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高級中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1重慶市九龍坡區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題一?選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,,則()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗集合,,對于A:,A錯誤;對于B:,B錯誤;對于C:,C正確;對于D:,D錯誤.故選:C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè),,,,解得,.故選:B.3.下圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次體能素質(zhì)測試中的成績畫出的頻率分布直方圖,則由直方圖得到的分位數(shù)為()A.75 B.77.5 C.78 D.78.5〖答案〗D〖解析〗因為,所以第分位數(shù)位于之間,設(shè)為,則,解得,所以第分位數(shù)為.故選:D4.正多面體統(tǒng)稱為柏拉圖體,被喻為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu),其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成(各面都是全等的正多邊形,且每個頂點所接的面數(shù)都一樣,各相鄰面所成的二面角都相等),正多面體共有5種,它們分別是正四面體?正六面體(即正方體)?正八面體?正十二面體?正二十面體.連接正方體中相鄰面的中心(如圖1),得到另一個柏拉圖體,即正八面體(如圖2),設(shè)分別為的中點,則下列說法正確的是()A.與為異面直線B.經(jīng)過的平面截此正八面體所得的截面為正五邊形C.平面平面D.平面平面〖答案〗D〖解析〗如圖,將正方體補(bǔ)充完整為,連接,則在中,為的中點,所以,在中,為的中點,所以,從而,A錯誤;取的中點依次為,連接,則有,且,所以經(jīng)過的平面截此正八面體所得的截面為正六邊形,B錯誤;要證平面平面PCD,即證平面平面,連接,因為平面,所以平面,平面,所以,且所以且平面,所以平面,又因為平面,所以所以為平面與平面所成的角,設(shè)正方體的邊長為,則,從而,所以,故C錯誤;因為,平面,平面,所以平面,因為,平面,平面,所以平面,且平面,,所以平面平面,D正確,故選:D.5.已知拋物線與直線交于A,B兩點,且.若拋物線C的焦點為F,則()A. B.7 C.6 D.5〖答案〗B〖解析〗由題設(shè),,代入拋物線可得,所以,,則,則,可得(舍)或,故,由拋物線定義知:.故選:B6.《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部,相傳是漢末徐岳所著,該書記述了我國古代14種算法,分別是:積算(即籌算)?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算和計數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙?丁四人,該小組要收集九宮算?運籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法的相關(guān)資料,要求每種算法只能一人收集,每人至少收集其中一種,則不同的分配方案種數(shù)有()A.1560種 B.2160種 C.2640種 D.4140種〖答案〗A〖解析〗依題意分兩種情況討論:①將種算法分成、、、四組,再分配給人,則有種;②將種算法分成、、、四組,再分配給人,則有種;綜上一共有種不同的分配方案.故選:A7.已知三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上,.若球M的表面積為,,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.32〖答案〗B〖解析〗因為三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上,所以,又,,面,故面,又,面,故面,又面,故.球M的表面積為,設(shè)球的半徑為,則,解得,即,所以,,三棱錐的體積為,要使體積最大,即最大,又,當(dāng)且僅當(dāng)時取等,故體積的最大值為.故選:B.8.已知偶函數(shù)的定義域為,其導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時,有成立,則關(guān)于x的不等式的解集為()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗構(gòu)造函數(shù),,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,因為函數(shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)也為偶函數(shù),且函數(shù)在單調(diào)遞增,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,因為,所以,關(guān)于x的不等式可變?yōu)?,也即,所以,則解得或,故選:C.