2024屆山東省棗莊市八中東校區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

2024屆山東省棗莊市八中東校區(qū)數(shù)學(xué)高一下期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（）A．4 B．8 C．16 D．322．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則()A． B． C． D．3．若||＝2cos15°，||＝4sin15°，的夾角為30°，則等于()A． B． C．2 D．4．某小吃店的日盈利（單位：百元）與當(dāng)天平均氣溫（單位：℃）之間有如下數(shù)據(jù)：/℃/百元對上述數(shù)據(jù)進行分析發(fā)現(xiàn)，與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則線性回歸方程為（）參考公式：A． B．C． D．5．已知，是兩個不同的平面，給出下列四個條件：①存在一條直線，使得，；②存在兩條平行直線，，使得，，，；③存在兩條異面直線，，使得，，，；④存在一個平面，使得，．其中可以推出的條件個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知為第Ⅱ象限角，則的值為（）A． B． C． D．7．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）A．異面直線與所成的角為45° B．平面C．平面平面 D．異面直線與所成的角為45°8．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A．4 B．5 C． D．9．在三棱錐中，已知所有棱長均為，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)且公比不等于1的等比數(shù)列，對于函數(shù)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則稱函數(shù)為“保比差數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①，②，③；④，則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知{}是等差數(shù)列，是它的前項和，且，則____.12．等比數(shù)列{an}中，a1＜0，{an}是遞增數(shù)列，則滿足條件的q的取值范圍是______________．13．定義運算，如果，并且不等式對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的范圍是______.14．已知三個事件A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.15．已知數(shù)列滿足，，，則__________．16．若正四棱錐的所有棱長都相等，則該棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的大小為____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量且，（1）求向量與的夾角；（2）求的值.18．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．19．如圖，已知平面，為矩形，分別為的中點，.（1）求證：平面；（2）求證：面平面；（3）求點到平面的距離.20．在直角坐標(biāo)系中，點，圓的圓心為，半徑為2.（Ⅰ）若，直線經(jīng)過點交圓于、兩點，且，求直線的方程；（Ⅱ）若圓上存在點滿足，求實數(shù)的取值范圍.21．已知數(shù)列滿足，令（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)，則即可求解.【題目詳解】因為樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，所以，，…，的方差為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了方差的概念及求法，屬于容易題.2、A【解題分析】

先由a、b、c成等比數(shù)列，得到，再由題中條件，結(jié)合余弦定理，即可求出結(jié)果.【題目詳解】解：a、b、c成等比數(shù)列，所以，?所以，由余弦定理可知，又，所以.故選A．【題目點撥】本題主要考查解三角形，熟記余弦定理即可，屬于常考題型.3、B【解題分析】分析：先根據(jù)向量數(shù)量積定義化簡，再根據(jù)二倍角公式求值.詳解：因為，所以選B.點睛：平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化簡.4、B【解題分析】

計算出，，把數(shù)據(jù)代入公式計算，即可得到答案．【題目詳解】由題可得：，，，，；所以，，則線性回歸方程為；故答案選B【題目點撥】本題考查線性回歸方程的求解，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】當(dāng)，不平行時，不存在直線與，都垂直，，，故正確；存在兩條平行直線，，，，，，則，相交或平行，所以不正確；存在兩條異面直線，，，，，，由面面平行的判定定理得，故正確；存在一個平面，使得，，則，相交或平行，所以不正確；故選6、B【解題分析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【題目詳解】因為，所以或，又為第Ⅱ象限角，故，．因為為第Ⅱ象限角即，所以，，即為第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故選B．【題目點撥】本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用以及象限角的集合應(yīng)用．7、A【解題分析】

根據(jù)正方體性質(zhì)，依次證明線面平行和面面平行，根據(jù)直線的平行關(guān)系求異面直線的夾角.【題目詳解】根據(jù)正方體性質(zhì)，，所以異面直線與所成的角等于，，，所以不等于45°，所以A選項說法不正確；，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，所以平面，所以B選項說法正確；同理可證：平面，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，所以C選項說法正確；，異面直線與所成的角等于，所以D選項說法正確.故選：A【題目點撥】此題考查線面平行和面面平行的判定，根據(jù)平行關(guān)系求異面直線的夾角，考查空間線線平行和線面平行關(guān)系的掌握8、C【解題分析】

