云南省玉溪市師院附中2024屆數(shù)學高一下期末聯(lián)考試題含解析

云南省玉溪市師院附中2024屆數(shù)學高一下期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．2．在空間四邊形中，，，，分別是，的中點，，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．3．終邊在軸上的角的集合（）A． B．C． D．4．從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為A． B． C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值為2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，垂足為E，點F是PB上一點，則下列判斷中不正確的是（）﹒A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC7．已知一個平面，那么對于空間內的任意一條直線,在平面內一定存在一條直線，使得與（）A．平行B．相交C．異面D．垂直8．中國古代的“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”合稱“六藝”.某校國學社團準備于周六上午9點分別在6個教室開展這六門課程講座，每位同學只能選擇一門課程，則甲乙兩人至少有人選擇“禮”的概率是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)圖象的一條對稱軸是，則函數(shù)的最大值為（）A．5 B．3 C． D．10．兩圓和的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．內切 D．外切二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設O點在內部，且有，則的面積與的面積的比為.12．如圖，四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，則直線與直線所成角的余弦值為____________.13．若實數(shù)，滿足，則的最小值為________．14．已知方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則_____．15．已知正三棱錐的底面邊長為，側棱長為2，則該三棱錐的外接球的表面積_____．16．我國南宋時期著名的數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術”，即的，其中分別為內角的對邊.若，且則的面積的最大值為____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，其中．（1）當時，求的最小值；（2）設函數(shù)恰有兩個零點，且，求的取值范圍．18．如圖是一景區(qū)的截面圖，是可以行走的斜坡，已知百米，是沒有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假設你（看做一點）在斜坡上，身上只攜帶著量角器（可以測量以你為頂點的角）.（1）請你設計一個通過測量角可以計算出斜坡的長的方案，用字母表示所測量的角，計算出的長，并化簡；（2）設百米，百米，，，求山崖的長.（精確到米）19．已知直線l過點（1，3），且在y軸上的截距為1．

（1）求直線l的方程；

（2）若直線l與圓C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求實數(shù)a的值．20．設是正項等比數(shù)列的前項和，已知，（1）求數(shù)列的通項公式;（2）令，求數(shù)列的前項和.21．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內，已知飛機的高度為海拔，速度為，飛行員在處先看到山頂?shù)母┙菫?8°30′，經過后又在處看到山頂?shù)母┙菫?1°（1）求飛機在處與山頂?shù)木嚯x（精確到）；（2）求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到）參考數(shù)據(jù)：，

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

先計算向量夾角，再利用投影定義計算即可.【題目詳解】由向量，，則，，向量在向量方向上的投影為.故選：B【題目點撥】本題考查了向量數(shù)量積的坐標表示以及向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎題.2、D【解題分析】

平移兩條異面直線到相交，根據(jù)余弦定理求解.【題目詳解】如圖所示：設的中點為，連接，所以，則是所成的角或其補角，又根據(jù)余弦定理得：，所以，異面直線與所成角的為，故選D.【題目點撥】本題考查異面直線所成的角和余弦定理.注意異面直線所成的角的取值范圍是.3、D【解題分析】

根據(jù)軸線角的定義即可求解.【題目詳解】A項，是終邊在軸正半軸的角的集合；B項，是終邊在軸的角的集合；C項，是終邊在軸正半軸的角的集合；D項，是終邊在軸的角的集合；綜上，D正確.故選:D【題目點撥】本題主要考查了軸線角的判斷，屬于基礎題.4、D【解題分析】分析：分別求出事件“2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務”的總可能及事件“選中的2人都是女同學”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設2名男同學為，3名女同學為，從以上5名同學中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學的概率為，故選D.點睛：應用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.5、D【解題分析】