二?多選題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知函數(shù)圖象的一條對稱軸和一個對稱中心的最小距離為,則下列說法正確的是()A.函數(shù)的最小正周期為B.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關(guān)于原點對稱C.D.〖答案〗AD〖解析〗對A,設(shè)函數(shù)的最小正周期為,由函數(shù)圖象的一條對稱軸和一個對稱中心的最小距離為,可得,解得,選項A正確.對B,由A選項得,,,,將其圖象向左平移單位后的〖解析〗式為,顯然其圖象關(guān)于軸對稱,不關(guān)于原點對稱,故B錯誤;對C,,而,則不成立,故C錯誤;對D,,則要關(guān)于直線對稱,由C知,故D正確.故選:AD.10.若a,b,c都是正數(shù),且則()A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設(shè),則,,,,,,所以,,因為,所以,則等號不成立,所以,則,因為,所以,故選:BCD11.已知F是雙曲線E:(,)的右焦點,直線與雙曲線E交于A,B兩點,M為雙曲線E上異于A,B的一點,且MA,MB不與坐標(biāo)軸垂直,O為坐標(biāo)原點,P,Q分別為AF,BF的中點,且,記雙曲線E的離心率為e,直線MA與MB的斜率分別為,.則()A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意作出如下圖形:依題意得直線與雙曲線兩交點關(guān)于原點對稱,,分別為,的中點,則,,,,則有,設(shè),由直線斜率為可知,則,,則,代入雙曲線方程有,即,化簡得,化簡得,,解得,則,故B正確,A錯誤;根據(jù),則,則雙曲線方程可化為,設(shè),根據(jù)對稱性得,根據(jù)點在雙曲線上則有,①②得,即,,故C正確,D錯誤,故選:BC.12.已知數(shù)列滿足,,設(shè),記數(shù)列的前2n項和為,數(shù)列的前n項和為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對A,,,,則,故A正確;對B,由題意,,當(dāng)時,,所以,則是以1為公差,為首項的等差數(shù)列.則,則,故B錯誤,對C,,即,所以,兩式相減得,所以,故C正確;對D,,故D正確.故選:ACD.三?填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知平面向量,,若,則___________.〖答案〗〖解析〗平面向量,,,,.,.故〖答案〗為:.14.寫出一個使等式成立角的值為___________.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗因為,所以,則或,,故〖答案〗為:(〖答案〗不唯一)15.已知是定義在上的偶函數(shù)且,是奇函數(shù),則___________.〖答案〗〖解析〗由于是奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,所以關(guān)于對稱,,所以,因為是偶函數(shù),所以,所以,所以,所以,所以是周期為的周期函數(shù),又,,,,,所以,所以.故〖答案〗為:.16.已知直線l:與x軸相交于點A,過直線l上的動點P作圓的兩條切線,切點分別為C,D兩點,則直線CD恒過定點坐標(biāo)為___________;記M是CD的中點,則的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)點,,,因為,是圓的切線,所以,,所以在以為直徑的圓上,其圓的方程為:,又在圓上,將兩個圓的方程作差得直線的方程為:,即,所以直線恒過定點,又因為,,,,四點共線,所以,即在以為直徑的圓上,其圓心為,半徑為,如圖所示:所以,所以的最小值為.故〖答案〗為:.四?解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求角A;(2)若,的面積為,求邊BC的中線AD的長.解:(1)因為,所以,可得,又由兩角和差公式可得,,,所以,.(2)因為,所以,因為余弦定理得,又已知,可得,即得.因為BC的中線AD,可得,.18.已知等差數(shù)列滿足,.數(shù)列的前n項和滿足.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)對于集合A,B,定義集合且.設(shè)數(shù)列和中的所有項分別構(gòu)成集合A,B,將集合的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列,求數(shù)列的前50項和.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則等差數(shù)列通項公式為,所以,所以,所以,所以,又因為,所以當(dāng)時,,兩式相減可得,即,令,則,解得,所以數(shù)列是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以.