廣西南寧三中2022年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（力=（--+24-。（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

C.e2--,+oojD.卜」,+8）

2.在直三棱柱ABC-A4G中，己知A5=8C=2,CCX=2y[2,則異面直線與人用所成的角

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.在AABC中，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線與AB,AC所在直線分別交于點(diǎn)M,N,若麗7=/1而，

AN=;/XC（/l>0,〃>0）,則2+〃的最小值為（）

57

A.—B.2C.3D,一

42

4.已知函數(shù)/（x）=cos2x+sin2（x+?｝則/（x）的最小值為（）

.,V2n1c?夜n?夜

A.1H-----B.-C.1-------D.1------

2224

5.若雙曲線三一與=1的離心率6=也，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）

4b22

A.2GB.2C.73D.1

6.已知整數(shù)尤,N滿足V+Vvio,記點(diǎn)用的坐標(biāo)為（x,y）,則點(diǎn)/滿足x+yN6的概率為（）

967

—B.—D.

3535?7

7.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)

中成功次數(shù)X的期望為（）

A-1D.2

8.已知函數(shù)y=log〃（x+c）（。，。是常數(shù)，其中。>0且awl）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于。，c的表述正確

的是（）

A.a>\9c>1B?a>\90<c<l

C.0<6Z<l,c>\D.0<tz<l>0<c<l

2

9.若復(fù)數(shù)z=—,其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

1+1r

A.z的虛部為-iB.|z|=2C.二的共甄復(fù)數(shù)為一ITD.z?為純虛數(shù)

10.已知集合A={2,3,4},集合3={租,m+2},若4門(mén)8={2},則機(jī)=（）

A.0B.1C.2D.4

11.將函數(shù)/。）=6sin2x-cos2%向左平移弓個(gè)單位，得到g（x）的圖象，則g（x）滿足（)

A.圖象關(guān)于點(diǎn)（春,。）對(duì)稱，在區(qū)間（0,（）上為增函數(shù)

B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)［0,（）［對(duì)稱

c.圖象關(guān)于直線龍=g對(duì)稱，在-^4上的最小值為1

6123

D.最小正周期為7,g（x）=l在0,7有兩個(gè)根

12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為（）

A.372B.275C.2x/6D.2V7

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知在△ABC中，通=(2s加32°,2cos32°),反=(cos77°,-cosl3°),則通?BC=，AA5C的面

積為.

14.在AABC中，NC=90，CM=2MB.若sinN8AM=g,貝！|tanABAC=.

15.(辦2_J_丫展開(kāi)式中/項(xiàng)系數(shù)為］eg,則。的值為_(kāi)___.

Ix)

22

16.如圖，在平面四邊形A3CD中，點(diǎn)A，C是橢圓土+工=1短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)B在橢圓上，

43

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)二(二)=sin(2Z-1)+sin(2Z+j),Z€Z.

⑺求二(二)的最小正周期；

(〃)若二e6，二)且二d)=:，求sm(2二+§的值?

1J

18.(12分)設(shè)橢圓(a,b>0)過(guò)M(2,72)，N(J^,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

1/

(1)求橢圓E的方程;

(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且礪_L礪？若存在，寫(xiě)出該

圓的方程，若不存在說(shuō)明理由.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x—1].

(1)求不等式〃x)Vx+|x+l|的解集;

⑵若函數(shù)g(x)=/。g2"(x+3)+.f(x)-2a]的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.(12分)誠(chéng)信是立身之本，道德之基，我校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠(chéng)信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進(jìn)誠(chéng)信教育，并用

“四黯”察i”表示每周“水站誠(chéng)信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周(共三個(gè)

周投入成本

周期)的誠(chéng)信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：

第一周第二周第三周第四周

第一周期95%98%92%88%

第二周期94%94%83%80%

第三周期85%92%95%96%

(I)計(jì)算表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)，

(H)若定義水站誠(chéng)信度高于90%的為“高誠(chéng)信度”，90%以下為“一般信度”則從每個(gè)周期的前兩周中隨機(jī)抽取兩周

進(jìn)行調(diào)研，計(jì)算恰有兩周是“高誠(chéng)信度”的概率；

(皿)已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠(chéng)信為本”的主題教育活動(dòng),

根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說(shuō)明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.

