山西農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

山西農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．2．過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．3．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于A． B．C． D．4．已知點(diǎn)P為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圓O的切線與圓相交于兩點(diǎn)A,B，則的最大值為（）A． B．5 C． D．5．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，公比為，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．（，+∞） B．[，+∞） C．（，－1） D．[，－1）6．已知，則點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．若則所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．在中，若，則的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．若直線被圓截得弦長(zhǎng)為4，則的最小值是（）A．9 B．4 C． D．10．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_______．12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則__________．13．已知圓：，若對(duì)于圓：上任意一點(diǎn)，在圓上總存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．14．等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則______.15．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列通項(xiàng)___________16．一個(gè)扇形的半徑是，弧長(zhǎng)是，則圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當(dāng)為何值時(shí)，PB⊥AC？18．已知向量（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，，若，求的周長(zhǎng).19．已知關(guān)于的不等式．（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)、、，若成立，則稱、具有“性質(zhì)”.（1）試問(wèn)：①，0是否具有“性質(zhì)2”；②（），0是否具有“性質(zhì)4”；（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性質(zhì)2”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，，為2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，點(diǎn)（）均不在函數(shù)的圖象上，是否存在，且，使得、具有“性質(zhì)2018”，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．如圖，在三棱錐中，，分別為棱，上的三等份點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）若，平面，求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

∵，∴.∴，即，∴,，故選B.【考點(diǎn)定位】向量的坐標(biāo)運(yùn)算2、C【解題分析】

過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線滿足:，根據(jù)兩直線互相垂直，斜率的關(guān)系可以求出直線的斜率，寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程，最后化成一般方程，選出正確的選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線滿足:，所以有，而，所以直線方程為，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與直線垂直時(shí)斜率的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、C【解題分析】

利用幾何概型的計(jì)算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機(jī)事件發(fā)生的區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過(guò)相除的方法完成本題的解答．【題目詳解】解：由幾何概型的計(jì)算方法，可以得出所求事件的概率為P=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查幾何概型的辨別，考查學(xué)生通過(guò)比例的方法計(jì)算概率的問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生幾何圖形面積的計(jì)算方法，屬于基本題型．4、A【解題分析】

作交于，連接設(shè)，得，，進(jìn)而，換元，得，通過(guò)求得的范圍即可求解【題目詳解】作交于，連接設(shè)，則，∴取，∴.顯然易知令，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；此時(shí)∴故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的幾何性質(zhì)，切線的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式，考查函數(shù)最值得求解，考查換元思想，是難題5、D【解題分析】

由題意先設(shè)出三邊為則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，分公比大于與公式在小于兩類解出公比的取值范圍，此兩者的并集是函數(shù)的定義域，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的值域，選出正確選項(xiàng).【題目詳解】解：設(shè)三邊：則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，即

（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得；

（2）當(dāng)時(shí)，為最大邊，，即，解得，

綜合（1）（2）得：，

又的對(duì)稱軸是，故函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

由于時(shí)，與時(shí)，，

所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的值域的求法，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，能利用它建立不等式解出公比的取值范圍得出函數(shù)的定義域，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)也很重要，由此類題可以看出，扎實(shí)的雙基，嫻熟的基礎(chǔ)知識(shí)與公式的記憶是解題的知識(shí)保障.6、B【解題分析】∵，∴，，，∴，∴點(diǎn)在第二象限，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了由三角函數(shù)值的符號(hào)判斷角的終邊位置，屬于基礎(chǔ)題；三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.7、C【解題分析】

根據(jù)已知不等式可得，；根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)可確定角所處的象限.【題目詳解】由知：，在第三象限故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

，兩種情況對(duì)應(yīng)求解.【題目詳解】所以或故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了誘導(dǎo)公式，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.9、A【解題分析】

圓方程配方后求出圓心坐標(biāo)和半徑，知圓心在已知直線上，代入圓心坐標(biāo)得滿足的關(guān)系，用“1”的代換結(jié)合基本不等式求得的最小值．【題目詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，直線被圓截得弦長(zhǎng)為4，則圓心在直線上，∴，，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是1．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查用基本不等式求最值，解題時(shí)需根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得的關(guān)系，然后用“1”的代換法把湊配出可用基本不等式的形式，從而可求得最值．10、A【解題分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得最小值，即可求解.【題目詳解】由題意，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先由題意，得到，求出，再由等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則，所以，因此.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列的求和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于常考題型.12、【解題分析】

