2024屆江蘇省無錫市高三上學期期中數學試題（解析版）

PAGEPAGE3江蘇省無錫市2024屆高三上學期期中數學試題一、單項選擇題1.若全集，設集合,則（）A.{1} B.{3} C.{1，3} D.{1，3，5}【答案】A【解析】因為，，所以.故選：A．2.已知復數，則的虛部為（）A.－2 B.－1 C.6 D.2【答案】D【解析】，虛部為2，故選：D．3.預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預測期人口數，為初期人口數，k為預測期內人口年增長率，n為預測期間隔年數，如果在某一時期，那么在這期間人口數（）A.呈上升趨勢 B.呈下降趨勢 C.擺動變化 D.不變【答案】B【解析】由題意，為預測期內年增長率，如果在某一時期有，即年增長率為負，故這期間人口數呈下降趨勢.故選:B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故選：B．5.當時，函數取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A.8 B.12 C.16 D.32【答案】C【解析】因為，所以，又在取極值，所以，所以，，，令，得或；令，得；所以在和上單調遞增，在上單調遞減，故滿足題意，又，故，故選：C．6.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1°C，空氣的溫度是θ0°C，那么tmin后物體的溫度θ（單位：°C），可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數．現有60°C的物體，放在15°C的空氣中冷卻，3分鐘以后物體的溫度是42°C．則k的值為（精確到0.01）（）（參考數據：，）A.0.51 B.0.28 C.0.17 D.0.07【答案】C【解析】由題可得，，，.故選：C．7.記函數（，）的最小正周期為，且．將的圖象向右平移個單位，所得圖象關于y軸對稱，則ω的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】D【解析】由于所以．由于，，為偶函數，,所以由于，所以取時，．故選：D.8.設函數，，在上的零點分別為，則的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以在上單調遞增，又因為，所以存在使得，所以，因為，，解得：，當時，，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞增，又因為，在上單調遞增，，所以存在使得，所以最大，因為，所以，，，故選：B．二、多項選擇題9.平面向量，是夾角為的單位向量，向量的模為，則的值有可能為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】ABC【解析】由題意，向量，是夾角為的單位向量，，可設，則，所以.故選：ABC．10.已知，，，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】AD【解析】A選項：，即，解得，當且僅當，即，時等號成立，A選項正確；B選項：，當且僅當，即，時等號成立，B選項錯誤；C選項：由，得，，則，設函數，，，令，解得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，C選項錯誤；D選項：，當且僅當，即，時等號成立，D選項正確；故選：AD.11.已知函數，則（）A.的最小正周期為πB.的最小值為0C.的圖象關于點（π，1）對稱D.的圖象關于直線對稱【答案】BD【解析】，不是的周期，A錯．，當時取“=”，B對．，，C錯．，D對.故選：BD．12.已知函數定義域為R，滿足，當時，,則下列結論正確的是（）A.B.方程共有三個不同實根C.D.使不等式成立的x的最大值是【答案】ACD【解析】方法一：，A對．時，,解得兩個根為0，當時，，則，由即有兩個根，因此至少有4個根，B錯．由于，由，取，，則是以1為首項為公比的等比數列，，C對．當，則或當的最大值為，故的最大值為，的最大值為，故當時，．成立的的最大值為，D對，故選：ACD．方法二：時，，當時，，…，時，，取時，，A正確．作出大致圖象如下，聯立或，與共四個交點，B錯．對于C,為奇數時，，為偶數時，,．，C正確．對于D，當時，令或，結合圖象知，D正確；故選：ACD．三、填空題13.已知集合，非空集合，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意知：，得：，又因為：是的必要不充分條件，所以得：集合是集合的真子集，又因為集合為非空集合，所以得：，化簡得：，故的取值范圍為：.故答案為：.14.曲線在點處的切線方程為___________．【答案】【解析】，故,故點處的切線方程為．故答案為：15.設等差數列{an}的前n項和為，且，則________.