28.2.1 解直角三角形 同步練習 2022-2023學年上學期河南省九年級數(shù)學期末試題選編(含答案)

28.2.1解直角三角形同步練習一、單選題1．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的外接圓，是的直徑，若的半徑為，，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期末）已知正六邊形的邊心距為，則它的外接圓半徑為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，動點P從正六邊形的A點出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運動到點C，圖2是點P運動時，△ACP的面積y（cm2）隨著時間x（s）的變化的關系圖象，則正六邊形的邊長為（

）A．2cm B．cm C．1cm D．3cm4．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，以O為圓心的圓與直線交于A、B兩點．若恰為等邊三角形，則劣弧的長度為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在陽光下直立于地面上的電線桿AB，落在水平面和坡面上的影子分別是BC、CD，測得米，米，斜坡CD的坡度為，在D處測電線桿頂端A的仰角為30°，則電線桿AB的高度為（

）A． B． C． D．6．（2022秋·河南鶴壁·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的四個頂點分別在直線，，，上，若直線且間距相等，，，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題7．（2022秋·河南焦作·九年級統(tǒng)考期末）如圖在矩形中，若，，則矩形的面積（結(jié)果保留根號）．8．（2022秋·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）圓內(nèi)接正六邊形的邊心距為，則這個正六邊形的邊長為．9．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點是的中點．以為直徑的交于點，連接．若是的切線，，，則陰影部分的面積是．10．（2022秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B（0，），D為線段AB上一動點（D點不與A、B重合），沿OD折疊，點A恰好落在△ABO的邊上，則D點坐標是．11．（2022秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，以點A為圓心，AB長為半徑畫圓弧，交AC于點E，過點E作交AD于點F，則陰影部分的面積為．12．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，點E為AB的中點，點F為射線AD上一動點．與關于EF所在直線對稱，連接AC，分別交、EF于點M、N，．若與相似，則AF的長為．13．（2022秋·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標系xOy中，，，連接AB并延長到點C，連接CO，若，則點C的坐標為．14．（2022秋·河南開封·九年級統(tǒng)考期末）如圖在菱形中，，則．15．（2022秋·河南濮陽·九年級統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點E在邊BC上，連接DE，將CDE沿DE折疊，若點C的對稱點C'到AD的距離為1，則CE的長為．16．（2022秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個半徑，圓心角的扇形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到扇形，若，則半徑的中點運動的路徑長為cm．17．（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，．過點D作，垂足為E，則．18．（2022秋·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點O是半圓圓心，是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且，過點D作于點C，則陰影部分的面積是．19．（2022秋·河南濮陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△中，，,.則邊的長為.三、解答題20．（2022秋·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期末）在中，，、、分別是、、(1)已知，，求；(2)已知，，求．21．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）綜合與探究問題背景：(1)①如圖1，在正方形中，E，N分別是，上的兩點，連接，．若，則的值為____________．②如圖2，在矩形中，E是上的一點，N是上一點，連接．若，且，則的值為____________．問題探究：(2)如圖3，在矩形中，E為邊上的動點，F(xiàn)為邊上的動點，M為邊上的動點，連接，過點M作于點O，交邊于點N．若，求的值．問題拓展：(3)如圖4，把（2）中的條件改為“在四邊形中，，點F與點C重合，點M與點B重合，”，請直接寫出的值．22．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的垂直平分線與，的交點分別為，．若，，求的長和的值．23．（2022秋·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）某校數(shù)學社團利用自制測角儀和皮尺測量河寬（把河兩岸看成平行線）．如圖，他們在河岸MN一側(cè)的A處，觀察到對岸P點處有一棵樹，測得，向前走45m到達B處，測得．（，，，）(1)求河的寬度（精確到1m）；(2)據(jù)河道建造碑文記載，該河實際寬70m．請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．24．（2022秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．(1)如圖1，當α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關系為______，AD與BE的位置關系為______；(2)當0°＜α≤360°時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；(3)△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．