21.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；曲線G的普通方程為

x=cos0.

(X-l)2+y2=l,曲線C2的參數(shù)方程為L(zhǎng)(，為參數(shù)).

y=《2sin0

(I)求曲線G和Ci的極坐標(biāo)方程：

(II)設(shè)射線族分別與曲線G和C2相交于A,B兩點(diǎn)，求以用的值.

22.(10分)已知在平面直角坐標(biāo)系宜萬(wàn)中，橢圓C的焦點(diǎn)為6(-6,0),8(百,0),〃為橢圓。上任意一點(diǎn)，且

\MF]+\MF2\^4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/:丫="+加化>0,加>0)交橢圓C于P,。兩點(diǎn)，且滿足女第=◎，?40GCM。,%/。。分別為直線

PQ,OP,OQ的斜率),求AOPQ的面積為也時(shí)直線PQ的方程.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)/‘(X),確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.

【詳解】

廣(幻=上羋-2(》一0),當(dāng)xe(0,e)時(shí)，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，_f(x)<0,/(x)單調(diào)

廠

1

遞減，，在(0,轉(zhuǎn))上f(x)只有一個(gè)極大值也是最大值/(e)=—+/9—〃，顯然X.0時(shí)，/(幻--O),X-4W時(shí),

e

/(%).—QO,

11

因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則/(6)=—+/9-?！?,???Q<9/+—.

ee

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.

2.C

【解析】

由條件可看出AB||A片，則NBAG為異面直線AG與Ag所成的角，可證得三角形BAG中，±Z?C,,解得

tanZBAC,,從而得出異面直線AC,與所成的角.

【詳解】

連接AC；,BC],如圖:

又AB||A4，則NBAG為異面直線AG與Ag所成的角.

因?yàn)锳B，BC,且三棱柱為直三棱柱，A3±CC.,，面BCC,B{,

：.AB±BC},

又AB=BC=2,CC|=20,二8C1=J(2@'+22=26，

二tanZBAq=6，解得ZBAC,=60°.

故選C

【點(diǎn)睛】

考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質(zhì)，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

11

由M，尸，N三點(diǎn)共線，可得彳7+丁=1,轉(zhuǎn)化X+〃=(/l+〃)—+—,利用均值不等式，即得解.

222〃12/12/z)

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)尸為BC中點(diǎn)，所以月+,恁，

22

又因?yàn)槎?2而，AN=AC,

1——.1―.

所以福=—AM+—AN,

2A2〃

因?yàn)镸,P,N三點(diǎn)共線,

1I,

所以丁丁1

(11邑幺

所以x+〃=(x+〃)—+—=L半+父+-..1+-X2=2,

1242//J221//22

4_〃

〃Z'

當(dāng)且僅當(dāng)《即2=〃=1時(shí)等號(hào)成立,

11

——+——=1

222〃

所以X+〃的最小值為1.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了三點(diǎn)共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于

中檔題.

4.C

【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.

【詳解】

,(cn

1-cosI2x+2

由于￡(\x+sin2(x+?l+cos2x

/(x)=cos---------+

22

,cos2xsin2x

=1+------+------

22

_V2.(

=1H----sin2xH—,

2I4)

故其最小值為：1-也.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用降塞擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得。，仇c的值；得漸近線方程后，由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.

【詳解】

雙曲線E—W=l的離心率6=立，

4b22

貝Ja=2,e=-=~,解得c=J7,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(士近,0),

所以Z?=Jc、2一屋-<7-4=6，

則雙曲線漸近線方程為了=士*x,即氐±2y=(),

國(guó)xg|

不妨取右焦點(diǎn)，則由點(diǎn)到直線距離公式可得

V3+4

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點(diǎn)到直線距離公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè)，滿足條件的有7個(gè)，相除得到概率.

【詳解】

因?yàn)閄，)'是整數(shù)，所以所有滿足條件的點(diǎn)是位于圓f+y2=io(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，滿足條件/+,2A］。

的整數(shù)點(diǎn)有(0,0),(0,±1),(0,+2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)共37個(gè),

7

滿足無(wú)+yzG的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè)，則所求概率為3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.

