考研數(shù)學(xué)二(常微分方程)模擬試卷10(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（常微分方程）模擬試卷10(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．微分方程y’’-y=ex+1的一個特解應(yīng)具有形式(式中a，b為常數(shù))()．A．a(chǎn)ex+bB．a(chǎn)xex+bC．a(chǎn)ex+bxD．a(chǎn)xex+bx正確答案：B解析：y’’-y=0的特征方程為λ2-1=0，特征值為λ1=-1，λ2=1，y’’-y=ex的特解形式為y1=axex，y’’-y=1的特解形式為y2=b，故方程y’’-y=ex+1的特解形式為y=axex+b，應(yīng)選(B)．知識模塊：常微分方程2．在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3為任意常數(shù))為通解的是()．A．y’’’+y’’-4y’-4y=0B．y’’’+y’’+4y’+4y=0C．y’’’-y’’-4y’+4y=0D．y’’’-y’’+4y’-4y=0正確答案：D解析：因為通解為y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x，所以特征值為λ1=1，λ2,3=±2i，特征方程為(λ-1)(λ-2i)(λ+2i)=0，整理得λ3-λ2+4λ-4=0，對應(yīng)為微分方程為y’’’-y’’+4y’-4y=0，應(yīng)選(D)．知識模塊：常微分方程填空題3．設(shè)函數(shù)φ(u)可導(dǎo)且φ(0)=1，二原函數(shù)z=φ(x+y)exy滿足，則φ(u)=______正確答案：解析：令x+y=u，則再由φ(0)=1得C=1，故φ(u)=知識模塊：常微分方程解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。4．在t=0時，兩只桶內(nèi)各裝10L的鹽水，鹽的濃度為15g／L，用管子以2L／min的速度將凈水輸入到第一只桶內(nèi)，攪拌均勻后的混合液又由管子以2L／min的速度被輸送到第二只桶內(nèi)，再將混合液攪拌均勻，然后用1L／min的速度輸出．求在任意時刻t＞0，從第二只桶內(nèi)流出的水中含鹽所滿足的微分方程．正確答案：設(shè)在任意時刻t＞0，第一只桶和第二只桶內(nèi)含鹽分別為m1(t)，m2(t)，在時間[t，t+dt]內(nèi)有dm1=，且滿足初始條件m1(0)=150，解得m1(t)=；在時間[t，t+dt]內(nèi)有，且滿足初始條件m2(0)=150．涉及知識點：常微分方程5．某人的食量是2500卡／天(1卡=4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陳代謝．在健身運動中，他所消耗的為16卡／千克／天乘以他的體重．假設(shè)以脂肪形式儲存的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎樣隨時間變化．正確答案：輸入率為2500卡／天，輸出率為(200+16w)，其中w為體重，根據(jù)題意得涉及知識點：常微分方程6．一條均勻鏈條掛在一個無摩擦的釘子上，鏈條長18m，運動開始時鏈條一邊下垂8m，另一邊下垂10m，問整個鏈條滑過釘子需要多長時間?正確答案：設(shè)鏈條的線密度為ρ，取x軸正向為垂直向下，設(shè)t時刻鏈條下垂x(t)m，則下垂那段的長度為(10+x)m，另一段長度為(8-x)m，此時鏈條受到的重力為(10+x)ρg-(8-x)ρg=2(x+1)ρg．鏈條的總重量為188，由牛頓第二定理F=ma得涉及知識點：常微分方程7．質(zhì)量為1g的質(zhì)點受外力作用作直線運動，外力和時間成正比，和質(zhì)點的運動速度成反比，在t=10s時，速度等于50cm／s．外力為39．2cm／s2，問運動開始1min后的速度是多少?正確答案：由題意得，因為當t=10時，u=50，F(xiàn)=39．2，所以k=196，從而F=，分離變量得vdv=196tdt，所以=98t2+C，由v｜t=10=50，得C=-8550，于是涉及知識點：常微分方程8．設(shè)非負函數(shù)f(x)當x≥0時連續(xù)可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x軸，y軸及過點(x，0)且垂直于x軸的直線圍成的圖形的面積與y=f(x)在[0，x]上弧的長度相等，求f(x)．正確答案：根據(jù)題意得涉及知識點：常微分方程9．設(shè)函數(shù)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=1且有f’(x)+求f(x)．正確答案：因為兩邊對x求導(dǎo)得f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，則方程f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解為C1e-x+C2e-2x．令f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一個特解為y0=axe-x，代入得a=1，則原方程的通解為f(x)=C1e-x+C2e1-2x+xe-x．由f(0)=1，f’(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解為f(x)=e-2x+xe-x．涉及知識點：常微分方程10．高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足z=h(t)-，已知體積減少的速度與側(cè)面積所成比例系數(shù)為0．9，問高度為130的雪堆全部融化需要多少時間．(其中長度單位是cm，時間單位為h)?正確答案：t時刻雪堆體積V=側(cè)面積S=，根據(jù)題意得因為h(0)=130，所以C=130，則h(t)=，得t=100，即經(jīng)過100小時全部融化．涉及知識點：常微分方程11．早晨開始下雪整天不停，中午一掃雪車開始掃雪，每小時掃雪體積為常數(shù)，到下午2點掃雪2km，到下午4點又掃雪1km，問降雪是什么時候開始的?