25．（2022秋·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點，連接，過點B作的垂線，交延長線于點E．已知．(1)求線段的長；(2)求的值．26．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，點D是線段AB上一動點，連接BE．填空：①的值為______；②的度數(shù)為______．(2)類比探究如圖2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，點D是線段AB上一動點，連接BE．請判斷的值及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸如圖3，在（2）的條件下，取線段DE的中點M，連接BM、CM，若，則當△CBM是直角三角形時，求線段BE的長．27．（2022秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt中，，以AB為直徑作，點D為上一點，且，連接DO并延長交CB的延長線于點E．(1)求證：CD是的切線：(2)若，，求AC的長．28．（2022秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，，延長到點，使得，連接．（1）求證：；（2）若，，，求的值．29．（2022秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF拼合在一個平面上，邊AC與EF重合．AC＝6，當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動．(1)如圖2，點E在邊AC上，點F在射線CG上，連接CD，求證：CD平分∠ACG；(2)若AE＝0時，CD＝__________；AE＝3時，CD＝__________；(3)當點E從點A滑動到點C時，則點D運動的路徑長是__________．30．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，小明同學在民族廣場處放風箏，風箏位于處，風箏線長為100m，從處看風箏的仰角為30°，小明的父母從處看風箏的仰角為50°．求、相距多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果精確到0.1m）參考答案：1．A【分析】連接CD，根據(jù)題意得知△ACD為直角三角形，直到三邊的長，∠D余弦值=鄰邊÷斜邊，在⊙O內(nèi)，∠B=∠D，所以余弦值也相等．【詳解】解：連接CD，在△ACD中，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，又∵AC=3，AD=5，∴CD=4，∴cosD=，又∵∠D=∠B，∴cosD=cosB=，故選：A．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．2．B【分析】連接OA，OB，過O作OC⊥AB于C，根據(jù)正六邊形的邊心距的概念可知OC=，∠AOC=，根據(jù)三角函數(shù)可求．【詳解】解：連接OA，OB，過O作OC⊥AB于C，如圖，則OC=，∠AOC=，，故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形的計算問題，解題的關鍵是轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊角計算問題．3．A【分析】如圖，連接BE，AE，CE，BE交AC于點G，證明△ACE為等邊三角形，根據(jù)y的最大值求得△ACE的邊長，再在直角三角形ABG中用三角函數(shù)求得AB的長即可．【詳解】】解：如圖，連接BE，AE，CE，BE交AC于點G由正六邊形的對稱性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE∴△ACE為等邊三角形，GE為AC邊上的高線∵動點P從正六邊形的A點出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運動∴當點P運動到點E時△ACP的面積y取最大值3設AG=CG=a（cm），則AC=AE=CE=2a（cm），GE=a（cm）∴2a×a÷2=3（cm）∴a2=3∴a=（cm）或a=-（舍）∵正六邊形的每個內(nèi)角均為120°∴∠ABG=×120°=60°∴在Rt△ABG中，=sin60°∴∴AB=2（cm）∴正六邊形的邊長為2cm故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，以圖中y值的最大值為突破口，求得等邊三角形△ACE的邊長，是解題的關鍵．4．A【分析】作OP⊥CD于點P，設直線與x軸交于點C，與y軸交于點D，根據(jù)勾股定理求出，利用面積法求出，進而求出，根據(jù)弧長公式即可求解．【詳解】解：如圖，作OP⊥CD于點P，設直線與x軸交于點C，與y軸交于點D，當y=0時，，，當x=0時，，∴點C、D的坐標分別為，∴，∵，∴，∵為等邊三角形，∴，∴劣孤的長度為．故選：A【點睛】本題考查了一次函數(shù)、勾股定理、等腰直角三角形、弧長公式、利用三角函數(shù)解直角三角形等知識，綜合性較強，理解相關知識并根據(jù)題意添加輔助線，求出OP的長是解題關鍵．5．B【分析】通過作垂線構(gòu)造直角三角形，在中，由坡度的定義和特殊銳角三角函數(shù)值，可求出，進而求得DN，CN，在中，求出AM，進而求出AB的值即可．【詳解】解：如圖，過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC交BC的延長線于點N，∵斜坡CD的坡比為1：，即，即，∴∠DCN=30°，又∵CD=4，∴，，∴，在Rt△AMD中，∠ADM=30°，，∴，∴米．故選：D．【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)解直角三角形的應用，掌握仰角、坡度的定義是解決問題的前提，構(gòu)造直角三角形是正確解答的關鍵．6．B【分析】根據(jù)題意，可以得到BG的長，再根據(jù)∠ABG=90°，AB=3，可以得到∠BAG的正切值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠BAG=∠α，從而可以得到tanα的值．【詳解】解：作CF⊥l4于點F，交l3于點E，設CB交l3于點G，由已知可得，GE∥BF，CE=EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC=2，∴GB=1，∵l3∥l4，∴∠α=∠GAB，∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，∴∠ABG=90°，∴，∴tanα的值為，故選：B．