7.C

【解析】

每一次成功的概率為二="%二服從二項(xiàng)分布，計(jì)算得到答案.

【詳解】

每一次成功的概率為二=：=：,二服從二項(xiàng)分布，故二(二)=(x3=/.

故選：二.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

8.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

從題設(shè)中提供的圖像可以看出0<a<1,log,,c>0,log”(l+c)>0,

故得0<c<l,0<a<l,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

將復(fù)數(shù)二整理為1-，?的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】

22(1-0

z=---=---------——=1—1

1+Z(1+/)(1-0

Z的虛部為一1,A錯(cuò)誤；目=/m=0,5錯(cuò)誤；z=l+i,C錯(cuò)誤；

z2=(l—i)2=_2i,為純虛數(shù)，O正確

本題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共朝復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

根據(jù)，篦=2或機(jī)+2=2,驗(yàn)證交集后求得加的值.

【詳解】

因?yàn)锳D3={2},所以帆=2或帆+2=2.當(dāng)機(jī)=2時(shí)，4口8={2,4},不符合題意，當(dāng)機(jī)+2=2時(shí)，加=0.故選

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

由輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得g(x)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即

可判斷各選項(xiàng).

【詳解】

函數(shù)/(%)=6sin2x-cos2x,

貝ij/(x)=2sin[2x-?),

將/(x)=2sin[2x-)向左平移弓兀個(gè)單位,

6

/、

兀c?c式

可得g(x)=2sin2(j-2sm2xH—,

6k6J

jrjrK7T

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，8(司的對(duì)稱中心滿足2%+/=丘,丘2,^x=-—+—,k&Z,所以A、B選項(xiàng)中

6122

的對(duì)稱中心錯(cuò)誤;

對(duì)于C,g(x)的對(duì)稱軸滿足2x+H=H+2y%€Z,解得了=工+&肛&GZ,所以圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；當(dāng)

6266

71715萬(wàn)冗、rrjr

工￡—時(shí)，2x+--e,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知2sin2X+T1,2],所以在—上的最小值為1,

12363'6o6)123

所以C正確;

對(duì)于最小正周期為二=萬(wàn)，當(dāng)71j71rn27r(7711I

D,xw0,f,+，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，2sin21+二二1

24663k66)

時(shí)僅有一個(gè)解為x=0,所以D錯(cuò)誤;

綜上可知，正確的為C,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.C

【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱錐S-48C,并且平面SACJ.平面ABC,ACA.BC,過(guò)S作SOLAC,連

接BO,AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱長(zhǎng)比較下結(jié)論.

【詳解】

如圖所示:

由三視圖得：該幾何體是一個(gè)三棱錐S-ABC,且平面SACJ.平面ABC,ACA.BC,

過(guò)S作SD_LAC,連接3。，貝!=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以3=yjnc2+BC2=曬，SB=ylSD2+BD2=26，SA=yjsi)2+AD2=272，

SC=yJSD2+AC2=275，

該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為2娓.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一夜也

2

【解析】

BABC72

①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解；②結(jié)合①求出cosZABC

根據(jù)面積公式即可得解.

【詳解】

?ABBC=2s山32°-coslT-2cos32°?cosl3°=2(s加32°?cos77°-cos32°”加77°)

=2s加(32°-77°)=-2sin45°=—0,

BABC_y[2

②畫(huà)=2,困=1,cosAABC-MM=T，

??sinZ.ABC=-----

2

||Ae|-|因si〃NABC=gx2xlx等=￥

S^ABC

故答案為：-舊也.

2

【點(diǎn)睛】

此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應(yīng)用，涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，三角恒等變換，根據(jù)三角形面積

公式求解三角形面積，綜合性強(qiáng).

14.邁

2

【解析】

分析：首先設(shè)出相應(yīng)的直角邊長(zhǎng)，利用余弦勾股定理得到相應(yīng)的斜邊長(zhǎng)，之后應(yīng)用余弦定理得到直角邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,

從而應(yīng)用正切函數(shù)的定義，對(duì)邊比臨邊，求得對(duì)應(yīng)角的正切值，即可得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題意，設(shè)AC=m,8C=3〃，則CM=2〃,8W=〃，根據(jù)sinNBA'=1,

A

?[7________________

得cosNBAM=$，,由勾股定理可得AM=\Jm2+4n2,AB=\Jm2+9n2，

gg人4—E.R//r+4〃-+相-+9〃--/r276

根據(jù)余弦定理可得—/一丁—

2vnv+4獷vm"+9n~5

化簡(jiǎn)整理得加4—12加力2+36/=0,即(m2-6M2)2=0，解得加=an，

所以tan/84C=史=:上="，故答案是".

