七年級數(shù)學(xué)（第八章 實(shí)數(shù)）8.3 完全平方公式與平方差公式（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

8.3完全平方公式與平方差公式第八章整式乘法與因式分解逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2完全平方公式平方差公式添括號（拓展點(diǎn)）知識點(diǎn)完全平方公式知1－講11.完全平方公式兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加(或減)這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍.即：用字母表示為(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.知1－講特別解讀1.弄清公式的特征：公式的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，公式的右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，包括左邊二項(xiàng)式的各項(xiàng)的平方和，另一項(xiàng)是這兩項(xiàng)的乘積的2倍.2.理解字母a、b

的意義：公式中的字母a、b

可以表示具體的數(shù)，也可以表示含字母的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.3.口訣記憶：頭平方和尾平方，頭（乘）尾兩倍在中央，中間符號照原樣.知1－講2.完全平方公式的幾種常見變形公式(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab；(3)(a-b)

2=(a+b)2-4ab；(4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；知1－講

知1－講例1計(jì)算：(1)(x+7y)2；解：(x+7y)2=x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2；知1－講解題秘方：確定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.知1－講方法點(diǎn)撥1.利用完全平方公式進(jìn)行整式運(yùn)算的基本步驟：(1)確定公式中的a、b；(2)確定和差關(guān)系；(3)選擇公式；(4)計(jì)算結(jié)果.2.兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)套用公式時(shí)千萬不能漏掉“2ab”項(xiàng)；(2)兩個(gè)平方項(xiàng)的底數(shù)要帶上括號.知1－講(2)(-4a+5b)2；解：(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2；知1－講(3)(-2m-n)2；解：(-2m-n)2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2=4m2+4mn+n2；知1－講(4)(2x+3y)(-2x-3y).解：(2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-［(2x)2+2·2x·3y+(3y)2］=-(4x2+12xy+9y2)=-4x2-12xy-9y2.解法提醒兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，若兩項(xiàng)都相同或都相反，則用完全平方公式計(jì)算.知1－講例2計(jì)算：(1)9992；解：9992=(1000-1)2=10002-2×1000×1+12=1000000-2000+1=998001；知1－講

知1－講解題秘方：將原數(shù)轉(zhuǎn)化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展開計(jì)算即可.知1－講方法點(diǎn)撥利用完全平方公式進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)，主要是將底數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的和或差的形式，拆分時(shí)主要有兩種情況：一是接近整十、整百或整千的數(shù).將與整十、整百或整千接近的數(shù)拆分成整十、整百或整千的數(shù)與相差的數(shù)的和或差；二是帶分?jǐn)?shù).將帶分?jǐn)?shù)拆分成整數(shù)部分與真分?jǐn)?shù)的和或差.知2－講知識點(diǎn)平方差公式21.平方差公式兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.即：用字母表示為(a+b)(a-b)=a2-b2.知2－講特別解讀公式的特征：1.等號左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù).2.等號右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.3.理解字母a、b

的意義：平方差公式中的a、b既可代表一個(gè)單項(xiàng)式，也可代表一個(gè)多項(xiàng)式.知2－講2.平方差公式的幾種常見變化及應(yīng)用：變化形式應(yīng)用舉例(1)位置變化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2(2)符號變化(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2(3)系數(shù)變化(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2(4)指數(shù)變化(

a3+b2)(a3-b2)=(

a3)2-(b2)2=a6-b4(5)增項(xiàng)變化(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2(6)連用公式(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4知2－講例3計(jì)算：(1)(5m-3n)(5m+3n)；解：(5m-3n)(5m+3n)=(5m)2-(3n)2=25m2-9n2；(2)(-2a2+5b)(-2a2-5b)；(-2a2+5b)(-2a2-5b)=(-2a2)2-(5b)2=4a4-25b2；知2－講解題秘方：先確定公式中的“a”和“b”，然后根據(jù)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2

