七年級數(shù)學(xué)（第八章 實數(shù)）8.4 因式分解（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

8.4因式分解第八章整式乘法與因式分解第1課時提公因式法逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2因式分解公因式用提公因式法分解因式知識點因式分解知1－講11.定義把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.知1－講2.整式乘法與因式分解的關(guān)系(1)整式乘法與因式分解一個是積化和差，另一個是和差化積，是兩種互逆的變形.即：多項式整式的積.(2)可以利用整式乘法檢驗因式分解的結(jié)果的正確性.知1－講特別解讀1.因式分解的對象是多項式，結(jié)果是整式的積.2.因式分解是恒等變形，形式改變但值不改變.3.因式分解必須分解到每個多項式的因式不能再分解為止.知1－講例1D

知1－講解題秘方：緊扣因式分解的定義進(jìn)行識別.解法提醒識別因式分解的兩個關(guān)鍵詞：●“多項式”說明等式的左邊是多項式，即分解的對象是多項式.●“整式的積”說明右邊的結(jié)果是整式的積.一句話：因式分解是整式的和差化積的變化過程.知1－講

知1－講

B例2思路點撥還沒有學(xué)習(xí)因式分解的方法，要判斷因式分解的正確性，可以通過逆向變形(整式乘法)檢驗因式分解是否正確.知1－講解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.解：利用整式的乘法法則將各選項中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相等的只有選項B.知1－講例3

知1－講問題：(1)

若二次三項式x2

－5x+6可分解為(

x

－2

)

(x+a

)，則a=_____；(2)若二次三項式2x2+bx

－5可分解為(2x

－1

)(x+5

)，則b=______；(3)已知二次三項式2x2+5x

－k

分解因式后有一個因式為2x

－3，求其另一個因式及k

的值.知1－講解題秘方：利用因式分解與整式乘法是互逆變形，可以將因式分解的結(jié)果利用整式乘法算出多項式，并與已知多項式比較解決問題.知1－講

知1－講一題多解因式分解是恒等變形，利用恒等式的性質(zhì)還有另一種解法：恒等式的性質(zhì)：等式中的字母無論取何值時等式都成立.如：x2-4x+m=

(x+3

)(x+n

)，將x=－3代入左右兩邊得9+12+m=0，解得m=－21.同樣可利用此方法解決(1)，(2)，(3)題，同學(xué)們可以自己試一試.知1－講教你一招：因式分解與整式乘法是過程相反的恒等變形，將因式分解的結(jié)果利用整式乘法算出多項式，與已知多項式相比較，對應(yīng)項的系數(shù)分別相等，列出方程(組)即可求出未知數(shù)的值.知2－講知識點公因式21.定義一個多項式中各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式.●●●●●知2－講特別解讀1.公因式必須是多項式中每一項都含有的因式.只在某個或某些項中含有而其他項中沒有的因式不能成為公因式的一部分.2.公因式可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式.3.若多項式各項中含有互為相反數(shù)的因式，則可將互為相反數(shù)的因式統(tǒng)一成相同的因式.知2－講2.公因式的確定：(1)確定公因式的系數(shù)：若多項式中各項系數(shù)都是整數(shù)，則取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)確定字母及字母的指數(shù)：取各項都含有的相同字母作為公因式中的字母，各項相同字母的指數(shù)取其中次數(shù)最低的．知2－講(3)若多項式各項中含有相同的多項式因式，則應(yīng)將其看成一個整體，不要拆開，作為公因式中的因式.如3x(x-y)+x2(x-y)的公因式是x(x-y).知2－講指出下列多項式各項的公因式：(1)3a2y－3ay+6y；(2)

4xy3－8x3y2；(3)a(x－y)3+b(x－y)2+(x－y)3；(4)－27a2b3+36a3b2+9a2b.例4知2－講解題秘方：緊扣公因式的定義求解.解法提醒找準(zhǔn)公因式的“四看”：一看系數(shù)：若各項系數(shù)都是整數(shù)，應(yīng)取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；若多項式中首項的符號是“-”，則公因式的符號一般為負(fù).知2－講二看字母：公因式中的字母是各項都含有的相同的字母．三看字母的指數(shù)：各項相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.四看整體：如果多項式各項中含有相同的多項式因式，應(yīng)將其看成一個整體，不要拆開．知2－講解：(1)中各項的公因式是3y；(2)中各項的公因式為4xy2；(3)中各項的公因式為(x－y

