山東省青島市實(shí)驗(yàn)高中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

山東省青島市實(shí)驗(yàn)高中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，隨機(jī)地在圖中撒一把豆子，則豆子落到陰影部分的概率是（）A．12 B．34 C．12．把一個(gè)已知圓錐截成個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)小圓錐，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為，母線長為，則己知圓錐的母線長為（）.A． B． C． D．3．設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，且、、成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．4．某同學(xué)使用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí),錯(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-35．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則（）A．1 B． C． D．20166．若正實(shí)數(shù)，滿足，則有下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知平面平面，直線，直線，則直線，的位置關(guān)系為（）A．平行或相交 B．相交或異面 C．平行或異面 D．平行?相交或異面8．甲：（是常數(shù)）乙：丙：（、是常數(shù)）?。海?、是常數(shù)），以上能成為數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的有幾個(gè)（）A．1 B．2 C．3 D．49．若，則的最小值為（）A． B． C．3 D．210．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列命題中，正確的命題序號(hào)是①函數(shù)的最小正周期為②函數(shù)的振幅為③函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是⑤函數(shù)的解析式為A．③⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則______．12．（如下圖）在正方形中，為邊中點(diǎn)，若，則__________．13．設(shè)，則函數(shù)是__________函數(shù)（奇偶性）.14．的值域是______.15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），則的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為__________．16．如圖，正方形中，分別為邊上點(diǎn)，且，，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓過點(diǎn)和，且圓心在直線上.（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求直線：被圓截得的弦長.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的方程是（，）．（1）當(dāng)，時(shí)，求曲線圍成的區(qū)域的面積；（2）若直線：與曲線交于軸上方的兩點(diǎn)，，且，求點(diǎn)到直線距離的最小值．19．在公差不為零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.20．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)及點(diǎn)處，且小區(qū)里有一條平行于的小路．（1）已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘，若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長（精確到米）（2）若該扇形的半徑為，已知某老人散步，從沿走到，再從沿走到，試確定的位置，使老人散步路線最長．21．如圖，在四棱錐中，，底面為平行四邊形，平面．（）求證：平面；（）若，，，求三棱錐的體積；（）設(shè)平面平面直線，試判斷與的位置關(guān)系，并證明．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

求出陰影部分的面積，然后與圓面積作比值即得．【題目詳解】圓被8等分，其中陰影部分有3分，因此所求概率為P=3故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐的軸截面三角形的相似性，通過圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為來求解.【題目詳解】設(shè)圓錐的母線長為，因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑之比為，所以，解得.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體軸截面中的比例關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)得出與的等量關(guān)系，即可計(jì)算出的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于、、成等比數(shù)列，則有，所以，，化簡得，因此，.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和中基本量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項(xiàng)與公差的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

因?yàn)殄e(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為15,所以此時(shí)求出的數(shù)比實(shí)際的數(shù)差是,因此平均數(shù)之間的差是.故答案為D5、C【解題分析】

利用和關(guān)系得到數(shù)列通項(xiàng)公式，代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，相減：取答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了和關(guān)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、C【解題分析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)推理判斷，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，正實(shí)數(shù)是正數(shù)，且，①中，可得，所以是錯(cuò)誤的；②中，由，可得是正確的；③中，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，可得是正確的；④中，因?yàn)椋允钦_的，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)，合理推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系，結(jié)合題意，進(jìn)行選擇.【題目詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫本€，直線，所以直線沒有公共點(diǎn)，所以兩條直線平行或異面.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

由等差數(shù)列的定義和求和公式、通項(xiàng)公式的關(guān)系，以及性質(zhì)，即可得到結(jié)論.【題目詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，由定義可得（是常數(shù)），且（是常數(shù)），，令，即（、是常數(shù)），等差數(shù)列通項(xiàng)，令，即（、是常數(shù)），綜上可得甲乙丙丁都對(duì).故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的關(guān)系，考查充分必要條件的定義，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

