第2講層次分析法教材課件

層次分析模型（姜啟源第八章）背景日常工作、生活中的決策問題涉及經(jīng)濟、社會等方面的因素作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化Saaty于1970年代提出層次分析法AHP

(Analytic

Hierarchy

Process)AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一. 層次分析法的基本步驟例. 選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對目標(biāo)O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權(quán)向量成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如A的秩為1，A的唯一非零特征根為nA的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根λ的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量68比較尺度aijSijaaty等人提出1~9尺度——a

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/979尺度

1

2

3

4

5相同 稍強aij

=

1,1/2,,…1/9強 明顯強 絕對強的重要性與上面相反心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),

d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階正互反陣最大特征根λ≥n,且λ

=n時為一致陣定義一致性指標(biāo):CI

越大，不一致越嚴(yán)重n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51為衡量CI

的大小，引入隨機一致性指標(biāo)

RI——隨機模擬得到aij

,

形成A，計算CI

即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI當(dāng)CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣最大特征根λ=5.073權(quán)向量(特征向量)w

=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根

λ1

λ2

…

λnw1(3)權(quán)向量

w2

…

wn(3)

(3)第3層對第2層的計算結(jié)果k123450.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6683.0053.00233.00930.0030.00100.0050組合權(quán)向量w(2)0.2630.4750.0550.0900.110RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.595×0.263+…=0.300方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權(quán)向量第s層對第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素基本上相對獨立。2）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。二. 層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，

人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇過河的效益A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收岸當(dāng)建安交自舒入間地筑全往豪適

C2

商商就可溝感C8

C9業(yè)業(yè)業(yè)靠通C3

C4

C5

C6

C7進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的代價A經(jīng)濟代價B1環(huán)境代價B3社會代價B2投

操入

作資

維金

護C1

C2沖

沖

交

居

汽

對

對擊

擊

通

民

車

水

生渡

生

擁

搬

排

的

態(tài)船

活

擠

遷

放

污

的業(yè)

方

C5

C6

物

染

破C3

式

C7

C8

壞C4

C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益C11間接經(jīng)濟效益C12社會效益C13學(xué)識水平C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新C22技術(shù)水平C23技術(shù)創(chuàng)新C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4

科技成果的綜合評價三.

層次分析法的若干問題正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？為什么用特征向量作為權(quán)向量？當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A

的最大特征根λ是正單根，對應(yīng)正特征向量w，且定理2

n階正互反陣A的最大特征根λ

n,λ=n是A為一致陣的充要條件。正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。一致性指標(biāo)定義合理2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算精確計算的復(fù)雜和不必要簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取

其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,λ=3.010根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度ε2)計算3）歸一化簡化計算4）若，停止；否則，k:=k+1,

轉(zhuǎn)25)計算3.

特征向量作為權(quán)向量——成對比較的多步累積效應(yīng)問題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,

應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與

aij相差盡量小（對所有i,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點。成對比較Ci:Cj

(直接比較）aij

~

1步強度aisasj~

Ci通過Cs

與Cj的比較aij(2)

~

2步強度更能反映Ci對Cj的強度多步累積效應(yīng)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)定理1特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)當(dāng)k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重求Ak的行和4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)設(shè)第2層對第1層權(quán)向量1

2w(2)=(w

(2),w

(2))T已定第3層對第2層權(quán)向量w1

=(w11

,w12

,w13

,0)(3)

(3)

(3)

(3)

Tw

(3)=(0,0,w2

23

24(3),w

(3)T已得2討論由w(2),W(3)=(w1(3),w

(3))計算第3層對第1層權(quán)向量w(3）的方法貢獻O教學(xué)C1科研C2P2P1P3P4例:評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等不考慮支配元素數(shù)目不等的影響仍用 計算支配元素越多權(quán)重越大用支配元素數(shù)目n1,n2對w(2)加權(quán)修正若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1~P4能力相同,

w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2

=(0,0,1/2,1/2)(3)

T公正的評價應(yīng)為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用 計算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T支配元素越多權(quán)重越小教學(xué)、科研任務(wù)由上級安排教學(xué)、科研靠個人積極性考察一個特例：5.

殘缺成對比較陣的處理mi~A第i

行中θ的個數(shù)θ為殘缺元素輔助矩陣6.