求出點A關(guān)于直線的對稱點，再求解該對稱點與B點的距離，即為所求.【題目詳解】根據(jù)題意，作圖如下：因為點，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點為故可得，解得，即故“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：C.【題目點撥】本題考查點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)的求解，以及兩點之間的距離公式，屬基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

取的中點，連接、，于是得到異面直線與所成的角為，然后計算出的三條邊長，并利用余弦定理計算出，即可得出答案．【題目詳解】如下圖所示，取的中點，連接、，由于、分別為、的中點，則，且，所以，異面直線與所成的角為或其補角，三棱錐是邊長為的正四面體，則、均是邊長為的等邊三角形，為的中點，則，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選A．【題目點撥】本題考查異面直線所成角的計算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下：（1）一作：平移直線，找出異面直線所成的角；（2）二證：對異面直線所成的角進行說明；（3）三計算：選擇合適的三角形，并計算出三角形的邊長，利用余弦定理計算所求的角．10、B【解題分析】

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q（q≠1），利用保比差數(shù)列函數(shù)的定義，逐項驗證數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，即可得到結(jié)論．【題目詳解】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q（q≠1）①由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnlnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；②由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq2＝2lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；③由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnan+1﹣an不是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}不為等差數(shù)列，不滿足題意；④由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；綜上，為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為①②④故選：B．【題目點撥】本題考查新定義，考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，由此得解.【題目詳解】解：由題意可知，；同理。故.故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】試題分析：由題意可得，∴，解得0＜q＜1考點：等比數(shù)列的性質(zhì)13、【解題分析】

先由題意得到，根據(jù)題意求出的最大值，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由題意得到，其中，因為，所以，又不等式對任意實數(shù)x恒成立，所以.故答案【題目點撥】本題主要考查由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記三角函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.14、0.9【解題分析】

先計算，再計算【題目詳解】故答案為0.9【題目點撥】本題考查了互斥事件的概率計算，屬于基礎(chǔ)題型.15、-2【解題分析】

根據(jù)題干中所給的表達式得到數(shù)列的周期性，進而得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題干表達式得到可以得數(shù)列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【題目點撥】這個題目考查了求數(shù)列中的某些項，一般方法是求出數(shù)列通項，對于數(shù)列通項不容易求的題目，可以列出數(shù)列的一些項，得到數(shù)列的周期或者一些其它規(guī)律，進而得到數(shù)列中的項.16、【解題分析】

先作出線面角，再利用三角函數(shù)求解即可．【題目詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的棱長為1，作在底面的射影，則為與底面所成角，為正方形的中心，，，，故答案為．【題目點撥】本題考查線面角，考查學(xué)生的計算能力，作出線面角是關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積的運算法則化簡，進而求出向量與的夾角；（Ⅱ）利用，對其化簡，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果．【題目詳解】解：（Ⅰ）由得因向量與的夾角為（Ⅱ）【題目點撥】本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，以及平面向量的夾角以及平面向量的模的求法，考查計算能力．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三角恒等變換思想得出，利用周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期；（2）解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；（2）令，可得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)周期和單調(diào)區(qū)間的求解，解題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)解析式化簡，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解題分析】

(1)利用線面平行的判定定理，尋找面PAD內(nèi)的一條直線平行于MN，即可證出；（2）先證出一條直線垂直于面PCD，依據(jù)第一問結(jié)論知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可證出；（3）依據(jù)等積法，即可求出點到平面的距離．【題目詳解】證明：（1）取中點為，連接分別為的中點，是平行四邊形，平面，平面，∴平面證明：（2）因為平面，所以，而,面PAD，而面，所以,由,為的終點，所以由于平面，又由（1）知，平面，平面，∴平面平面解：（3），，，則點到平面的距離為（也可構(gòu)造三棱錐）【題目點撥】本題主要考查線面平行、面面垂直的判定定理以及等積法求點到面的距離，意在考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算能力．20、（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）勾股定理求出圓心到直線的距離d，利用d=1以直線的斜率存在、不存在兩種情況進行分類討論；（Ⅱ）設(shè)，由求出x、y滿足的關(guān)系式，可得點在圓上，推出圓與圓有公共點，所以，列出不等式求解即可.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)，圓心為，圓的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則.①若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，，解得，此時的方程為，即.②若直線的斜率不存在，直線的方程為，驗證滿足，符合題意.綜上所述，直線的方程為或.（Ⅱ）設(shè)，則，于是由得，即，所以點在圓上，又點在圓上，故圓與圓有公共點，即,于是，解得，因此實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，向量的數(shù)量