吉林省部分名校2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)合考試數(shù)學試題

高二數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知向量，，且，則（）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．直線與直線平行，則（）A． B． C．或4 D．44．拋物線的準線方程為（）A． B． C． D．5．已知向量，，則向量在向量上的投影向量（）A． B．C． D．6．已知P為圓上一動點，Q為圓上一動點，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．17．已知是橢圓的左焦點，第一象限內的點P在M上，直線與y軸交于點A，O為坐標原點，且，，則（）A． B． C． D．8．已知雙曲線（，）的右焦點為F，右頂點為A，過點F作x軸的垂線，垂線與雙曲線E的一個交點為P，的中點為Q，直線與直線（O為坐標原點）的交點在雙曲線E上，則雙曲線E的離心率為（）A． B．3 C． D．2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知橢圓的離心率，，分別為它的左、右焦點，A，B分別為它的左、右頂點，P是橢圓E上的一個動點，且的最大值為，則下列選項正確的是（）A．當P不與左、右端點重合時，的周長為定值B．當時，C．有且僅有4個點P，使得為直角三角形D．當直線的斜率為1時，直線的斜率為10．直線l經(jīng)過點，且兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線l的方程可能是（）A． B． C． D．11．如圖，在正方體中，P為的中點，，，則下列說法正確的是（）A．B．當時，平面C．當時，與所成角的余弦值為D．當時，垂直于平面12．已知拋物線的焦點為F，過點F作互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點A，B，C，D，P，Q分別為，的中點，O為坐標原點，則下列結論中正確的是（）A．B．C．若F恰好為的中點，則直線的斜率為D．直線過定點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為__________．14．若點到拋物線C的準線的距離為3，請寫出一個C的標準方程：__________．15．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，，則與所成角的余弦值為__________．16．已知A，B是拋物線上的兩點，A與B關于x軸對稱，，則的最小值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知圓M經(jīng)過，，三點．（1）求圓M的標準方程；（2）若直線l與直線垂直，且l與圓M相切，求l在y軸上的截距．18．（12分）已知橢圓的焦距為，短半軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l交橢圓C于M，N兩點，且的中點為，求直線l的方程．19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點．（1）若，求x，y，z的值；（2）求與平面所成角的正弦值．20．（12分）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，，E，F(xiàn)分別是，的中點．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．21．（12分）如圖，第25屆中國機器人及人工智能大賽總決賽中，主辦方設計了一個矩形坐標場地（包含地界和內部），長為12米，在邊上距離B點5米的E處放置一只機器犬，在距離B點2米的F處放置一個機器人，機器人行走的速度為v，機器犬行走的速度為，若機器犬和機器人在場地內沿著直線方向同時到達場地內某點P，則機器犬將被機器人捕獲，點P叫成功點．（1）求在這個矩形場地內成功點P的軌跡方程；（2）若N為矩形場地邊上的一點，若機器犬在線段上都能逃脫，問N點應在何處？22．（12分）已知雙曲線（，）的右頂點為A，左焦點為F，過點F且斜率為1的直線與C的一條漸近線垂直，垂足為N，且．（1）求C的方程．（2）過點的直線交C于，兩點，直線，分別交y軸于點G，H，試問在x軸上是否存在定點T，使得？若存在，求點T的坐標；若不存在，請說明理由．高二數(shù)學試卷參考答案1．A由題意得，所以．2．B雙曲線的漸近線方程為．3．D由一，解得或．當時，兩直線重合；當時，符合題意．4．B拋物線C的標準方程為，所以其準線方程為．5．A因為向量，，所以向量在向量上的投影向量．6．C由題意得圓M的圓心為，得，圓O與圓M的半徑之差為，所以圓O與圓M的位置關系為內含，所以的最小值為．7．C由題意得，．設，則，．由，得所以即．因為點P在M上，所以，得．故．8．B易知，，不妨設，則．設直線與直線的交點為B，因為B在雙曲線E上，所以B，P關于原點對稱，即．因為Q，A，B三點共線，所以．因為，，所以，所以，．9．ABD因為的最大值為，所以，．因為，所以，，所以橢圓E的方程為．因為的周長為，所以A正確．當時，，因為，所以，故B正確．因為的最大值為，所以存在4個點P，使得．又因為存在2個點P使，2個點P使，所以存在8個點P，使得為直角三角形，故C錯誤．因為，，設，則，所以，所以．因為，所以，故D正確．10．ACD當直線l的截距為0時，直線l的方程為，即．當直線l的截距不為0時，設直線l的方程為，則解得或若則直線l的方程為，即；若則直線l的方程為，即．11．ABC建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則，所以，，所以，所以，A正確．當時，，所以，從而平面，B正確．當時，，，所以與所成角的余弦值為，C正確．當時，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，D錯誤．12．ABD設直線的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，，所以，同理可得，所以，故A正確．因為P，Q分別為，的中點，所以，，所以，當且僅當時，等號成立，故B正確．因為F為的中點，所以．因為，所以．因為，所以，所以，故C錯誤．當直線的斜率存在時，，所以直線的方程為，整理得，所以直線過定點；當直線的斜率不存在時，，直線的方程為，過點，所以直線過定點．故D正確．13．6直線與y軸交于點，與x軸交于點，所以圍成的三角形的面積為．14．（本題答案不唯一，，，，任選一個即可）由題意得拋物線C的準線可能為直線，，，，所以C的標準方程可能為，，，．15．如圖，以為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，．因為，，所以．16．設，則，，所以．因為，所以當時，取得最小值，且最小值為．17．解：（1）由題意得，．因為，所以，則是圓M的直徑．易得的中點的坐標為，．故圓M的標準方程為．（2）由題意得，所以l的斜率為．設，即．由點M到l的距離為，得或，所以l在y軸上的截距為或．18．解：（1）因為，，所以，故橢圓C的方程為．（2）易知直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，，，則兩式相減得，整理得．因為的中點為，所以，所以直線l的方程為，即．19．解：（1）（方法一）因為，所以，，．（方法二）連接，，則是的中位線．因為，所以，，．注：也可以通過建系來求解．（2）以為原點，以，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，所以，，．設平面的法向量為，則取，可得，，所以．設與平面所成的角為，則．20．（1）證明：取的中點G，連接，．因為，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點，所以，．因為，，所以平面平面．因為平面，所以平面．（2）解：為妨設．因為，，所以．因為，，所以，即．因為，，所以平面．連接，因為為等邊三角形，所以，所以平面．以C為坐標原點，，的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，．設平面的法向量為，因為，，所以令，則．設平面的法向量為，因為，，所以令，則．因為，所以平面與平面夾角的余弦值為．21．解：（1）如圖，分別以，所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標系，則，，設成功點，可得，即，化簡得．因為點P需在矩形場地內，所以，故所求軌跡方程為．（2）當線段與（1）中的圓相切時，，所以，所以．若機器犬在線段上都能逃脫，則N點橫坐標的取值范圍是．22．