陜西省西藏民族大學附屬中學2024屆高一數學第二學期期末經典試題含解析

陜西省西藏民族大學附屬中學2024屆高一數學第二學期期末經典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．用3種不同顏色給2個矩形隨機涂色，每個矩形涂且只涂種顏色,則2個矩形顏色不同的概率為（）A．13 B．12 C．22．在中，若，，，則（）A． B． C． D．3．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．設有直線和平面，則下列四個命題中，正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，l∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α5．已知數列和數列都是無窮數列，若區(qū)間滿足下列條件：①；②；則稱數列和數列可構成“區(qū)間套”，則下列可以構成“區(qū)間套”的數列是（）A．， B．，C．， D．，6．已知向量滿足：，，，則（）A． B． C． D．7．若向量，的夾角為60°，且||＝2，||＝3，則|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．88．甲、乙兩人在相同的條件下各打靶6次，每次打靶的情況如圖所示（虛線為甲的折線圖），則以下說法錯誤的是（）A．甲、乙兩人打靶的平均環(huán)數相等B．甲的環(huán)數的中位數比乙的大C．甲的環(huán)數的眾數比乙的大D．甲打靶的成績比乙的更穩(wěn)定9．己知向量，.若，則m的值為()A． B．4 C．- D．-410．邊長為1的正方形上有一動點，則向量的范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列是等差數列，記數列的前項和為，若，則________.12．若數列滿足，且對于任意的，都有，則___；數列前10項的和____．13．已知數列是等差數列，若，，則________．14．下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(寫出所有符合要求的圖形序號)______15．黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約為0.618，這一數值也可以近似地用表示，則_____.16．函數f(x)＝coscos的最小正周期為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數的圖象關于直線對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為.（1）求與的值；（2）若，求的值.18．已知圓的方程為，直線l的方程為，點P在直線l上，過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B.（1）若，求點P的坐標；（2）求證：經過A，P，三點的圓必經過異于的某個定點，并求該定點的坐標.19．在中，內角A，B，C的對邊分別是ɑ，b，c，已知，.(1)求角C；(2)求面積的最大值.20．如圖，是平行四邊形，平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．為了解人們對某種食材營養(yǎng)價值的認識程度，某檔健康養(yǎng)生電視節(jié)目組織名營養(yǎng)專家和名現場觀眾各組成一個評分小組，給食材的營養(yǎng)價值打分（十分制）．下面是兩個小組的打分數據：第一小組第二小組（1）求第一小組數據的中位數與平均數，用這兩個數字特征中的哪一種來描述第一小組打分的情況更合適？說明你的理由．（2）你能否判斷第一小組與第二小組哪一個更像是由營養(yǎng)專家組成的嗎？請比較數字特征并說明理由．（3）節(jié)目組收集了烹飪該食材的加熱時間：（單位：）與其營養(yǎng)成分保留百分比的有關數據：食材的加熱時間（單位：）營養(yǎng)成分保留百分比在答題卡上畫出散點圖，求關于的線性回歸方程（系數精確到），并說明回歸方程中斜率的含義．附注：參考數據：，.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由古典概型及概率計算公式得2個矩形顏色不同的概率為69【題目詳解】用3種不同顏色給2個矩形隨機涂色，每個矩形涂且只涂1種顏色，共32則2個矩形顏色不同共A3即2個矩形顏色不同的概率為69故選：C．【題目點撥】本題考查了古典概型及概率計算公式，屬于基礎題．2、D【解題分析】

由正弦定理構造方程即可求得結果.【題目詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查正弦定理解三角形的問題，屬于基礎題.3、C【解題分析】對于A、B、D均可能出現，而對于C是正確的．4、D【解題分析】

在A中，m與n相交、平行或異面；在B中，α與β相交或平行；在C中，m⊥β或m∥β或m與β相交；在D中，由直線與平面垂直的性質與判定定理可得m∥α．【題目詳解】由直線m、n，和平面α、β，知：對于A，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β或α與β相交，故B錯誤；對于中，若α⊥β，α⊥β，m?α，則m⊥β或m∥β或m與β相交，故C錯誤；對于D，若α⊥β，m⊥β，m?α，則由直線與平面垂直的性質與判定定理得m∥α，故D正確．故選D．【題目點撥】本題考查了命題真假的判斷問題，考查了空間線線、線面、面面的位置關系的判定定理及推論的應用，體現符號語言與圖形語言的相互轉化，是中檔題．5、C【解題分析】

直接利用已知條件，判斷選項是否滿足兩個條件即可．【題目詳解】由題意，對于A：，，∵，∴不成立，所以A不正確；對于B：由，，得不成立，所以B不正確；對于C：，∵，∴成立，并且也成立，所以C正確；對于D：由，，得，∴不成立，所以D不正確；故選：C．【題目點撥】本題考查新定義的理解和運用，考查數列的極限的求法，考查分析問題解決問題的能力及運算能力，屬于中檔題．6、D【解題分析】

首先根據題中條件求出與的數量積，然后求解即可.【題目詳解】由題有，即，，所以.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了向量的模，屬于基礎題.7、A【解題分析】

