章解三角形復(fù)習(xí)提升

章末復(fù)習(xí)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

要點(diǎn)聚焦內(nèi)容索引網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建形成體系1要點(diǎn)聚焦

類型突破2要點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形1.已知三角形的任意兩個角和一邊，可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及正弦定理解此三角形.2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，這個三角形解的情況是不確定的.如已知△ABC的邊長a，b和角A，根據(jù)正弦定理求角B時，可能出現(xiàn)一解、兩解、無解的情況，這時應(yīng)借助已知條件進(jìn)行檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解、不多解.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.解在△ABC中，由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)化簡得：b2－9b＋20＝0，∴b＝4或b＝5.若b＝4，而在△ABC中，a＝4，∴△ABC為等腰三角形，且A＝B，又C＝2A，且A＋B＋C＝180°，這與已求出的c＝6相矛盾，故要舍去.經(jīng)檢驗(yàn)b＝5滿足題意.綜上，b的值為5.要點(diǎn)二利用正弦、余弦定理解決三角形面積問題求三角形的面積需知道三角形的邊及角，因此求三角形的面積與正、余弦定理的應(yīng)用密切相關(guān)，常見的三角形面積公式有以下幾種：辨析，判斷正誤所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，(1)求B；又0°<B<180°，所以B＝60°.(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍.又由(1)知A＋C＝120°，由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.要點(diǎn)三正弦、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用正、余弦定理在實(shí)際生活中，有著非常廣泛的應(yīng)用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用正、余弦定理求解.注意隱含條件和最后將結(jié)果還原為實(shí)際問題進(jìn)行檢驗(yàn).【例3】

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v

海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？解設(shè)相遇時小艇航行的距離為s海里，(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.解設(shè)小艇與輪船在B處相遇.則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，∵0<v≤30，此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.故可設(shè)計航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/時.【訓(xùn)練3】

為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量.A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖).飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離.請?jiān)O(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.解①需要測量的數(shù)據(jù)有：從A點(diǎn)觀測M，N點(diǎn)的俯角α1，β1，從B點(diǎn)觀測M，N點(diǎn)的俯角α2，β2；A，B間的距離d(如圖所示).第二步：計算AN.在△ABN中，由正弦定理得第三步：計算MN.在△AMN中，由余弦定理得法二第一步：計算BM.在△ABM中，由正弦定理得第二步：計算BN.在△ABN中，由正弦定理得第三步：計算MN.在△BMN中，由余弦定理得要點(diǎn)四利用正、余弦定理判斷三角形形狀根據(jù)已知條件(通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式)判斷三角形的形狀時，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識求解.【例4】

在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀.解

法一由正弦定理及已知得2sinB＝sinA＋sinC，∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，∴sin(C＋30°)＝1.∵0<C<120°，∴C＋30°＝90°，∴C＝60°，∴A＝60°，∴△ABC為等邊三角形.∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°，∴△ABC為等邊三角形.∴sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，∵B，C均為△ABC內(nèi)角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，即B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.要點(diǎn)五正、余弦定理與其它知識的綜合對于正、余弦定理的綜合問題，首先要熟練使用正、余弦定理，其次要根據(jù)條件，合理選用三角函數(shù)公式，達(dá)到簡化問題的目的.利用正、余弦定理解三角形問題時，常與平面向量、三角恒等變換等知識結(jié)合給出問題的條件，這些知識的加入，一般只起“點(diǎn)綴”作用.設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則a