更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動底盤車輪方向盤發(fā)動機減震裝置剎車轉(zhuǎn)向運行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例層次分析法的優(yōu)點系統(tǒng)性——將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統(tǒng)分析（與機理分析、測試分析并列）；實用性——定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；簡潔性——計算簡便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限囿舊——只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；粗略——定性化為定量，結(jié)果粗糙；主觀——主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。四、案例分析:合理分配住房問題許多單位都有一套住房分配方案,一般是不同的。某軍事院?，F(xiàn)行住房分配方案采用“分檔次加積分”的方法,其原則是:“按職級分檔次，同檔次的按任職時間先后排隊分配住房,任職時間相同時再考慮其它條件(如工齡、愛人情況、職稱、年齡大小等）適當(dāng)加分，從高分到低分依次排隊”．我們認(rèn)為這種分配方案仍存在不合理性。1.問題的提出30Saturday,

October

21,

2023四、案例分析:合理分配住房問題31Saturday,

October

21,

2023（韓中庚第二版第六章）根據(jù)民意測驗,百分之八十以上人認(rèn)為相關(guān)條件為職級、任職時間(任副處時間)、工齡、職稱、愛人情況、學(xué)歷、年齡和獎勵情況．要解決的問題：請你按職級分檔次，在同檔次中綜合考慮相關(guān)各項條件給出一種適用于任意N人的合理分配住房方案．用你的方案根據(jù)表中的40人情況給出排隊次序，并分析說明你的方案較原方案的合理性．四、案例分析:合理分配住房問題32Saturday,

October

21,四、案例分析:合理分配住房問題33Saturday,

October

21,該問題是一半定量半定性、多因素的綜合選優(yōu)排序問題，是一個多目標(biāo)決策問題，可以利用層次分析法對此作出決策．鑒于原來的按任職時間先后排隊的方案可能已被一部分人所接受，從某種意義上講也有一定的合理性．2.模型的分析34Saturday,

October

21,

2023四、案例分析:合理分配住房問題現(xiàn)在提出要充分體現(xiàn)重視人才、鼓勵先進等政策，但也有必要照顧到原方案合理的方面，如任職時間、工作時間、年齡的因素應(yīng)重點考慮.于是,可以認(rèn)為相關(guān)的八項條件在解決這一問題中所起的作用是不同的,應(yīng)有輕重緩急之分．35Saturday,

October

21,

20232.模型的分析假設(shè)八項條件所起的作用依次為任職時間、工作時間、職級、職稱、愛人情況、學(xué)歷、出生年月、獎勵情況.這樣能夠符合大多數(shù)人的利益．由上面的分析，首先將各項條件進行量化，為了區(qū)分各條件中的檔次差異，確定量化原則如下：36Saturday,

October

21,

20232.模型的分析任職時間、工作時間、出生年月均按每月0.1分計算；職級差為1分,8級(處級)算2分,9級（副處級）算1分；職稱每差一級1分,初級算1分,中級算2分,高級算3分；學(xué)歷每差一檔差1分,中專算1分,大專、本科、碩士、博士、博士后分別算2、3、4、5、6分;愛人情況:院外算1分,院內(nèi)職工算2分,院內(nèi)干部算3分；對原獎勵得分再加1分．37Saturday,

October

21,

20232.模型的分析2.模型的分析38Saturday,

October

21,2.模型的分析39Saturday,

October

21,

2023題中所述的相關(guān)的八項條件是合理的，有關(guān)人員均無異議；八項條件在分房方案中所起的作用依次為任職時間、工作時間、職級、職稱、愛人情況、學(xué)歷、出生年月、獎勵情況；每個人的各項條件按統(tǒng)一原則均可量化，而且能夠充分反映出每個人的實力；在量化有關(guān)任職時間、工齡、年齡時，均計算到1998年5月．3

.

模型的假設(shè)40Saturday,

October

21,如下圖:4

.

模型的建立與求解(1)

建立層次結(jié)構(gòu)41 Saturday,

October

21,

2023四、案例分析:合理分配住房問題層次結(jié)構(gòu)圖如下：選優(yōu)排序條

條件

件Ⅰ

Ⅱ條件Ⅲ條件Ⅳ條件Ⅴ對象37對象39對象40對象38對

對

對

對

對象

象

象

象

象1

2

3

4

5……P12P2

P3

P4

P5??????P37

P38

P39

P40C1

C2

C3C4C5

C6

C7條件條

條件

件Ⅵ

Ⅶ

ⅧC842