時利用一元二次方程解決面積問題

第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程第2課時利用一元二次方程解決面積問題1.能夠建立一元二次方程模型解決有關(guān)面積的問題.（重點、難點）2.能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性.（難點）學(xué)習(xí)目標問題1：解一元二次方程我們學(xué)過哪幾種方法？直接開平方法

,配方法,公式法.問題2：如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m、寬20m的長方形土地上修建三條等寬的通道，使其中兩條與AB平行，另外兩條與AD平行，其余部分種花草，要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道寬應(yīng)該設(shè)計為多少？設(shè)通道寬為xm，則由題意列的方程為_____________________.CBDA(30-2x)(20-x)=6×78新課引入問題：在一塊長16m,寬12m的矩形荒地上,要建造一個花園,并使花園所占面積為荒地面積的一半.16m12m想一想，你會怎么設(shè)計這片荒地？看一看：下面幾位同學(xué)的設(shè)計方法是否合理？新課講解利用一元二次方程解決面積問題1解：設(shè)小路的寬為xm,根據(jù)題意，得即x2-14x+24=0.

解得x1=2,x2=12.

將x=12

代入方程中不符合題意舍去.答：小路的寬為2m.小明設(shè)計：如圖所示，其中花園四周小路的寬都相等.通過解方程,

得到小路的寬為2m或12m.16m12m問題：你覺得他的結(jié)果對嗎？你能將小明的解答過程重現(xiàn)嗎？xx新課講解解：設(shè)扇形半徑為xm.根據(jù)題意，得即πx2=96.

解方程得x1=,

x2=(舍去),答：扇形半徑約為5.5m.小亮設(shè)計：如圖所示，其中花園每個角上的扇形都相同.問題：你能幫小亮計算一下這個扇形的半徑是多少嗎？16m12m新課講解

小穎設(shè)計：如圖所示，其中花園是兩條互相垂直的小路,且它的寬都相等.問題：你能幫小穎計算一下圖中x嗎？16m12mxmxm解：設(shè)小路的寬為xm.根據(jù)題意，得即x2-28x+96=0.

解得x1=4,x2=24,

將x=24

代入方程中不符合題意，舍去.答：小路的寬為4m.新課講解

要設(shè)計一本書的封面,封面長27cm,寬21cm正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度？（精確到0.1cm）27cm21cm新課講解例1

分析:這本書的長寬之比

：

正中央的矩形長寬之比

：

，上下邊襯與左右邊襯之比

：

.979727cm21cm解：設(shè)中央長方形的長和寬分別為9a和7a由此得到上下邊襯寬度之比為97新課講解27cm21cm

解:設(shè)上、下邊襯的9xcm，左、右邊襯寬為7xcm.依題意，得解方程得故上、下邊襯的寬度為故左、右邊襯的寬度為方程的哪個根符合實際意義?為什么?答：上、下邊襯的寬度為1.8cm,左、右邊襯的寬度為1.4cm.試一試

如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題？新課講解

解:設(shè)正中央的矩形兩邊別為9xcm，7xcm.依題意，得27cm21cm解得故上、下邊襯的寬度為故左、右邊襯的寬度為新課講解

（1）主要集中在幾何圖形的面積問題,這類問題的面積公式是等量關(guān)系.如果圖形不規(guī)則應(yīng)割或補成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,再運用規(guī)則圖形的面積公式列出方程;

（2）與直角三角形有關(guān)的問題：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是這類問題的等量關(guān)系，即用勾股定理列方程.方法歸納

如圖,在一塊長為92m,寬為60m

的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊,水渠應(yīng)挖多寬？

分析：設(shè)水渠寬為xm，將所有耕地的面積拼在一起，變成一個新的矩形，長為(92–2x)m,寬(60-x)m.解：設(shè)水渠的寬應(yīng)挖xm.(92-

2x)（60-

x）=6×885.解得x1=105(舍去），x2=1.注意：結(jié)果應(yīng)符合實際意義新課講解例2我們利用“圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）.方法點撥1.在一幅長90cm,寬40cm的風(fēng)景畫四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊,制成一幅掛圖.如果要求風(fēng)景畫的面積是整個掛圖面積的72%.那么金邊的寬應(yīng)是多少？解：設(shè)金邊的寬為xcm.根據(jù)題意，得(90+2x)(40+2x)×72%=90×40.

即

x2+65x-350=0.解方程,得

x1=5,

x2=-70(舍去).答:金邊的寬應(yīng)是5cm.隨堂即練2.

某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場,養(yǎng)雞場的一邊靠墻(墻長25m),另外三邊用木欄圍成,木欄長40m.養(yǎng)雞場的面積能達到180m2嗎?如果能,請給出設(shè)計方案;如果不能,請說明理由.25m180m2解:設(shè)養(yǎng)雞場的長為xm.根據(jù)題意，得

即

x2-40x+360=0.

解方程,得

x1=

x2=

(舍去).

答：雞場的為（）m滿足條件.x隨堂即練3.如圖1，在寬為20米，長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540平方米，求道路的寬.

解：設(shè)道路寬為x米，由平移得到圖2，則寬為(20-x)米，長為（32-x)米，列方程,得（20-x