)

2；(4)中各項的公因式為－9a2b.知3－講知識點用提公因式法分解因式31.定義一般地，如果多項式的各項含有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法．用字母表示為ma+mb+mc=m(a+b+c).知3－講2.提公因式法的一般步驟(1)找出公因式，就是找出各項都含有的公共因式；(2)確定另一個因式：另一個因式即多項式除以公因式所得的商；(3)寫成積的形式.知3－講特別解讀1.提公因式法實質(zhì)上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一個多項式分解成兩個因式的積的形式，其中的一個因式是各項的公因式，另一個因式是多項式除以這個公因式所得的商.知3－講將下列各式分解因式：(1)

6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2+12a2b－4ab.例5解題秘方：緊扣提公因式法的步驟分解因式.知3－講解法提醒●當(dāng)多項式首項系數(shù)是負(fù)數(shù)時，一般應(yīng)先提出“-”

號，但要注意，此時括號內(nèi)各項都要改變符號.●4ab

與公因式相同，提取公因式后，此項剩余項為“1”，此時容易漏掉“1”這一項而導(dǎo)致錯誤．知3－講解：(1)6x3y2

－8xy3z=2xy2·3x2

－2xy2·4yz=2xy2

(3x2

－4yz

)；(2)－4a3b2+12a2b

－4ab=－(4a3b2

－12a2b+4ab

)=－(4ab·a2b

－4ab·3a+4ab

)=－4ab

(

a2b

－3a+1

)

.提公因式法整式乘法定義因式分解公因式提公因式法互逆變形檢驗8.4因式分解第八章整式乘法與因式分解第2課時公式法逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式用分組分解法分解因式知1－講知識點用平方差公式分解因式11.平方差公式法兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.即：a2-b2=(a+b)(a-b).知1－講特別解讀1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差指的是符合兩數(shù)和與兩數(shù)差的積的條件后，結(jié)果寫成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能寫成平方差形式的多項式，可以分解成兩個數(shù)的和乘兩個數(shù)的差的形式.知1－講2.平方差公式的特點：(1)等號的左邊是一個二項式，各項都是平方的形式且符號相反；(2)等號的右邊是兩個二項式的積，其中一個二項式是兩個數(shù)的和，另一個二項式是這兩個數(shù)的差.3.運用平方差公式分解因式的步驟：一判：根據(jù)平方差公式的特點，判斷是否為平方差，若負(fù)平方項在前面，利用加法的交換律把負(fù)平方項交換放在后面.二定：確定公式中的a和b，除a和b

是單獨一個數(shù)或字母外，其余不管是單項式還是多項式都必須用括號括起來，表示一個整體.三套：套用平方差公式進(jìn)行分解.四整理：將每個因式去括號，合并同類項化成最簡的.知1－講知1－講例1分解因式：(1)4x2-25y2；解：4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y)；(2)(a+2)2-1；(a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1)；知1－講

知1－講(4)16(a-b)2-25(a+b)2.解：16(a-b)2-25(a+b)2=［4(a-b)+5(a+b)］［4(a-b)-5(a+b)］=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b).知1－講特別提醒1.確定公式中的“a”和“b

”時，不能只看表面，如4x2=(2x)2,“a”指的是2x；16(a-b)2=[4(a-b)]2，“a”指的是4(a-b).2.平方差公式可以連續(xù)運用.如(3)題，必須做到每個因式不能再分解為止.3.運用平方差公式分解因式時，若a、b都是多項式，先要添加括號，再去括號，然后化簡最后結(jié)果.解題秘方：先確定平方差公式中的“a”“b”，再運用平方差公式分解因式.知2－講知識點用完全平方公式分解因式21.完全平方式：形如a2±2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.完全平方式的條件：(1)多項式是二次三項式；(2)首末兩項是兩個數(shù)(或式子)的平方且符號相同，中間項是這兩個數(shù)(或式子)的積的2倍，符號可以是“+”，也可以是“-”.2.完全平方公式法兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.即：a2±2ab+b2=(a±b)2.3.完全平方公式法的特點等號左邊是一個完全平方式，右邊是這兩個數(shù)的和(或差)的平方.知2－講知2－講特別解讀1.因式分解中的完全平方公式是乘法公式中的完全平方公式的逆用.2.結(jié)果是和的平方還是差的平方由乘積項的符號確定，乘積項的符號可以是“+”，也可以是“-”，而兩個平方項的符號必須相同，否則就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解.知2－講3.用完全平方公式分解因式時，若多項式各項有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.4.因式分解的一般步驟：(1)