進(jìn)行計(jì)算.知2－講解法提醒運(yùn)用平方差公式計(jì)算的3個(gè)關(guān)鍵步驟：第1步：利用加法的交換律調(diào)整兩個(gè)二項(xiàng)式中項(xiàng)的位置，使之與公式左邊相對應(yīng)，已對應(yīng)的就不需調(diào)整，如(1)(2)不需調(diào)整，(3)(4)就必須調(diào)整.第2步：找準(zhǔn)公式中的a、b分別代表哪個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.第3步：套用公式計(jì)算，注意將底數(shù)帶上括號.如(1)中(5m)2不能寫成5m2.知2－講

知2－講(4)(-3y-4x)(3y-4x).解：(-3y-4x)(3y-4x)=(-4x-3y)(-4x+3y)=(-4x)2-(3y)2=16x2-9y2.知2－講例4計(jì)算：(1)10.3×9.7；解：10.3×9.7=(10+0.3)(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91；(2)2020×2022-20212.2020×2022-20212=(2021-1)(2021+1)-20212=20212-1-20212=-1.知2－講解題秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.方法點(diǎn)撥運(yùn)用平方差公式計(jì)算兩數(shù)乘積時(shí)，關(guān)鍵是找到這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，再將原數(shù)與這個(gè)平均數(shù)進(jìn)行比較，變成兩數(shù)的和與差的積的形式.感悟新知知3－講知識點(diǎn)添括號（拓展點(diǎn)）31.添括號法則?添括號時(shí)，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不改變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都要改變符號.即：用字母表示為a+b+c=a+(

b+c)

=a－(－b－c)；a－b－c=a－(b+c)

=a+(

－b－c)

.感悟新知知3－講2.添括號法則的應(yīng)用?添括號在利用乘法公式的計(jì)算中應(yīng)用廣泛，利用添括號使原式變成符合乘法公式的形式，特別是利用“括號前面是負(fù)號的時(shí)候，括到括號里的各項(xiàng)都要改變符號”來變形.知3－講感悟新知特別解讀1.添括號只是一個(gè)變形，不改變式子的值.2.添括號是否正確，可利用去括號檢驗(yàn).知3－練感悟新知計(jì)算：(1)

(2x－y+4)

(2x+y－4)；(2)

(

m－2n+1)

(－2n－1+m)；(3)

(2a+3b－1)

(1－2a－3b)；(4)

(3a－b+c)

2.例5知3－練感悟新知解題秘方：先通過添括號把式子轉(zhuǎn)化為符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算.知3－練感悟新知方法點(diǎn)撥●兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，各項(xiàng)既有符號相同的也有符號不同的，可通過變形用平方差公式計(jì)算.確定平方差公式中的“a”、“b”的方法：完全相同的項(xiàng)為“a”，絕對值相同符號相反的項(xiàng)為“b”.●三個(gè)數(shù)和的完全平方，利用添括號和整體思想轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)和的完全平方進(jìn)行計(jì)算，也可以直接套用三個(gè)數(shù)和的完全平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac進(jìn)行計(jì)算.知3－練感悟新知解：(1)

(2x－y+4)

(2x+y－4)；=［2x

－(

y

－4

)］［2x+

(

y

－4

)］=

(2x

)

2

－(

y

－4

)

2=4x2

－y2+8y－16；(2)

(

m－2n+1)

(－2n－1+m)=［(

m

－2n

)

+1］［(m

－2n

)－1］=

(

m

－2n

)

2

－12=m2

－4mn+4n2

－1；知3－練感悟新知(3)

(2a+3b－1)

(1－2a－3b)；=

(2a+3b

－1

)［－(2a+3b

－1

)］=-［(2a+3b

)－1］2=-［(2a+3b

)

2

－2

(2a+3b

)+12］=－(4a2+12ab+9b2

－4a

－6b+1)=－4a2

－12ab

－9b2+4a+6b