吉林省白城市鎮(zhèn)賚縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷+

吉林省白城市鎮(zhèn)賚縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）一、選擇題。（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是答1．（3分）下列事件中，屬于不可能事件的是（）A．射擊運動員射擊一次，命中靶心 B．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈 C．班里的兩名同學(xué)，他們的生日是同一天 D．從只裝有8個白球的袋子中摸出紅球2．（3分）已知⊙O的半徑為5cm，若點A到圓心O的距離為4cm，則點A（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定3．（3分）拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸的交點坐標是（）A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（0，2） D．（2，0）4．（3分）下列是北京大學(xué)、中國科學(xué)院大學(xué)、中國藥科大學(xué)和中南大學(xué)的標志中的圖案，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（3分）邊長為2的正六邊形的半徑是（）A．2 B． C．1 D．6．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B＝80°，則∠D為（）A．40° B．80° C．100° D．160°7．（3分）點P（2，﹣1）關(guān)于原點對稱的點P′的坐標是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）8．（3分）如圖，A，B，C是⊙O上的三個點，若∠B＝66°，則∠OAC的度數(shù)為（）A．24° B．29° C．33° D．132°9．（3分）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣1的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物線的說法正確的是（）A．開口向上 B．當(dāng)x＝0時，函數(shù)的最大值是﹣1 C．對稱軸是直線x＝1 D．拋物線與x軸有兩個交點10．（3分）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點E是射線AB上的動點（點E不與點A，點B重合），點F在線段DA的延長線上，且AF＝AE，連接EF，F(xiàn)B．設(shè)AE＝x，△BEF的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．二、填空題。（本題共8小題，每小題3分，24分。）11．（3分）拋物線y＝3（x﹣5）2+4的頂點坐標為．12．（3分）一個扇形的圓心角為90°，半徑為2，則扇形面積＝．13．（3分）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上，如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是．14．（3分）將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到拋物線為．15．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一個根是2，則另一個根為．16．（3分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∠OAB＝30°，則∠APB＝．17．（3分）AB，CD是⊙O的兩條平行弦，⊙O的直徑為10cm，AB＝8cm，CD＝6cm，則AB，CD間的距離為．18．（3分）如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，且圓心O在△ABC外部，OD⊥BC交⊙O于點D．則以下結(jié)論中：①∠ABC＝∠ADC；②BC＝2CD；③AD平分∠BAC；④AB＝CD．所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題。（第19題10分，第20題12分，共22分.）19．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+3x+2＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m為正整數(shù)時，求此時方程的根．20．（12分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中建立直角坐標系，△AOB的頂點均在格點上，點O為原點，點A，B的坐標分別是A（3，2），B（1，3）．（1）若將△AOB向下平移3個單位，則點B的對應(yīng)點坐標為；（2）將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1，請在圖中作出△A1OB1，并求出這時點A1的坐標為；（3）求旋轉(zhuǎn)過程中，線段OA掃過的圖形的弧長．四、解答題。（第21題12分，第22題12分，共24分.）21．（12分）為了繼續(xù)宣傳新冠疫苗接種的重要性，某小區(qū)物業(yè)部門準備在已經(jīng)接種疫苗的居民中招募2名志愿宣傳者，現(xiàn)有2名男性2名女性共4名居民報名．（1）從4人中抽取1人為男性的概率是；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求要從這4人中隨機挑選2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率．22．（12分）為了執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元．平均每次降價的百分率是多少？五、解答題。（滿分12分）23．（12分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，E為⊙O上兩點，且＝，連接AE，AC，過點C作CD⊥AE交AE的延長線于點D．（1）求證：直線CD是⊙O的切線．（2）連接CE，若AB＝4，∠EAC＝30°，求陰影部分的面積．六、解答題。（滿分12分）24．（12分）“燃情冰雪，拼出未來”，北京冬奧會將于2022年2月4日如約而至．某商家已提前開始冬奧會吉祥物“冰墩墩”紀念品的銷售．每個紀念品進價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（2）求當(dāng)每個紀念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利2400元；（3）將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？七、解答題。（滿分12分）25．（12分）如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE．則CE＝BD．現(xiàn)將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．如圖②，連接CE，BD．（1）如圖②，請直接寫出CE與BD的數(shù)量關(guān)系．（2）將△ADE旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時，請判斷CE與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△BCD的面積最大時，α＝．（直接寫出答案即可）八、解答題。（滿分14分）26．