(2)由(1)可知,所以數(shù)列的前項為數(shù)列的前52項去除所以數(shù)列的前50項和.19.某制藥廠研制了一種新藥,為了解這種新藥治療某種病毒感染的效果,對一批病人進(jìn)行試驗,在一個治療周期之后,從使用新藥和未使用新藥的病人中各隨機(jī)抽取100人,把他們的治愈記錄進(jìn)行比較,結(jié)果如下表所示:治愈未治愈合計使用新藥60未使用新藥50合計(1)請完成列聯(lián)表,是否有90%的把握認(rèn)為該種新藥對該病毒感染有治愈效果?(2)把表中使用新藥治愈該病毒感染的頻率視作概率,從這一批使用新藥的病人中隨機(jī)抽取3人,其中被治愈的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.(3)該藥廠宣稱使用這種新藥對治愈該病毒感染的有效率為90%,隨機(jī)選擇了10個病人,經(jīng)過使用該藥治療后,治愈的人數(shù)不超過6人,你是否懷疑該藥廠的宣傳?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):,,,,,,)附:,0.100.0100.001k2.7066.63510.828解:(1)由題,可完成列聯(lián)表如下,治愈未治愈合計使用新藥6040100未使用新藥5050100合計11090200所以,所以沒有90%的把握認(rèn)為該種新藥對該病毒感染有治愈效果.(2)使用新藥物治愈該病毒感染概率為,服從二項分布,即,且可能的取值為0,1,2,3,分布列如下,0123則數(shù)學(xué)期望.(3)根據(jù)題意,使用這種新藥對治愈該病毒感染的有效率為90%,即,設(shè)治愈人數(shù)為,則可能的取值為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,,,,因為,所以為小概率事件,但發(fā)生了,所以有理由懷疑該藥廠宣傳.20.如圖,在四棱錐中,四邊形ABCD是矩形,E為AD的中點,平面,,M為PB的中點.(1)求證:直線平面PCD;(2)若,,求直線EM與平面PCE所成角的正弦值.(1)證明:取的中點為,連接,則,且,∴四邊形是平行四邊形,,平面,平面,∴直線平面.(2)解;因為平面PAB,平面PAB,則,,以為原點,以垂直所在直線為x軸,為y軸,為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示設(shè),則,.,則.,,,,,,,,.設(shè)平面的一個法向量為,則,即不妨令,得,,所以,設(shè)直線與平面所成的角為,則,所以直線與平面所成的角的正弦值為.21.已知橢圓C:的離心率為,左?右焦點分別為,,過的直線交橢圓于M,N兩點,交y軸于P點,,,記,,的面積分別為,,.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若,,求m的取值范圍.解:(1)由題意得,左焦點,,,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(2)設(shè),令,,則,則,由得,解得,同理.由,得,則,.不妨設(shè),,,,由,.得,,.代入,有,則,解得,設(shè),則,則,則,令,解得,令,解得,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,且,則,則.22.已知函數(shù),函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)已知,,求證:;(3)已知n為正整數(shù),求證:.(1)解:,①當(dāng)時,此時,則恒成立,則的減區(qū)間為,②當(dāng)時,令,解得,則的增區(qū)間為令,解得,則的減區(qū)間為,綜上當(dāng)時,的減區(qū)間為,無增區(qū)間;當(dāng)時,的增區(qū)間為,減區(qū)間為.(2)證明:欲證需證,即需證,令,即需證,設(shè),由(1)知當(dāng)時,的減區(qū)間為所以故(3)證明:由(2)知,當(dāng)時,,令,則即所以以上各式相加得:.重慶市九龍坡區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題一?選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,,則()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗集合,,對于A:,A錯誤;對于B:,B錯誤;對于C:,C正確;對于D:,D錯誤.故選:C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè),,,,解得,.故選:B.3.下圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次體能素質(zhì)測試中的成績畫出的頻率分布直方圖,則由直方圖得到的分位數(shù)為()A.75 B.77.5 C.78 D.78.5〖答案〗D〖解析〗因為,所以第分位數(shù)位于之間,設(shè)為,則,解得,所以第分位數(shù)為.故選:D4.