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)，求出，則矩形的面積．【詳解】解：矩形中，，，，，，，矩形的面積，故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、解直角三角形，屬于基礎題，解題的關鍵是掌握矩形的性質(zhì)．8．4【分析】如圖，連接OA、OB，過點O作OG⊥AB于點G，根據(jù)正六邊形的特點可得∠AOG＝30°，解直角三角形求出AG即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接OA、OB，過點O作OG⊥AB于點G．由正六邊形的性質(zhì)可得：∠AOB＝360°×＝60°，OA＝OB，∴在Rt△AOG中，∠AOG＝30°，OG＝，∴tan∠AOG＝，∴AG＝2，∴AB＝2AG＝4，故答案為：4．【點睛】此題主要考查正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟知正六邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．9．【分析】連接OE，由圖形可知：S陰影=S四邊形OBED-S扇形OBD，通過圓的性質(zhì)可以分別求出四邊形OBED和扇形OBD的面積，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OE，∵O是AB的中點，∴OB=AB=2，在Rt△ABC中，BC=AB?tanA=，∵E是BC的中點，∴BE=BC=，S△OBE=×OB?BE=，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE=∠OBE=90°，∵OB=OD，OE=OE，∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），∴S△ODE=S△OBE=，∴S四邊形OBED=，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴S扇形OBD=，∴S陰影=S四邊形OBED-S扇形OBD=．【點睛】本題主要考查了圓的綜合性質(zhì)，切線的性質(zhì)，扇形的面積等知識，熟練掌握圓的綜合性質(zhì)，將不規(guī)則的陰影面積用規(guī)則面積表達出來是解決本題的關鍵．10．（，）或（，-）【分析】由點A和點B的坐標可得∠OAB=60°，∠OBA=30°；設點A關于OD的對稱點為A′；根據(jù)題意，需要分兩種情況：①當A′落在邊AB上時，②當A′落在邊OB上時．畫出圖形，根據(jù)背景圖形即可求解．【詳解】解：∵A（3，0），B（0，-3），∴OA=3，OB=3，∴AB=6，∵∠OAB=90°，AB=2OA，∴∠ABO=30°，∠OAB=60°，設點A關于OD的對稱點為A′．根據(jù)題意，需要分兩種情況：①當A′落在邊AB上時，如圖，由折疊可知，∠OAA′=∠OA′A=60°，∠ODA=∠ODA′=90°，∴△OAA′是等邊三角形，∴AA′=3，∴AD=AA′=，過點D作DE⊥x軸于點E，∴∠AED=90°，∠ADE=30°，∴AE=AD=，DE=AD=，∴OE=OA-AE=，∵點D在第四象限，∴D（，-）；②當A′落在邊OB上時，此時點A′在y軸上，如圖，由折疊可知，∠AOD=∠A′OD=45°，過點D作DE⊥x軸于點E，∴∠DEO=∠AED=90°，∠EOD=∠EDO=45°，∠ADE=30°，設AE=m，則OE=DE=m，∴m+m=3，解得m=，∴m=，∵點D在第四象限，∴D（，），故答案為：（，）或（，-）．【點睛】本題在一次函數(shù)背景下考查折疊問題，涉及含30°的直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，包括分類討論思想等，關鍵是根據(jù)題意作出圖形，解三角形．11．【分析】根據(jù)題意陰影部分面積可以用扇形DAE面積，減去△AFE的面積即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，AB=AE，∴，且AC平分∠DAB，∴，又∵，∴，∴，∴△AFE等腰三角形，在△AFE中，過點F作FG⊥AE于點G，如圖，則有AE=2AG，∴，又∵，即，∴，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)解直角三角形、扇形面積的計算、陰影面積求法等相關知識點，根據(jù)題意找到等量關系，分步求解是解題的關鍵點．12．1或3/3或1【分析】分兩種情形①當EM⊥AC時，△EMN∽△EAF．②當EN⊥AC時，△ENM∽△EAF，分別求解即可．【詳解】解：，點E為AB的中點，①當EM⊥AC時，與關于EF所在直線對稱，△EMN∽△EAF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=2，∠B=90°，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠AEM=60°，∴∠AEF=30°，∴AF=AE?tan30°=，②當EN⊥AC時，△ENM∽△EAF，同理可得：AF=AE?tan60°=3，故答案為1或3．【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．13．【分析】先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，從而可設點的坐標為，過點作軸于點，從而可得，再根據(jù)正切的定義可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后在中，利用正切三角函數(shù)建立方程，解方程求出的值，由此即可得出答案．【詳解】解：設直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，設點的坐標為，如圖，過點作軸于點，則，，，，，，，，，，在中，，解得，經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，則，所以點的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)、正切等知識點，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和待定系數(shù)法是解題關鍵．14．2【分析】根據(jù)余弦值可求出AD的長，從而可利用勾股定理可求出DE的長．再根據(jù)菱形四邊相等即得出AB的長，從而可求出BE的長，最后根據(jù)正切的定義計算即可．