化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，根據(jù)題意，利用正弦函數(shù)的圖象與性質求得的取值范圍.【題目詳解】解：函數(shù)則函數(shù)在上是含原點的遞增區(qū)間；又因為函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增，則，得不等式組又因為，所以解得.又因為函數(shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值為2，可得，所以，綜上所述，可得.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖像和性質應用問題，也考查了三角函數(shù)的靈活應用，屬于中檔題.6、C【解題分析】

根據(jù)線面垂直的性質及判定，可判斷ABC選項，由面面垂直的判定可判斷D.【題目詳解】對于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，而底面圓面，則，又由圓的性質可知，且，則平面PAC.所以A正確；對于B，由A可知，由題意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正確；對于C，由B可知平面，因而與平面不垂直，所以不成立，所以C錯誤.對于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性質可得平面平面PBC.所以D正確；綜上可知，C為錯誤選項.故選：C.【題目點撥】本題考查了線面垂直的性質及判定，面面垂直的判定定理，屬于基礎題.7、D【解題分析】略8、D【解題分析】

甲乙兩人至少有人選擇“禮”的對立事件是甲乙兩人都不選擇“禮”，求出后者的概率即可【題目詳解】由題意，甲和乙不選擇“禮”的概率是，且相互獨立所以甲乙兩人都不選擇“禮”的概率是所以甲乙兩人至少有人選擇“禮”的概率是故選：D【題目點撥】當遇到“至多”“至少”型題目時，一般用間接法求會比較簡單，即先求出此事件的對立事件的概率，然后即可得出原事件的概率.9、B【解題分析】

函數(shù)圖象的一條對稱軸是，可得，解得．可得函數(shù)，再利用輔助角公式、倍角公式、三角函數(shù)的有界性即可得出．【題目詳解】函數(shù)圖象的一條對稱軸是，，解得．則函數(shù)當時取等號．函數(shù)的最大值為1．故選．【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的性質應用以及利用二倍角公式和輔助角公式進行三角恒等變換．10、B【解題分析】

由圓的方程可得兩圓圓心坐標和半徑；根據(jù)圓心距和半徑之間的關系，即可判斷出兩圓的位置關系.【題目詳解】由圓的方程可知，兩圓圓心分別為：和；半徑分別為：，則圓心距：兩圓位置關系為：相交本題正確選項：【題目點撥】本題考查圓與圓位置關系的判定；關鍵是明確兩圓位置關系的判定是根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的長度關系確定.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解題分析】

分別取AC、BC的中點D、E,

,

,即,

是DE的一個三等分點,

,

故答案為:3.12、.【解題分析】

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與直線所成角的余弦值．【題目詳解】解：四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，，平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，設直線與直線所成角為，則，直線與直線所成角的余弦值為．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，屬于中檔題．13、【解題分析】

由題意可得=≥2=2，由不等式的性質變形可得．【題目詳解】∵正實數(shù)a，b滿足，∴=≥2=2，∴ab≥2當且僅當=即a=且b=2時取等號．故答案為2．【題目點撥】本題考查基本不等式求最值，涉及不等式的性質，屬基礎題．14、【解題分析】

把方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）＝0化為x2﹣2x+m＝0，或x2﹣2x+n＝0，設是第一個方程的根，代入方程即可求得m，則方程的另一個根可求；設另一個方程的根為s，t，（s≤t）根據(jù)韋達定理可知∴s+t＝2根據(jù)等差中項的性質可知四個跟成的等差數(shù)列為，s，t，，進而根據(jù)數(shù)列的第一項和第四項求得公差，則s和t可求，進而根據(jù)韋達定理求得n，最后代入|m﹣n|即可．【題目詳解】方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）＝0可化為x2﹣2x+m＝0①，或x2﹣2x+n＝0②，設是方程①的根，則將代入方程①，可解得m，∴方程①的另一個根為．設方程②的另一個根為s，t，（s≤t）則由根與系數(shù)的關系知，s+t＝2，st＝n，又方程①的兩根之和也是2，∴s+t由等差數(shù)列中的項的性質可知，此等差數(shù)列為，s，t，，公差為[]÷3，∴s，t，∴n＝st∴|m﹣n|＝||．故答案為【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質．考查了學生創(chuàng)造性思維和解決問題的能力．15、.【解題分析】