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意分析要求對(duì)應(yīng)角的正切值，需要求誰(shuí)，而題中所給

的條件與對(duì)應(yīng)的結(jié)果之間有什么樣的連線，設(shè)出直角邊長(zhǎng)，利用所給的角的余弦值，利用余弦定理得到相應(yīng)的等量關(guān)

系，求得最后的結(jié)果.

15.-2

【解析】

表示該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第，+1項(xiàng)，令其指數(shù)為3,再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.

【詳解】

該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為『+1=(ox2J6"r.MY=(-1)'.a6-rC^.x12-3r

令12—3z*=3=>r=3,所以。=(—1)3./3x3=_20。3工3,貝！I—20c『=160=>a=-2

故答案為：-2

【點(diǎn)睛】

本題考查由二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.

【解析】

依題意易得A、8、C、。四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo)，進(jìn)

5,|x|

一步得到。橫坐標(biāo)，再由法=1f號(hào)i計(jì)算比值即可.

S2\xD|

【詳解】

因?yàn)镹E4￡）=N68=90°,所以A、5、C、。四點(diǎn)共圓，直徑為BD,又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，

22

所以圓心￡在“軸上，設(shè)圓心E為90）,則圓的方程為（x—，）2+y2=*+3,聯(lián)立橢圓方程?+=1

消y得d—8a=0,解得x=8f,故b的橫坐標(biāo)為8f,又B、。中點(diǎn)是￡,所以。的橫坐標(biāo)為—6%

S]_I"4

故《--二大.

§2rIX"iI3

4

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問(wèn)題，考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出3、

。橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.⑺二；（吁下

【解析】

⑺化簡(jiǎn)得到二（二）=\2sin（2二+自，得到周期.

（II）□得）=Osin（二+目=g故而（二+色==，根據(jù)范圍判斷cos（二+￡）=一乎，代入計(jì)算得到答案.

【詳解】

（/）□（□）=sin（2C-^）+sin（2D+1）=sin（2匚一習(xí)+cos（2D-j）

=、Wsm（二+六），故二=y

(//)Z(y)=v_sin(z+=p故sm(二+§=?,cos(二+§=±亍,

口嗚口),故口+：e信署)，|cos(口+))|>|向(口+制,

故二+V”二)，故cos(二+:)=一于

sin(2Z+1)=2sm(二+目cos(二+司=一匚

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的周期，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

22o

18.(1)—+^-=1(2)x2+y2=-

843

【解析】

22

試題分析：(1)因?yàn)闄E圓E:，+g=1(a,b>0)過(guò)M(2,叵),N(",l)兩點(diǎn),

42,11

-T+T7-1~="2_?22

所以匕、解得｛::所以｛，一橢圓E的方程為士+匕=1

61.11/=484

K爐=1*=]

(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且礪，礪，設(shè)該圓的切線方程

y=kx+m

為>=履+〃7解方程組｛*22得/+2(奴+根)2=8,即(1+2/)/+4〃吠+2加一8=0,

——+—=1

84

則A=16k2m2-4(14-2k2)(2/-8)=8(8公一/+4)>0,即8/一療+4>0

4km

…二一西

2m2-8

k2(2m2-8)4k2府加？一86

yy=(fc￥j+in)(kx+m)=k2xx+h〃(玉+々)+〃，----------------------------FIT2T------------

12212\+2k2\+2k2\+2k2

N(2加2—8)竺竺+蘇=._8中

y%=(匕i+m)(kx+m)=k2xx+km｛x+x')+m2=

212｝21+2公1+2/i+2k2

要使"方,需使—。，即鴿AM=。，所以而-叱-8=。,所以心號(hào)^。又

8々2—>+4>0,

FKI、I1">2cciM2、8HR2-\/6-2-^6

所以｛,，所以加,EP/n>----或加4------，

因?yàn)橹本€)，="+〃?為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，

位加|/=上=___=8屈

所以圓的半徑為r=-^^,1+二3加一83"=會(huì)蟲(chóng)，

Jl+公1+——o——3

o

所求的圓為/+丫2=3此時(shí)圓的切線丫=依+機(jī)都滿足m匹或加4一友，

333

而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為無(wú)=±半與橢圓會(huì)+￡=1的兩個(gè)交點(diǎn)為(*,土±5)或(-乎，士半)滿足