由已知可得||，根據數量積公式求解即可．【題目詳解】||．故選A．【題目點撥】本題考查平面向量數量積的性質及運算，考查了利用數量積進行向量模的運算求解方法，屬于基礎題．8、C【解題分析】甲：8,6,8,6,9,8，平均數為7.5，中位數為8，眾數為8；乙：4,6,8,7,10,10，平均數為7.5，中位數7.5，眾數為10；所以可知錯誤的是C。故選C。9、B【解題分析】

根據兩個向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值.【題目詳解】依題意，由于，所以，解得.故選B.【題目點撥】本小題主要考查兩個向量垂直的坐標表示，考查向量減法的坐標運算，屬于基礎題.10、A【解題分析】

分類，按在正方形的四條邊上分別求解．【題目詳解】如圖，分別以為建立平面直角坐標系，，設，，∴，當在邊或上時，，所以，當在邊上時，，，當在邊上時，，，∴的取值范圍是．故選：A.【題目點撥】本題考查平面向量的數量積，通過建立坐標系，把向量和數量積用坐標表示，使問題簡單化．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解題分析】

由等差數列的求和公式和性質可得，代入已知式子可得．【題目詳解】由等差數列的求和公式和性質可得：＝，且，∴.故答案為：1．【題目點撥】本題考查了等差數列的求和公式及性質的應用，屬于基礎題．12、,【解題分析】試題分析：由得由得，所以數列為等比數列，因此考點：等比數列通項與和項13、【解題分析】

求出公差，利用通項公式即可求解.【題目詳解】設公差為，則所以故答案為：【題目點撥】本題主要考查了等差數列基本量的計算，屬于基礎題.14、①④⑤【解題分析】為了得到本題答案，必須對5個圖形逐一進行判別．對于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設圖形對比討論．在附圖中，三個截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對角線l(即AC1)的垂面．對比圖①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．對比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過交點且與l垂直的直線都應在面CBlDl內，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．對比圖③，由MP與面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．對比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．對比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．綜合得本題的答案為①④⑤．解法2如果記正方體對角線l所在的對角截面為．各圖可討論如下：在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故l⊥面MNP．事實上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面MNP．在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．在圖③中，點M在上的射影是l的中點，點P在上的射影是上底面的內點，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面MNP．在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側面的射影(即側面正方形的一條對角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面MNP．在圖⑤中，點N在平面上的射影是對角線l的中點，點M、P在平面上的射影分別是上、下底面對角線的4分點，三個射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．至此，得①④⑤為本題答案．15、【解題分析】

代入分式利用同角三角函數的平方關系、二倍角公式及三角函數誘導公式化簡即可.【題目詳解】.故答案為：2【題目點撥】本題考查同角三角函數的平方關系、二倍角公式及三角函數誘導公式，屬于基礎題.16、2【解題分析】f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期為T＝＝2三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解題分析】

（1）根據最高頂點間的距離求出周期得，根據對稱軸求出；（2）根據題意求出，結合誘導公式及和差公式求解.【題目詳解】解：（1）因的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，∴的最小正周期，從而.又因的圖象關于直線對稱，∴.∵，∴，此時.（2）由（1）得，∴，由得，∴，∴.【題目點撥】此題考查根據三角函數圖像性質求參數的值，結合誘導公式和差公式處理三角求值的問題.18、（1）和；（2）和【解題分析】

（1）設，連接，分析易得，即有，解得的值，即可得到答案.（2）根據題意，分析可得：過A，P，三點的圓為以為直徑的圓，設的坐標為，用表示過A，P，三點的圓為，結合直線與圓的位置關系，分析可得答案.【題目詳解】（1）根據題意，點P在直線l上，設，連接，因為圓的方程為，所以圓心，半徑，因為過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B；則有，且，易得，又由，即，則，即有，解得或，即的坐標為和.（2）根據題意，是圓的切線，則，則過A，P，三點的圓為以為直徑的圓，設的坐標為，，則以為直徑的圓為，變形可得：，即，則有，解得或，則當和，時，恒成立，則經過A，P，三點的圓必經過異于的某個定點，且定點的坐標和.【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關系、圓中的定點問題，考查學生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理邊化角可求得，由的范圍可求得結果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式可求得結果.【題目詳解】（1）由正弦定理得：，即又（2）由余弦定理得：（當且僅當時取等號），即面積的最大值為【題目點撥】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理邊化角的應用、余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值、三角形面積公式的應用；求解面積的最大值的關鍵是能夠在余弦定理的基礎上，利用基本不等式來求解兩邊之積的最大值.20、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）證明平面平面，然后利用平面與平面平行的性質得出平面；（2）作于點，連接，證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，并計算出三邊邊長，并利用銳角三角函數計算出的正弦值，即可得出答案.【題目詳解】（1）證明：，平面，平面，平面.同理可證平面.，平面平面.平面，平面；（2）作于點，連接，平面，平面，.又，，平面.則為與平面所成角，在中，，，，，，，，，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的證明，同時也考查了直線與平面所成角的計算，在計算空間角時要遵循“一作、二證、三計算”的原則來求解，考查邏輯推理能力，屬于中等題.21