（14分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上一動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點P在直線BC上方的拋物線上時，求△PBC的最大面積，并直接寫出此時P點坐標；（3）若點M在拋物線的對稱軸上，以B，C，P，M為頂點、BC為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題。（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是答1．（3分）下列事件中，屬于不可能事件的是（）A．射擊運動員射擊一次，命中靶心 B．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈 C．班里的兩名同學(xué)，他們的生日是同一天 D．從只裝有8個白球的袋子中摸出紅球【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點判斷即可．【解答】解：A．射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，故A不符合題意；B．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈，是隨機事件，故B不符合題意；C．班里的兩名同學(xué)，他們的生日是同一天，是隨機事件，故C不符合題意；D．從只裝有8個白球的袋子中摸出，是不可能事件，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵．2．（3分）已知⊙O的半徑為5cm，若點A到圓心O的距離為4cm，則點A（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關(guān)系無法確定【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：∵⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為4cm，5cm＞4cm，∴點P在圓內(nèi)．故選：A．【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．3．（3分）拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸的交點坐標是（）A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（0，2） D．（2，0）【分析】令x＝0，求出相應(yīng)的y的值，即可得到拋物線y＝x2+4x﹣1與y軸的交點坐標．【解答】解：∵拋物線y＝x2+2x﹣3，∴當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，即拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸的交點坐標是（0，﹣3），故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確拋物線與y軸交點，就是求出當(dāng)x＝0時y的值．4．（3分）下列是北京大學(xué)、中國科學(xué)院大學(xué)、中國藥科大學(xué)和中南大學(xué)的標志中的圖案，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C．不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．5．（3分）邊長為2的正六邊形的半徑是（）A．2 B． C．1 D．【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，然后可得△OBC是等邊三角形，從而確定正六邊形的半徑．【解答】解：如圖，連接OB，OC，過點O作OH⊥BC于H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝×360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝2，∴它的半徑為2，故選：A．【點評】本題考查了圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)、正多邊形的內(nèi)角和、等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用6．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B＝80°，則∠D為（）A．40° B．80° C．100° D．160°【分析】運用圓內(nèi)接四邊形對角互補計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B＝80°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣80°＝100°，故選：C．【點評】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解答此題的關(guān)鍵．7．（3分）點P（2，﹣1）關(guān)于原點對稱的點P′的坐標是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可直接寫出答案．【解答】解：點P（2，﹣1）關(guān)于原點對稱的點P′的坐標是（﹣2，1），故選：A．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．8．（3分）如圖，A，B，C是⊙O上的三個點，若∠B＝66°，則∠OAC的度數(shù)為（）A．24° B．29° C．33° D．132°【分析】根據(jù)圓周角定理，由∠B＝66°，可得∠AOC＝2∠B的度數(shù)，再由OA＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行計算即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝66°，∴∠AOC＝2∠B＝2×66°＝132°，∵OA＝OC，∴＝＝24°．故選：A．【點評】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理進行計算是解決本題的關(guān)鍵．9．（3分）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣1的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物線的說法正確的是（）A．開口向上 B．當(dāng)x＝0時，函數(shù)的最大值是﹣1 C．對稱軸是直線x＝1 D．拋物線與x軸有兩個交點【分析】先由函數(shù)的解析式可以判斷選項A、B、C，然后令y＝0判斷選項D．【解答】解：∵二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣1，∴圖象開口向下，故選項A錯誤，不符合題意；當(dāng)x＝0時，函數(shù)的最大值為﹣1，故選項B正確，符合題意；對稱軸是直線x＝0，故選項C錯誤，不符合題意；令y＝0時，﹣x2﹣1＝0，∴x2＝﹣1，無解，∴拋物線與x軸沒有交點，故選項D錯誤，不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會通過函數(shù)的頂點式得到函數(shù)的開口方向、對稱軸和最值．10．（3分）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點E是射線AB上的動點（點E不與點A，點B重合），點F在線段DA的延長線上，且AF＝AE，連接EF，F(xiàn)B．設(shè)AE＝x，△BEF的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【分析】分兩種情況求出函數(shù)的解析式，再由函數(shù)解析式對各選項進行判斷．【解答】解：由題意可知，△BEF的面積＝BE?AF，設(shè)AE＝x，△BEF的面積為y，當(dāng)0≤x≤2時，y＝（2﹣x）?x＝﹣x2+x；當(dāng)x＞2時，y＝（x﹣2）?x＝x2﹣x；綜上可知，當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)圖象是開口向下的拋物線；當(dāng)x＞2時，函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，符合上述特征的只有B，故選：B．