由題意知，，，再由，進(jìn)而利用基本不等式求最小值即可.【題目詳解】由題意，，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)逐一判定．【題目詳解】由圖象可知，，最大值為，，因?yàn)閳D象過點(diǎn)，，由，即可判定錯(cuò)，正確，由得對(duì)稱軸方程為，，故正確；由，，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故錯(cuò)；故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)圖象求正弦型函數(shù)函數(shù)的解析式，及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由題意得出，然后在分式的分子和分母中同時(shí)除以，然后利用常見的數(shù)列極限可計(jì)算出所求極限值.【題目詳解】由題意得出.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算，熟悉一些常見數(shù)列極限是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】∵，根據(jù)向量加法的三角形法則，得到∴λ=1，．則λ+μ=．故答案為．點(diǎn)睛：此題考查的是向量的基本定理及其分解，由條件知道，題目中要用和，來表示未知向量，故題目中要通過正方形的邊長和它特殊的直角，來做基底，表示出要求的向量，根據(jù)平面向量基本定理，系數(shù)具有惟一性，得到結(jié)果．13、偶【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，即可判斷出函數(shù)的奇偶性.【題目詳解】，因此，函數(shù)為偶函數(shù).故答案為：偶.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵就是利用誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

對(duì)進(jìn)行整理，得到正弦型函數(shù)，然后得到其值域，得到答案.【題目詳解】，因?yàn)樗缘闹涤驗(yàn)?故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查輔助角公式，正弦型函數(shù)的值域，屬于簡單題.15、【解題分析】

設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），可得，化簡整理可得.【題目詳解】設(shè)，由動(dòng)點(diǎn)滿足（其中和是正常數(shù)，且），所以，化簡得，即，所以該圓半徑故該圓的半徑為.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和兩點(diǎn)距離公式，難點(diǎn)主要在于計(jì)算.16、（或）【解題分析】

先設(shè)，根據(jù)題意得到，再由兩角和的正切公式求出，得到，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，則所以，所以，因此.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角恒等變換的應(yīng)用，熟記公式即可，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)出圓心坐標(biāo)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)帶入求出結(jié)果即可；（Ⅱ）利用圓心到直線的距離和圓的半徑解直角三角形求得弦長.【題目詳解】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴解得故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）圓心到直線的距離，∴直線被圓截得的弦長為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的方程，以及直線與圓相交求弦長的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)4；(2)．【解題分析】

（1）當(dāng)，時(shí)，曲線的方程是，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的數(shù)進(jìn)行討論，得到四條直線圍成一個(gè)菱形，并求出面積為4；（2）對(duì)進(jìn)行討論，化簡曲線方程，并與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由得到的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，從而求得.【題目詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，曲線的方程是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，曲線圍成的區(qū)域?yàn)榱庑?，其面積為；（2）當(dāng)，時(shí)，有，聯(lián)立直線可得，當(dāng)，時(shí)，有，聯(lián)立直線可得，由可得，即有，化為，點(diǎn)到直線距離，由題意可得，，，即，可得，，可得當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)到直線距離取得最小值．【題目點(diǎn)撥】解析幾何的思想方法是坐標(biāo)法，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題，本題對(duì)運(yùn)算能力的要求是比較高的.19、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出方程組，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡求解即可；（Ⅱ）將的通項(xiàng)公式代入所給等式化簡求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求出，由推出，由數(shù)列是遞增數(shù)列推出.【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），因?yàn)?，所以解得，所?（Ⅱ），.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是遞增數(shù)列，于是.綜上，.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，裂項(xiàng)相消法求和，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.20、（1）445米；（2）在弧的中點(diǎn)處【解題分析】

（1）假設(shè)該扇形的半徑為米，在中，利用余弦定理求解；（2）設(shè)設(shè)，在中根據(jù)正弦定理，用和表示和，進(jìn)而利用和差公式和輔助角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.【題目詳解】（1）方法一：設(shè)該扇形的半徑為米，連接.由題意，得(米)，（米），在中，即，解得（米)方法二：連接，作，交于，由題意，得（米），（米），，在中，.（米）..在直角中，（米），（米）.（2）連接，設(shè)，在中，由正弦定理得：，于是，