正多面體統(tǒng)稱為柏拉圖體,被喻為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu),其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成(各面都是全等的正多邊形,且每個頂點所接的面數(shù)都一樣,各相鄰面所成的二面角都相等),正多面體共有5種,它們分別是正四面體?正六面體(即正方體)?正八面體?正十二面體?正二十面體.連接正方體中相鄰面的中心(如圖1),得到另一個柏拉圖體,即正八面體(如圖2),設(shè)分別為的中點,則下列說法正確的是()A.與為異面直線B.經(jīng)過的平面截此正八面體所得的截面為正五邊形C.平面平面D.平面平面〖答案〗D〖解析〗如圖,將正方體補(bǔ)充完整為,連接,則在中,為的中點,所以,在中,為的中點,所以,從而,A錯誤;取的中點依次為,連接,則有,且,所以經(jīng)過的平面截此正八面體所得的截面為正六邊形,B錯誤;要證平面平面PCD,即證平面平面,連接,因為平面,所以平面,平面,所以,且所以且平面,所以平面,又因為平面,所以所以為平面與平面所成的角,設(shè)正方體的邊長為,則,從而,所以,故C錯誤;因為,平面,平面,所以平面,因為,平面,平面,所以平面,且平面,,所以平面平面,D正確,故選:D.5.已知拋物線與直線交于A,B兩點,且.若拋物線C的焦點為F,則()A. B.7 C.6 D.5〖答案〗B〖解析〗由題設(shè),,代入拋物線可得,所以,,則,則,可得(舍)或,故,由拋物線定義知:.故選:B6.《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部,相傳是漢末徐岳所著,該書記述了我國古代14種算法,分別是:積算(即籌算)?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算和計數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙?丁四人,該小組要收集九宮算?運籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法的相關(guān)資料,要求每種算法只能一人收集,每人至少收集其中一種,則不同的分配方案種數(shù)有()A.1560種 B.2160種 C.2640種 D.4140種〖答案〗A〖解析〗依題意分兩種情況討論:①將種算法分成、、、四組,再分配給人,則有種;②將種算法分成、、、四組,再分配給人,則有種;綜上一共有種不同的分配方案.故選:A7.已知三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上,.若球M的表面積為,,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.32〖答案〗B〖解析〗因為三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上,所以,又,,面,故面,又,面,故面,又面,故.球M的表面積為,設(shè)球的半徑為,則,解得,即,所以,,三棱錐的體積為,要使體積最大,即最大,又,當(dāng)且僅當(dāng)時取等,故體積的最大值為.故選:B.8.已知偶函數(shù)的定義域為,其導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時,有成立,則關(guān)于x的不等式的解集為()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗構(gòu)造函數(shù),,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,因為函數(shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)也為偶函數(shù),且函數(shù)在單調(diào)遞增,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,因為,所以,關(guān)于x的不等式可變?yōu)?,也即,所以,則解得或,故選:C.二?多選題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知函數(shù)圖象的一條對稱軸和一個對稱中心的最小距離為,則下列說法正確的是()A.函數(shù)的最小正周期為B.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關(guān)于原點對稱C.D.〖答案〗AD〖解析〗對A,設(shè)函數(shù)的最小正周期為,由函數(shù)圖象的一條對稱軸和一個對稱中心的最小距離為,可得,解得,選項A正確.對B,由A選項得,,,,將其圖象向左平移單位后的〖解析〗式為,顯然其圖象關(guān)于軸對稱,不關(guān)于原點對稱,故B錯誤;對C,,而,則不成立,故C錯誤;對D,,則要關(guān)于直線對稱,由C知,故D正確.故選:AD.10.若a,b,c都是正數(shù),且則()A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設(shè),則,,,,,,所以,,因為,所以,則等號不成立,所以,則,因為,所以,故選:BCD11.