由題意推出球心O到四個頂點的距離相等，利用直角三角形BOE，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．【題目詳解】如圖，∵正三棱錐A﹣BCD中，底面邊長為，底面外接圓半徑為側棱長為2，BE=1,在三角形ABE中，根據(jù)勾股定理得到：高AE得到球心O到四個頂點的距離相等，O點在AE上，在直角三角形BOE中BO＝R，EOR，BE＝1，由BO2＝BE2+EO2，得R∴外接球的半徑為，表面積為：故答案為．【題目點撥】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.16、【解題分析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求積”公式即可求得答案．【題目詳解】因為，所以整理可得，由正弦定理得因為，所以所以當時，的面積的最大值為【題目點撥】本題用到的知識點有同角三角函數(shù)的基本關系式，兩角和的正弦公式，正弦定理等，考查學生分析問題的能力和計算整理能力．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解題分析】

（1）當時，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質，得到函數(shù)的單調性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）分段討論討論函數(shù)在相應的區(qū)間內的根的個數(shù)，函數(shù)在時，至多有一個零點，函數(shù)在時，可能僅有一個零點，可能有兩個零點，分別求出的取值范圍，可得解．【題目詳解】（1）當時，函數(shù)，當時，，由指數(shù)函數(shù)的性質，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；當時，，由二次函數(shù)的性質，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又由函數(shù)，當時，函數(shù)取得最小值為；故當時，最小值為．（2）因為函數(shù)恰有兩個零點，所以（?。┊敃r，函數(shù)有一個零點，令得，因為時，，所以時，函數(shù)有一個零點，設零點為且，此時需函數(shù)在時也恰有一個零點，令，即，得，令，設，，因為，所以，，，當時，，所以，即，所以在上單調遞增；當時，，所以，即，所以在上單調遞減；而當時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點，則需，要使函數(shù)恰有兩個零點，且，設在時的零點為，則需，而當時，，所以當時，函數(shù)恰有兩個零點，并且滿足；（ⅱ）若當時，函數(shù)沒有零點，函數(shù)在恰有兩個零點，且滿足，也符合題意，而由（?。┛傻茫巩敃r，函數(shù)沒有零點，則，要使函數(shù)在恰有兩個零點，則，但不能滿足，所以沒有的范圍滿足當時，函數(shù)沒有零點，函數(shù)在恰有兩個零點，且滿足，綜上可得：實數(shù)的取值范圍為．故得解.【題目點撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質的應用，以及函數(shù)與方程，函數(shù)的零點問題的綜合應用，屬于難度題，關鍵在于分析分段函數(shù)在相應的區(qū)間內的單調性，以及其圖像趨勢，可運用數(shù)形結合方便求解，注意在討論二次函數(shù)的根的情況時的定義域對其的影響．18、（1）米，詳見解析（2）205米【解題分析】

（1）由題意測得，，在中利用正弦定理求得的值；（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等變換求得，在中利用余弦定理求得的值．【題目詳解】解：（1）據(jù)題意，可測得，，在中，由正弦定理，有，即.解得（米）.（2）解一：在中，百米，百米，百米，由余弦定理，可得，解得，∴.又由已知，在中，，可解得，從而的.∵，在中，由余弦定理得米所以，的長度約為205米.解二：（2）在中，求得.在中，由余弦定理，得，進而得，再由可求得，.在中，由余弦定理，得.所以，的長度約為205米.【題目點撥】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應用問題，也考查了三角函數(shù)模型應用問題，是中檔題．19、（1）y=2x+1；（2）a=-2或【解題分析】

（1）求得直線的斜率，再由點斜式方程可得所求直線方程；（2）運用直線和圓相切