當(dāng)多項式有公因式時，先提取公因式；當(dāng)多項式?jīng)]有公因式時(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)當(dāng)不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式時，可根據(jù)多項式的特點，把其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)

當(dāng)乘積中每一個因式都不能再分解時，因式分解就結(jié)束了.知2－講知2－講已知9a2+ka+16是一個完全平方式，則k

的值是_______.±24例2解題秘方：根據(jù)平方項確定乘積項，進(jìn)而確定字母的值.解：因為9a2=(3a)

2，16=42，9a2+ka+16是一個完全平方式，所以ka=±2×3a×4=±24a.所以k=±24.知2－講方法點撥求與完全平方式有關(guān)的字母值的方法：可根據(jù)首項、尾項和中間項三者之間的關(guān)系，由其中兩項求出字母的值，要注意中間項的符號有“±”兩種情況

.知2－講分解因式：(1)x2-14x+49；解：x2-14x+49=x2-2·x·7+72=(x-7)2；例3知2－講(2)-6ab-9a2-b2；解：-6ab-9a2-b2=-(9a2+6ab+b2)=-［(3a)2+2·3a·b+b2］=-(3a+b)2；知2－講

知2－講(4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.解：(x2+6x)2+18(x2+6x)+81=(x2+6x)2+2·(x2+6x)·9+92=(x2+6x+9)2=(x+3)4.完全平方公式可以連續(xù)使用，因式分解的結(jié)果要徹底.知2－講解法提醒運用完全平方公式分解因式的關(guān)鍵是判斷每個多項式是否符合完全平方式的結(jié)構(gòu)特點，若符合，進(jìn)一步確定公式中的“a”和“b”.注意當(dāng)首項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，一般要先提出負(fù)號，括號內(nèi)多項式各項都要變號.如(2)題.解題秘方：先確定完全平方公式中的“a”和“b”，再運用完全平方公式分解因式.知2－講分解因式：－3a3b+48ab3；(2)

x4

－8x2+16；(3)25x2(

a－b)

+36y2(b－a)

.例4知2－講方法點撥“一提、二套、三查”是分解因式的步驟：有公因式的先提取公因式，然后套用公式，若多項式是兩項，則考慮用平方差公式，若多項式是三項，則考慮用完全平方公式，最后檢查乘積中每一個多項式的因式是否分解徹底.解題秘方：先觀察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通過觀察項數(shù)確定能用哪個公式分解因式.知2－講解：

(1)－3a3b+48ab3=－3ab

(

a2

－16b2

)

=－3ab

(

a+4b

)

(

a

－4b

)；(2)

x4-8x2+16=(

x2－4)

2=[(x+2)

(x－2)

]2=(x+2)

2(x－2)

2；(3)25x2(

a－b)

+36y2(b－a)

=25x2(a－b)－36y2(a－b)

=(a－b)

(25x2－36y2)=(a－b)(5x+6y)(5x－6y)

.知3－講知識點用分組分解法分解因式3分組分解法：當(dāng)一個多項式項數(shù)較多，且各項既沒有公因式，又不能直接運用公式法分解因式時，可將該多項式適當(dāng)分組，使各組都能分解因式，且在各組分解因式后，各組之間又能繼續(xù)分解因式，從而將多項式分解因式，這種方法叫做分組分解法.知3－講理解：(1)分組只是一個步驟，分組的目的是用提公因式法或公式法將各組分解因式，進(jìn)而將多項式分解因式.(2)需要運用分組分解法分解的多項式一般有四項或四項以上.如果是四項式，一般有兩種分組方法：①分為“2+2”

的形式；②分為“1+3”的形式.知3－講解法提醒●分組的目的是分組后能用提公因式法或用公式法