已知F是雙曲線E:(,)的右焦點,直線與雙曲線E交于A,B兩點,M為雙曲線E上異于A,B的一點,且MA,MB不與坐標(biāo)軸垂直,O為坐標(biāo)原點,P,Q分別為AF,BF的中點,且,記雙曲線E的離心率為e,直線MA與MB的斜率分別為,.則()A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意作出如下圖形:依題意得直線與雙曲線兩交點關(guān)于原點對稱,,分別為,的中點,則,,,,則有,設(shè),由直線斜率為可知,則,,則,代入雙曲線方程有,即,化簡得,化簡得,,解得,則,故B正確,A錯誤;根據(jù),則,則雙曲線方程可化為,設(shè),根據(jù)對稱性得,根據(jù)點在雙曲線上則有,①②得,即,,故C正確,D錯誤,故選:BC.12.已知數(shù)列滿足,,設(shè),記數(shù)列的前2n項和為,數(shù)列的前n項和為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對A,,,,則,故A正確;對B,由題意,,當(dāng)時,,所以,則是以1為公差,為首項的等差數(shù)列.則,則,故B錯誤,對C,,即,所以,兩式相減得,所以,故C正確;對D,,故D正確.故選:ACD.三?填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知平面向量,,若,則___________.〖答案〗〖解析〗平面向量,,,,.,.故〖答案〗為:.14.寫出一個使等式成立角的值為___________.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗因為,所以,則或,,故〖答案〗為:(〖答案〗不唯一)15.已知是定義在上的偶函數(shù)且,是奇函數(shù),則___________.〖答案〗〖解析〗由于是奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,所以關(guān)于對稱,,所以,因為是偶函數(shù),所以,所以,所以,所以,所以是周期為的周期函數(shù),又,,,,,所以,所以.故〖答案〗為:.16.已知直線l:與x軸相交于點A,過直線l上的動點P作圓的兩條切線,切點分別為C,D兩點,則直線CD恒過定點坐標(biāo)為___________;記M是CD的中點,則的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)點,,,因為,是圓的切線,所以,,所以在以為直徑的圓上,其圓的方程為:,又在圓上,將兩個圓的方程作差得直線的方程為:,即,所以直線恒過定點,又因為,,,,四點共線,所以,即在以為直徑的圓上,其圓心為,半徑為,如圖所示:所以,所以的最小值為.故〖答案〗為:.四?解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求角A;(2)若,的面積為,求邊BC的中線AD的長.解:(1)因為,所以,可得,又由兩角和差公式可得,,,所以,.(2)因為,所以,因為余弦定理得,又已知,可得,即得.因為BC的中線AD,可得,.18.已知等差數(shù)列滿足,.數(shù)列的前n項和滿足.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)對于集合A,B,定義集合且.設(shè)數(shù)列和中的所有項分別構(gòu)成集合A,B,將集合的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列,求數(shù)列的前50項和.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則等差數(shù)列通項公式為,所以,所以,所以,所以,又因為,所以當(dāng)時,,兩式相減可得,即,令,則,解得,所以數(shù)列是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以.(2)由(1)可知,所以數(shù)列的前項為數(shù)列的前52項去除所以數(shù)列的前50項和.19.某制藥廠研制了一種新藥,為了解這種新藥治療某種病毒感染的效果,對一批病人進(jìn)行試驗,在一個治療周期之后,從使用新藥和未使用新藥的病人中各隨機(jī)抽取100人,把他們的治愈記錄進(jìn)行比較,結(jié)果如下表所示:治愈未治愈合計使用新藥60未使用新藥50合計(1)請完成列聯(lián)表,是否有90%的把握認(rèn)為該種新藥對該病毒感染有治愈效果?(2)把表中使用新藥治愈該病毒感染的頻率視作概率,從這一批使用新藥的病人中隨機(jī)抽取3人,其中被治愈的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.(3)該藥廠宣稱使用這種新藥對治愈該病毒感染的有效率為90%,隨機(jī)選擇了10個病人,經(jīng)過使用該藥治療后,治愈的人數(shù)不超過6人,你是否懷疑該藥廠的宣傳?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):,,,,,,)附:,0.100.01
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