【詳解】解：∵，∴，即，解得：，∴在中，．∵四邊形是菱形，∴，∴，∴．故答案為：2．【點睛】本題考查解直角三角形，勾股定理和菱形的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關鍵．15．或2【分析】當點C'落在矩形ABCD的內(nèi)部，過點C'作C'M⊥AD于點M，當點C'落在矩形ABCD的外部，過點C'作C'G⊥AD于點G，則C'G＝1，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：如圖1，當點C'落在矩形ABCD的內(nèi)部，過點C'作C'M⊥AD于點M，∵將△CDE沿DE折疊，∴AB＝DC＝C'D＝2，∠CDE＝∠C'DE，∵C'M＝1，∴，∴∠C'DM＝30°，∴∠C'DC＝60°，∴∠CDE＝∠C'DC＝30°，∴；如圖2，當點C'落在矩形ABCD的外部，過點C'作C'G⊥AD于點G，C'E與AD交于點H,則C'G＝1，同理CD＝C'D＝2，∴∠C'DG＝30°，∴∠C'HD＝60°，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠C'HD＝∠HEC＝60°，∴∠DEC＝∠HEC＝30°，∴CE＝2．綜上可得，CE的長為或2．故答案為：或2．．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．16．【分析】證明是等邊三角形，求出，，利用弧長公式求解即可．【詳解】解：連接，．，，是等邊三角形，，，，，，，，，半徑的中點運動的路徑長為．故答案為：．【點睛】本題考查了動點運動軌跡，弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．17．【分析】首先根據(jù)題目中的，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出．【詳解】∵，∴△ADE為直角三角形，又∵，∴,解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,過點B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中，,故填：．【點睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關鍵在于熟練掌握解直角三角形的計算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計算和等面積法求一邊上的高．18．【分析】求出半圓半徑、OC、CD長，根據(jù)AD∥BO，得到，根據(jù)即可求解．【詳解】解：連接OA，∵，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=8，∠AOB=60°∵AD∥BO，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOE=60°，∴在Rt△OCD中，，∵AD∥BO，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的求法，解題的關鍵是根據(jù)根據(jù)AD∥BO，得到，從而將陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積與三角形面積的差．19．【分析】過A作AD⊥BC于D點，根據(jù)，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解題【詳解】過A作AD⊥BC于D點，∵，AC=2∴CD=在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=又∵∠B=30°∴AB=2AD=.【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理求線段長度，30°所對的直角邊是斜邊的一半，靈活聯(lián)合運用即可解題.20．(1)；(2)．【分析】（1）利用直角三角形的邊角關系，進行計算即可解答；（2）利用直角三角形的邊角關系，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：在中，，，∴，∴；（2）解：在中，，，∴，即，∴，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．21．(1)①1．②．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果；②根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）過點A作交于點Q，過點B作交于點K．根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形和四邊形是平行四邊形，再由相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解；（3）連接，過點B作于點H．由等邊三角形的判定和性質(zhì)得出，再由正弦函數(shù)及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：①∵正方形，∴∴．∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，故答案為：1；②∵矩形，∴∴．∵，∴，∴，∴∴，故答案為：；（2）如圖，過點A作交于點Q，過點B作交于點K．∵四邊形是矩形，∴．∵，∴四邊形和四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（3）．如圖，連接，過點B作于點H．∵，∴是等邊三角形，∴．∵，∴．在中，．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【點睛】題目主要考查矩形和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及正弦函數(shù)的定義，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．22．，【分析】在中，根據(jù)，，求得的長，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，繼而求得，在中，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴,∴,在中，，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．23．(1)68m；(2)誤差，建議：多次測量求平均值或使用精確度更高的測量工具等．【分析】（1）過點P作于點C，設，利用，可得再表示出，利用求出x的值即可；（2）求出誤差．