先利用時(shí)，求出的值，再令，由得出，兩式相減可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再將的表達(dá)式代入，可得出.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，則有，；當(dāng)時(shí)，由得出，上述兩式相減得，，得且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，那么，因此，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，同時(shí)也考查了等比數(shù)列求和，一般在涉及與的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)，常用作差法來(lái)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13、【解題分析】

由，知為圓的切線，所以兩圓外離，即圓心距大于兩半徑之和，代入方程即可?！绢}目詳解】由，知為圓的切線，即在圓上任意一點(diǎn)都可以向圓作切線，當(dāng)兩圓外離時(shí)，滿足條件，所以，，即，化簡(jiǎn)，得：，解得：或.【題目點(diǎn)撥】和圓半徑所成夾角為，即是圓的切線，兩圓外離表示圓心距大于兩半徑之和。14、【解題分析】

取，代入計(jì)算得到答案.【題目詳解】，當(dāng)時(shí)故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系，取是解題的關(guān)鍵.15、【解題分析】分析：在已知遞推式兩邊同除以，可得新數(shù)列是等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，再得．詳解：∵，∴兩邊除以得，，即，∵，∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴，∴．故答案為．點(diǎn)睛：在求數(shù)列公式中，除直接應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式外，還有一種常用方法：對(duì)遞推式化簡(jiǎn)變形，可構(gòu)造出新數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再由等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)論．這是一種轉(zhuǎn)化與化歸思想，必須掌握．16、2【解題分析】

直接根據(jù)弧長(zhǎng)公式，可得．【題目詳解】因?yàn)?，所以，解得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,由EO//PB可證PB//平面EA．（2）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【題目詳解】（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,因?yàn)镺，E分別為BD.PD的中點(diǎn),所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB為PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設(shè)AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，當(dāng)時(shí)，PB⊥AC．【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查線面平行的判定，線面垂直的判定，及探索性問(wèn)題找異面直線垂直，第三問(wèn)難度較大，需要把異面直線垂直轉(zhuǎn)化為射影垂直，即共面垂直問(wèn)題．18、(1);(2)【解題分析】

(1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式、二倍角公式及輔助角公式將化簡(jiǎn)為，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的單調(diào)減區(qū)間；(2)由(1)及可求得，由可得，再結(jié)合余弦定理即可求得，進(jìn)而可得的周長(zhǎng).【題目詳解】解：(1)所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：(2)，，又因在中，,,設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，又，且，，則，所以的周長(zhǎng)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的二倍角公式、輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查理解辨析能力及求解運(yùn)算能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）不等式的解集為說(shuō)明和1是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，運(yùn)用韋達(dá)定理，可以求出實(shí)數(shù)的值；（2）不等式的解集為，只需，或即可，解不等式組求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（1）若關(guān)于的不等式的解集為，則和1是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，求得．（2）若關(guān)于的不等式解集為，則，或，求得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了已知一元二次不等式的解集求參問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力20、（1）①具有“性質(zhì)2”，②不具有“性質(zhì)4”；（2）；（3）存在.【解題分析】

（1）①根據(jù)題意需要判斷的真假即可②根據(jù)題意判斷是否成立即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)具有性質(zhì)2可求出的范圍，由存在性問(wèn)題成立轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可求解.【題目詳解】（1）①因?yàn)?，成?所以，故，0具有“性質(zhì)2”②因?yàn)?，設(shè)，則設(shè)，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不恒成立，即不成立，故（），0不具有“性質(zhì)4”.（2）因?yàn)椋?具有“性質(zhì)2”所以化簡(jiǎn)得解得或.因?yàn)榇嬖诩?，使得成立，所以存在及使即?令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故只需滿足即可，解得.（3）假設(shè)具有“性質(zhì)2018”，則，即證明在任意2019個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)中，一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù),滿足：.證明：由，令，由萬(wàn)能公式知，將等分成2018個(gè)小區(qū)間，則這2019個(gè)數(shù)必然有兩個(gè)數(shù)落在同一個(gè)區(qū)間，令其為：，即，也就是說(shuō)，在，，，這2019個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)滿足，即一