【答案】4【解析】由題意得：，，則等差數列的公差，則，，解得：或（舍去），故答案為：4.16.圓與圓半徑分別為1和2，兩圓外切于點P，點A，B分別為圓上動點，，則的最小值為___________．【答案】【解析】法一：如圖建系，圓，圓設，則，．法二：設，則，因，，過作，所以，同理，所以所以.故答案為：.四、解答題17.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求C；（2）若，AB邊上的高等于，求的周長.解：（1）因為，所以，所以，又，所以，又，所以.（2）因，所以，由余弦定理知，所以，所以，所以，所以周長為.18.在平行四邊形中，，，，分別為，的中點，點在線段上運動．（1）當為中點時，設，求的值；（2）若，求的取值范圍．解：（1）當為中點時，，所以，，所以；（2）因為點在線段上運動設，，則，，，又，所以.19.是等差數列的前項和，數列滿足，，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為．①求；②若集合且，求集合中所有元素的和．解：（1）當時，，所以，解得，當時，，所以，解得，則，所以，，則；（2）①，②，當為偶數時，，所以當為偶數時，恒成立，當為奇數時，，令，又函數在上單調遞增，且，，所以，所以集合中所有元素的和為.20.設函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，若對任意，函數在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍.解：（1）當時，不等式即，所以，解得或，所以不等式的解集為.（2）由復合函數的單調性知在上單調遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，而，令，因為，所以，所以，由對勾函數單調性知在上單調遞增，所以，所以.21.各項均為正數的數列的前項和記為，已知，且對一切都成立．（1）求數列的通項公式；（2）在和之間插入個數，使這個數組成等差數列，將插入的個數之和記為，其中．求數列的前項和．解：（1）由，得，所以，所以，當時，，所以，所以，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以；（2）由已知在和之間插入個數，這個數組成等差數列，所以，設數列的前項和為，則，，所以，所以.22.已知函數（1）當時，求證：函數為減函數：（2）若有兩個極值點，且恒成立，求正實數的取值范圍．解：（1）時，，定義域為，，設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故，故，故為減函數；（2）由題意得有兩個不同正實數根，，故，，令，則，即在恒成立，令，，則，若，當時，，單調遞增，所以恒成立，若，當時，，單調遞減，所以，不符合題意，綜上，正實數的取值范圍是．江蘇省無錫市2024屆高三上學期期中數學試題一、單項選擇題1.若全集，設集合,則（）A.{1} B.{3} C.{1，3} D.{1，3，5}【答案】A【解析】因為，，所以.故選：A．2.已知復數，則的虛部為（）A.－2 B.－1 C.6 D.2【答案】D【解析】，虛部為2，故選：D．3.預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預測期人口數，為初期人口數，k為預測期內人口年增長率，n為預測期間隔年數，如果在某一時期，那么在這期間人口數（）A.呈上升趨勢 B.呈下降趨勢 C.擺動變化 D.不變【答案】B【解析】由題意，為預測期內年增長率，如果在某一時期有，即年增長率為負，故這期間人口數呈下降趨勢.故選:B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故選：B．5.當時，函數取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A.8 B.12 C.16 D.32【答案】C【解析】因為，所以，又在取極值，所以，所以，，，令，得或；令，得；所以在和上單調遞增，在上單調遞減，故滿足題意，又，故，故選：C．6.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1°C，空氣的溫度是θ0°C，那么tmin后物體的溫度θ（單位：°C），可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數．現有60°C的物體，放在15°C的空氣中冷卻，3分鐘以后物體的溫度是42°C．則k的值為（精確到0.01）（）（參考數據：，）A.0.51 B.0.28 C.0.17 D.0.07【答案】C【解析】由題可得，，，.故選：C．7.記函數（，）的最小正周期為，且．將的圖象向右平移個單位，所得圖象關于y軸對稱，則ω的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.5【答案】D【解析】由于所以．