建議：多次測量求平均值或使用精確度更高的測量工具等．【詳解】（1）解：過點P作于點C，設，∵，∴．在中，，．∴，即．∴解得．答：河的寬度約為68m．（2）解：．多次測量求平均值或使用精確度更高的測量工具等．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握解直角三角形的方法．24．(1)AD＝BE，AD⊥BE(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析(3)P點運動軌跡的長度是π；P點到直線BC距離的最大值是【分析】（1）分別求出AD、BE的長即可解答；（2）先證明△BCE∽△ACD，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長公式可求P點運動軌跡的長度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點到直線BC距離的最大值即可．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE∵點D，E分別為AC，BC的中點∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．（2）解：結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴，∵△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°，

∴點P在以AB為直徑的圓上，如圖3，取AB的中點G，作⊙G，以點C為圓心，CE為半徑作⊙C，當BE是⊙C切線時，點P到BC的距離最大，過點P作PH⊥BC，交BC的延長線于H，連接GP，∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵＝，∴∠EBC＝30°，

∴∠GBP＝30°，

∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，

∴∠BGP＝120°，∵點P的運動軌跡為點C→點P→點C→點B→點C，∴P點運動軌跡的長度＝×2＝π，∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．

∴P點到直線BC距離的最大值．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識點，靈活應用相關知識是解答本題的關鍵．25．(1)25(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)求出AB的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長即可；（2）先運用勾股定理求出BC，再由于D為AB上的中點可得AD=BD=CD=25，設DE=x、EB=y，利用勾股定理列方程組即可求出x的值，最后運用正弦的定義即可解答．【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=30，∴cosA=，解得：AB=50.∵△ACB為直角三角形，D是邊AB的中點，∴CD==25．（2）解：在Rt△ABC中，.又∵AD=BD=CD=25，設DE=x，EB=y，則在Rt△BDE中，①，在Rt△BCE中，②，聯(lián)立①②，解得x=7∴．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點，根據(jù)勾股定理列方程求解是解答本題的關鍵26．(1)①1；②90°；(2)，∠DBE=90°；(3)BE=3+【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得∠ABC=∠CED=45°，則有CA=CB，CD=CE，通過證明△ACD≌△BCE即可解答①和②；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得∠ABC=∠CED=30°，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定證明△ACD∽△BCE即可解答所求；（3）由（2）知∠DBE=∠DCE=90°，BE=AD，由直角三角形的性質(zhì)可證CM=BM=，則有DE=2，利用勾股定理求解BE即可．【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，∴∠ABC=∠CED=45°，∠ACD=∠BCE，∴CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAB=∠CBE=45°，∴=1，∠DBE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，故答案為：①1；②90°；（2）解：，∠DBE=90°．理由為：∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，∴∠ABC=∠CED=30°，∠BCE=∠ACD，∴BC=AC，CE=CD，∴，又∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴，∠CBE=∠CAB=60°，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°；（3）解：由（2）知：∠DBE=∠DCE=90°，BE=AD，∵AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，BC=AC=2，∵點M為DE的中點，∠DBE=∠DCE=90°，∴CM=BM=DE，∴△CBM是等腰直角三角形，∴BC=BM=2，解得：BM=，∴DE=2BM=2，在Rt△DBE中，DB=4-AD，BE=AD，由勾股定理得：（2）2=（4-AD）2+（）2，解得：AD=+1或AD=－+1(舍去)，∴BE=AD=3+．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關鍵．27．(1)證明見解析(2)【分析】（1）欲證明CD是切線，只要證明OD⊥CD，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）設⊙O的半徑為r．在Rt△OBE中，根據(jù)OE2=EB2+OB2，可得（4-r）2=r2+22，推出r=1.5．由，推出，可得CD=BC=3，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）證明：連接OC．∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切線；（2）設⊙O的半徑為r．在Rt△OBE中，∵OE2