1,0)方=一；，；，￥，記平面￡?尸的法向量為比=(x,y,z)

\/

r——[y=0

m-EB=0,-「

由《一——c得到111V2,

m-EF=0——x+—yd-----z=0

'I222

取x=2,可得z=V2>則而=(2,0,J5).

易知平面的法向量為?=￡4=(1,0,0).

記二面角2-BE-F、的平面角為。，且由圖可知。為銳角，

則cos0=回回=-^=—,所以二面角P-BE-F的余弦值為逅?

\m\\n\V633

【點睛】

本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而得線線垂直，考查用空間向量法求二面角.在立體幾何中求異面

直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時，可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解空間角，可避

免空間角的作證過程，通過計算求解.

20.(1)0.42；(2)〃=200噸，理由見解析

【解析】

(1)設(shè)“A市場需求量為90,100,110噸”分別記為事件A,&,4,“8市場需求量為90,100,110噸”分別記為

事件用，由題可得PA(，，尸()(件),代入

B2,B3,()，PA)p(4)4,Pp(&),

「”>200)=「(44+&5+44)，計算可得答案；

(2)X可取180,190,200,210,220,求出〃=19()噸和〃=200噸時的期望，比較大小即可.

【詳解】

(1)設(shè)“A市場需求量為90,100,110噸”分別記為事件4，4，4,“3市場需求量為90,100,110噸”分別記為

事件用，B2,層，則

尸(A)=o.2,P(A,)=0.5,P(A)=0.3,

p(4)=0.1,P(%=0.6,尸(四)=0.3,

p(x>200)=P(4區(qū)+4為+A片)

=P(4)尸仍3)+P(A)P(8J+P(4)P(員)

=0.5x0.3+0.3x0.6+0.3x0.3=0.42；

(2)X可取180,190,200,210,220,

尸(X=180)=P(44)=0.2x0.1=0.02

P(X=190)=P(44+4B2)=0.5X0.1+0.2X0.6=0.17

當(dāng)“=190時，E(y)=(180x5-10x2)x0.02+190x5x(1-0.02)=948.6

當(dāng)“=200時，E(y)=(180x5-20x2)x0.02+(190x5-10x2)x0.17+200x5x(1—0.02—0.17)

=985.3.

?.?948.6<985.3,

.?.〃=200時，平均利潤大，所以下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量〃=200噸.

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的期望，是中檔題.

/八八1,ADsinZADC

21.(1)B=~；⑵。=-------------.

v74V7sinC

【解析】

(1)利用正弦定理化簡求值即可；

(2)利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，結(jié)合正弦定理求出b的值.

【詳解】

解：(1)a-/?cosC=csin3,由正弦定理得：sinA-sinBcosC=sinCsinB,

sin(乃一B-C)-sinBcosC=sinCsin8,

sin(6+C)-sinjBcosC=sinCsinB,

sinBcosC+sinCcosB-sinBcosC=sinCsinB，

sinCcosB=sinCsinB，

又B,。為三角形內(nèi)角，故sinB>0,sinC>(),

7t

則cosB=sinB>0,故tan5=1,3=一；