【點評】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，分段求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．二、填空題。（本題共8小題，每小題3分，24分。）11．（3分）拋物線y＝3（x﹣5）2+4的頂點坐標為（5，4）．【分析】根據(jù)的拋物線的頂點式，可以直接寫出該拋物線的頂點坐標，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線y＝3（x﹣5）2+4，∴該拋物線的頂點坐標為（5，4），故答案為：（5，4）．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．12．（3分）一個扇形的圓心角為90°，半徑為2，則扇形面積＝π．【分析】利用扇形的面積公式即可求解．【解答】解：根據(jù)扇形的面積公式可得：扇形的面積＝＝π．故答案為π．【點評】本題主要考查了扇形的面積公式的計算，正確理解公式是解題的關(guān)鍵．13．（3分）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上，如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是．【分析】根據(jù)幾何概率的求法：小球落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．【解答】解：∵總面積為9個小正方形的面積，其中陰影部分面積為5個小正方形的面積，∴小球停在陰影部分的概率是，故答案為：．【點評】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．14．（3分）將拋物線y＝3x2先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到拋物線為y＝3（x+1）2+2．【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律解答．【解答】解：y＝3x2向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線為y＝3（x+1）2+2．故答案為：y＝3（x+1）2+2．【點評】此題主要考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．15．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一個根是2，則另一個根為﹣3．【分析】設(shè)方程另一根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2t＝﹣6，然后解一次方程即可．【解答】解：設(shè)方程另一根為t，根據(jù)題意得2t＝﹣6，解得t＝﹣3．故答案為﹣3．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．16．（3分）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∠OAB＝30°，則∠APB＝60°．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠AOB的度數(shù)，最后利用四邊形的內(nèi)角和進行計算即可．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝60°，故答案為：60°．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（3分）AB，CD是⊙O的兩條平行弦，⊙O的直徑為10cm，AB＝8cm，CD＝6cm，則AB，CD間的距離為1cm或7cm．【分析】作OE⊥AB于E，延長EO交CD于F，連接OA、OC，如圖，利用平行線的性質(zhì)OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，則利用勾股定理可計算出OE＝3，OF＝4，討論：當(dāng)點O在AB與CD之間時，EF＝OF+OE；當(dāng)點O不在AB與CD之間時，EF＝OF﹣OE．【解答】解：作OE⊥AB于E，延長EO交CD于F，連接OA、OC，如圖，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，當(dāng)點O在AB與CD之間時，如圖1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；當(dāng)點O不在AB與CD之間時，如圖2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；綜上所述，AB與CD之間的距離為1cm或7cm．故答案為1cm或7cm．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．注意分類討論．18．（3分）如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，且圓心O在△ABC外部，OD⊥BC交⊙O于點D．則以下結(jié)論中：①∠ABC＝∠ADC；②BC＝2CD；③AD平分∠BAC；④AB＝CD．所有正確結(jié)論的序號是①③．【分析】根據(jù)同弧所對圓周角相等，可以判斷①正確；根據(jù)垂徑定理可得＝，所以BD＝CD，進而可以判斷②；根據(jù)等弧所對圓周角相等可得∠BAD＝∠CAD，進而可以判斷③；根據(jù)弧不等，它所對弦也不等，進而可以判斷④，即可解決問題．【解答】解：∵同弧所對圓周角相等，∴∠ABC＝∠ADC，故①正確；∵OD⊥BC，OD是⊙O的半徑，∴＝，∴BD＝CD，∴BC≠2CD，故②錯誤；∵＝，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC，故③正確；④∵≠，∴AB≠CD，故④錯誤．∴所有正確結(jié)論的序號是①③．故答案為：①③．【點評】本題考查了三角形外接圓與外心，垂徑定理，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．三、解答題。（第19題10分，第20題12分，共22分.）19．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+3x+2＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m為正整數(shù)時，求此時方程的根．【分析】（1）先根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝32﹣4m×2≥0，然后解不等式即可；（2）先確定m＝1，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）根據(jù)題意得m≠0且Δ＝32﹣4m×2≥0，解得m≤且m≠0．故m的取值范圍為m≤且m≠0；（2）∵m≤且m≠0，m為正整數(shù)，∴m＝1，∴原方程化為x2+3x+2＝0，即（x+1）（x+2）＝0，∴x+1＝0或x+2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝﹣2．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了解一元二次方程．20．（12分）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中建立直角坐標系，△AOB的頂點均在格點上，點O為原點，點A，B的坐標分別是A（3，2），B（1，3）．（1）若將△AOB向下平移3個單位，則點B的對應(yīng)點坐標為（1，0）；（2）將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1，請在圖中作出△A1OB1，并求出這時點A1的坐標為（﹣2，3）；（3）求旋轉(zhuǎn)過程中，線段OA掃過的圖形的弧長．