OA1OB,

Q

綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓d+9=§,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且礪J.麗.

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓與橢圓的位置關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，往往要利用韋達(dá)定理.存在性問(wèn)題，往往從假設(shè)存在出發(fā)，運(yùn)

用題中條件探尋得到存在的是否條件具備.(2)小題解答中，集合韋達(dá)定理，應(yīng)用平面向量知識(shí)證明了圓的存在性.

19.(1)(0,+oo)(2)(一8m

【解析】

(1)分類討論，去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集即可.(2)要使函

數(shù)g(力的定義域?yàn)镽,只要〃(x)=/(x+3)+-2a的最小值大于0即可，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得最小值

即可得到答案.

【詳解】

(1)不等式/(x)<x+|x+l|o|x-l|<x+k+l|

X>1[-1<X<1fx<-l

<或〈或?,

X-1<X+X4-1[l-x<x+x+l\1-X<X-X-1

解得xNl或Ovxvl,即x>0,

所以原不等式的解集為(0,+8),

(2)要使函數(shù)g(x)=/og2"(x+3)+/(x)—2a]的定義域?yàn)镽,

只要/2(X)="X+3)+〃X)-2a的最小值大于0即可，

又=,+2]+|.x—1|—2<z當(dāng)(x+2)-(%-1)|-2<z=3—2iz,

當(dāng)且僅當(dāng)XG[-2,1]時(shí)取等，只需最小值3-240,即=.

2

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,.

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查利用絕對(duì)值三角不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.

2

20.(I)91%；(n)y；(in)兩次活動(dòng)效果均好，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

(I)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)公式求解即可；

(n)設(shè)抽至心高誠(chéng)信度”的事件為A,.,則抽至心一般信度”的事件為3,則隨機(jī)抽取兩周，則有兩周為“高誠(chéng)信度”事件

為c,利用列舉法列出所有的基本事件和事件。所包含的基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可；

(DP結(jié)合表中的數(shù)據(jù)判斷即可.

【詳解】

(I)表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)

_95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+961

x=-------------------------------------------------------------------------x——=91%.

12100

(II)設(shè)抽至U“高誠(chéng)信度”的事件為4,則抽至()“一般信度”的事件為8,則隨機(jī)抽取兩周均為“高誠(chéng)信度”事件為C,總

的基本事件為AA>、AA、AA、AA、44、A2A八4A、AA'AA'AA'4?A3、A；B、4氏、共15種，

事件C所包含的基本事件為44、AA、A4、AA、44、44、44、44、44、A4A共10種，

102

由古典概型概率計(jì)算公式可得，P(C)=—

(HI)兩次活動(dòng)效果均好.

理由：活動(dòng)舉辦后，“水站誠(chéng)信度，由88%—94%和80%-85%看出，后繼一周都有提升.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)公式和古典概型概率計(jì)算公式；考查運(yùn)算求解能力；利用列舉法正確列舉出所有的基本事件是求古典

概型概率的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.

9/7

21.(I)「一2cos。=0,2p2cos2^+3p2sin2^-6=0;(II)\AB\=43--

3

【解析】

(I)根據(jù)22=/+/,》=0以)5。療=25皿。，可得曲線G的極坐標(biāo)方程，然后先計(jì)算曲線C2的普通方程，最后

根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，可得結(jié)果.

(II)將射線分別與曲線。和C2極坐標(biāo)方程聯(lián)立，可得A,8的極坐標(biāo)，然后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.

6

【詳解】

(I)(x-1)2+y2=l=>x2+y2-2x=0

由/?2=+丁2,*=夕cos。,y=psi