正確答案：設(shè)單位面積在單位時間內(nèi)降雪量為a，路寬為b，掃雪速度為c，路面上雪層厚度為H(t)，掃雪車前進路程為S(t)，降雪開始時間為T，則H(t)=a(t-T)，又b×H(t)×△s=c×△t，涉及知識點：常微分方程12．設(shè)A從原點出發(fā)，以固定速度v0沿y軸正向行駛，B從(x0，0)出發(fā)(x0＜0)，以始終指向點A的固定速度v1朝A追去，求B的軌跡方程．正確答案：設(shè)t時刻B點的位置為M(x，y)，則兩邊積分，得由y(x0)=0，得c1=，則B的軌跡方程為當k=1時，B的軌跡方程為涉及知識點：常微分方程13．飛機在機場開始滑行著陸，在著陸時刻已失去垂直速度，水平速度為v0(m／s)，飛機與地面的摩擦系數(shù)為μ，且飛機運動時所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平方向的比例系數(shù)為kx(kg.s2／m2)，在垂直方向的比例系數(shù)為ky(kg.s2／m2)．設(shè)飛機的質(zhì)量為m(kg)，求飛機從著陸到停止所需要的時間．正確答案：水平方向的空氣阻力Rx=kxv2，垂直方向的空氣阻力Ry=kyv2，摩擦力為W=μ(mg-Ry)，由牛頓第二定律，有涉及知識點：常微分方程14．設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足△y=△x+o(△x)，且y(0)=0，求函數(shù)y=y(x)．正確答案：由涉及知識點：常微分方程15．設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上有定義，且對任意實數(shù)a，b，都有等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立，又f’(0)=1，求f(x)．正確答案：取a=0，b=0得f(0)=0．通解為f(x)=[∫ex.e∫dxdx+C]e-∫-dx=(x+C)ex，由f(0)=0得C=0，故f(x)=xex．涉及知識點：常微分方程16．設(shè)當u＞0時f(u)一階連續(xù)可導(dǎo)，且f(1)=0，又二元函數(shù)z=f(ex-ey)滿足=1，求f(u)．正確答案：由，f(u)=lnu+C，由f(1)=0得C=0，故f(u)=lnu．涉及知識點：常微分方程17．求微分方程=x2+y2滿足條件y｜x=e=2e的特解．正確答案：由將x=e，u=2代入得C=1，所求的特解為y2=2x2lnx+2x2．涉及知識點：常微分方程18．微分方程=y(lny-lnx)的通解．正確答案：解得ln-1=Cx，于是u=eCx+1，故通解為y=xeCx+1．涉及知識點：常微分方程19．求微分方程的通解．正確答案：通解為涉及知識點：常微分方程20．求微分方程xy’+(1-x)y=e2x(x＞0)的滿足的特解．正確答案：原方程化為涉及知識點：常微分方程21．求微分方程y’+ycosx=(lnx)e-sinx的通解．正確答案：通解為y=[∫(lnx)e-sinx.e∫cosxdxdx+C]e-∫cosxdx=(∫lnxdx+C)e-sinx=(xlnx-x+C)e-ssinx涉及知識點：常微分方程22．求微分方程的滿足初始條件y(1)=0的特解．正確答案：原方程化為=lnx．通解為=Cx2-x(1+lnx)，由y(1)=0得C=1，故y=x2-x(1+lnx)．涉及知識點：常微分方程23．求微分方程(1-x2)y’’-xy’=0的滿足初始條件y(0)-0，y’(0)=1的特解．正確答案：由(1-x2)y’’-xy’=0的由y’(0)=1得C1=1，從而y’=于是y=arcsinx+C2，再由y(0)=0得C2=0，故y=arcsinx．涉及知識點：常微分方程24．已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)=，求該微分方程的解y=y(x)滿足y(0)=0．正確答案：當0≤x≤1時，y’+y=2的通解為y=C1e-x+2；當x＞1時，y’+y=0的通解為y=C2e-x，即y=由y(0)=0得C1=-2，再由C1e-1+2=C2e-1得C2=2e-2，故所求的特解為涉及知識點：常微分方程25．解方程(3x2+2)y’’=6xy’，已知其解與ex-1(x→0)為等價無窮小．正確答案：由(3x2+2)y’’=6xy’得從而y’=C1(3x2+2)，解得y=C1x3+2C1x+C2，因為C1x3+2C1x+C2～ex-1～x，所以C1=，C2=0，故所求的解為y=x3+2x．涉及知識點：常微分方程26．求微分方程yy’’+(y’)2=0的滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=的特解．正確答案：由yy’’+(y’)2=0得(yy’)’=0，從而yy’=C1，進一步得=C1x+C2，由y(0)=1，y’(0)=涉及知識點：常微分方程27．設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足微分方程y’’-3y’+2y=2ex，且其圖形在點(0，1)處的切線與曲線y=x2-x+1在該點的切線重合，求函數(shù)y=y(x)．正確答案：特征方程為λ2-3λ+2=0，特征值為λ1=1，λ2=2，y’’-3y’+2y=0的通解為y=C1ex+C2e2x．令特解y0=axex，代入得a=-2，原方程的通解為y=C1ex+C2e2x-2xex．曲線y=x2-x+1在(0，1)處的斜率為y’｜x=0=-1，由題意得y(0)=1，y’(0)=-1，從而解得C1=1，C2=0，故所求的特解為y=ex-2xex．涉及知識點：常微分方程28．求微分方程y’’-y=4cosx+ex的通解．正確答案：特征方程為λ2-1=0，特征值為λ1=-1，λ2=1，y’’-y=0的通解為y=C1e-x+C2ex，令y’’-y=4cosx的特解為y1=acosx+bsinx，代入得a=-2，b=0；令y’’-y=ex的特解為y3=cxex，代入得c=特解為y0=-2cosx+xex，原方程通解為y=C1e-x+C2ex-2cosx+涉及知識點：常微分方程29．設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