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)解決問題即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B的對應(yīng)點A1，B1即可；（3）利用勾股定理求出OA，利用弧長公式求解即可．【解答】解：（1）點B的對應(yīng)點坐標為（1，0），故答案為：（1，0）；（2）如圖，△A1OB1即為所求，這時點A1的坐標為（﹣2，3），故答案為：（﹣2，3）；（3）∵OA＝＝，∴線段OA掃過的圖形的弧長＝＝．【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換，平移變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．四、解答題。（第21題12分，第22題12分，共24分.）21．（12分）為了繼續(xù)宣傳新冠疫苗接種的重要性，某小區(qū)物業(yè)部門準備在已經(jīng)接種疫苗的居民中招募2名志愿宣傳者，現(xiàn)有2名男性2名女性共4名居民報名．（1）從4人中抽取1人為男性的概率是；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求要從這4人中隨機挑選2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，抽取的兩人恰好是一男一女的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）從4人中抽取1人為男性的概率是＝，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，抽取的兩人恰好是一男一女的結(jié)果有8種，∴兩人恰好是一男一女的概率為＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．22．（12分）為了執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元．平均每次降價的百分率是多少？【分析】設(shè)平均每次降價的百分率是x，利用經(jīng)過兩次降價后的價格＝原價×（1﹣平均每次降價的百分率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)平均每次降價的百分率是x，依題意得：100（1﹣x）2＝81，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．答：平均每次降價的百分率是10%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．五、解答題。（滿分12分）23．（12分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，E為⊙O上兩點，且＝，連接AE，AC，過點C作CD⊥AE交AE的延長線于點D．（1）求證：直線CD是⊙O的切線．（2）連接CE，若AB＝4，∠EAC＝30°，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OC，利用等弧所對的圓周角相等∠EAC＝∠CAB，再利用等腰三角形的性質(zhì)證出∠EAC＝∠OCA，從而證明AD∥OC，即可解答；（2）利用圓周角定理求出∠EOC＝60°，然后證明△EOC是等邊三角形，最后利用扇形EOC的面積減去△EOC的面積進行計算即可解答．【解答】（1）證明：連接OC，∵CD⊥AE，∴∠D＝90°，∵＝，∴∠EAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠D+∠DCO＝180°，∴∠DCO＝180°﹣∠D＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線；（2）連接OE，過點O作OF⊥CE，垂足為F，∵∠EAC＝30°，∴∠EOC＝2∠EAC＝60°，∵OE＝OC，∴△EOC是等邊三角形，∴EC＝OE＝OC＝AB＝2，∴EF＝EC＝1，∴OF＝＝＝，∴陰影部分的面積＝扇形EOC的面積﹣△EOC的面積＝﹣×2×＝π﹣，∴陰影部分的面積為：π﹣．【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，扇形面積的計算，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．六、解答題。（滿分12分）24．（12分）“燃情冰雪，拼出未來”，北京冬奧會將于2022年2月4日如約而至．某商家已提前開始冬奧會吉祥物“冰墩墩”紀念品的銷售．每個紀念品進價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（2）求當(dāng)每個紀念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利2400元；（3）將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（2）根據(jù)銷售量×（售價﹣進價）＝2400，解方程求出在自編量范圍內(nèi)的解即可；（3）根據(jù)銷售利潤＝銷售量×（售價﹣進價），列出平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根據(jù)題意得：（﹣10x+740）（x﹣40）＝2400，整理得：x2﹣114x+3200＝0，解得：x1＝50，x2＝64，∵44≤x≤52，∴x＝50，∴當(dāng)每個紀念品的銷售單價是50元時，商家每天獲利2400元；（3）根據(jù)題意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＜57時，w隨x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴當(dāng)x＝52時，w有最大值，最大值為2640，∴將紀念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x＝﹣時取得．七、解答題。（滿分12分）25．（12分）如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE．則CE＝BD．現(xiàn)將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．如圖②，連接CE，BD．（1）如圖②，請直接寫出CE與BD的數(shù)量關(guān)系．（2）將△ADE旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時，請判斷CE與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△BCD的面積最大時，α＝135°．（直接寫出答案即可）【分析】（1）利用SAS證明△ACE≌△ABD，可得結(jié)論；（2）設(shè)BD與CE的交點為F，同理利用SAS證明△ACE≌△ABD，得∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，則∠CAB＝∠CFB＝90°；（3）根據(jù)邊BC的長是定值，則BC邊上的高最大時，△BCD的面積最大，則當(dāng)點D在線段BC的垂直平分線上時，△BCD的面積最大，畫出圖形即可解決問題．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△ACE與△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD；（2）CE＝BD，CE⊥BD，理由如下：設(shè)BD與CE的交點為F，∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△ACE與△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，∴∠CAB＝∠CFB＝90°，∴CE＝BD，CE⊥BD；（3）在△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高最