由于，，為偶函數，,所以由于，所以取時，．故選：D.8.設函數，，在上的零點分別為，則的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以在上單調遞增，又因為，所以存在使得，所以，因為，，解得：，當時，，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞增，又因為，在上單調遞增，，所以存在使得，所以最大，因為，所以，，，故選：B．二、多項選擇題9.平面向量，是夾角為的單位向量，向量的模為，則的值有可能為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】ABC【解析】由題意，向量，是夾角為的單位向量，，可設，則，所以.故選：ABC．10.已知，，，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】AD【解析】A選項：，即，解得，當且僅當，即，時等號成立，A選項正確；B選項：，當且僅當，即，時等號成立，B選項錯誤；C選項：由，得，，則，設函數，，，令，解得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，C選項錯誤；D選項：，當且僅當，即，時等號成立，D選項正確；故選：AD.11.已知函數，則（）A.的最小正周期為πB.的最小值為0C.的圖象關于點（π，1）對稱D.的圖象關于直線對稱【答案】BD【解析】，不是的周期，A錯．，當時取“=”，B對．，，C錯．，D對.故選：BD．12.已知函數定義域為R，滿足，當時，,則下列結論正確的是（）A.B.方程共有三個不同實根C.D.使不等式成立的x的最大值是【答案】ACD【解析】方法一：，A對．時，,解得兩個根為0，當時，，則，由即有兩個根，因此至少有4個根，B錯．由于，由，取，，則是以1為首項為公比的等比數列，，C對．當，則或當的最大值為，故的最大值為，的最大值為，故當時，．成立的的最大值為，D對，故選：ACD．方法二：時，，當時，，…，時，，取時，，A正確．作出大致圖象如下，聯立或，與共四個交點，B錯．對于C,為奇數時，，為偶數時，,．，C正確．對于D，當時，令或，結合圖象知，D正確；故選：ACD．三、填空題13.已知集合，非空集合，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意知：，得：，又因為：是的必要不充分條件，所以得：集合是集合的真子集，又因為集合為非空集合，所以得：，化簡得：，故的取值范圍為：.故答案為：.14.曲線在點處的切線方程為___________．【答案】【解析】，故,故點處的切線方程為．故答案為：15.設等差數列{an}的前n項和為，且，則________.【答案】4【解析】由題意得：，，則等差數列的公差，則，，解得：或（舍去），故答案為：4.16.圓與圓半徑分別為1和2，兩圓外切于點P，點A，B分別為圓上動點，，則的最小值為___________．【答案】【解析】法一：如圖建系，圓，圓設，則，．法二：設，則，因，，過作，所以，同理，所以所以.故答案為：.四、解答題17.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求C；（2）若，AB邊上的高等于，求的周長.解：（1）因為，所以，所以，又，所以，又，所以.（2）因，所以，由余弦定理知，所以，所以，所以，所以周長為.18.在平行四邊形中，，，，分別為，的中點，點在線段上運動．（1）當為中點時，設，求的值；（2）若，求的取值范圍．解：（1）當為中點時，，所以，，所以；（2）因為點在線段上運動設，，則，，，又，所以.19.是等差數列的前項和，數列滿足，，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為．①求；②若集合且，求集合中所有元素的和．解：（1）當時，，所以，解得，當時，，所以，解得，則，所以，，則；（2）①，②，當為偶數時，，所以當為偶數時，恒成立，當為奇數時，，令，又函數在上單調遞增，且，，所以，所以集合中所有元素的和為.20.設函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，若對任意，函數在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍.解：（1）當時，不等式即，所以，解得或，所以不等式的解集為.（2）由復合函數的單調性知在上單調遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，而，令，因為，所以，所以，由對勾函數單調性知在上單調遞增，所以，所以.21.各項均為正數的數列的前項和記為，已知，且對一切都成立．（1）求數列的通項公式；（2）在和之間插入個數，使這個數組成等差數列，將