小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程(四五年級)

速算與巧算〔一〕計算是數(shù)學的根底，小學生要學好數(shù)學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節(jié)省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的開展。我們在三年級已經(jīng)講過一些四那么運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準數(shù)法和乘法的補同與同補速算法。例1四年級一班第一小組有10名同學，某次數(shù)學測驗的成績〔分數(shù)〕如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求這10名同學的總分。分析與解：通常的做法是將這10個數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當?shù)臄?shù)作“基準〞，比方以“80〞作基準，這10個數(shù)與80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-〞號表示這個數(shù)比80小。于是得到總和=80×10＋〔6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。實際計算時只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為9，再加上80×10，就可口算出結果為809。例1所用的方法叫做加法的基準數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準〞的數(shù)〔如例1的80〕叫做基準數(shù)，各數(shù)與基準數(shù)的差的和叫做累計差。由例1得到：總和數(shù)=基準數(shù)×加數(shù)的個數(shù)+累計差，平均數(shù)=基準數(shù)+累計差÷加數(shù)的個數(shù)。在使用基準數(shù)法時，應選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準數(shù)，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數(shù)與加數(shù)個數(shù)的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數(shù)應盡量選取整十、整百的數(shù)。例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下〔單位：千克〕：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準數(shù)為450，那么累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50，平均每塊產(chǎn)量=450＋50÷10＝455〔千克〕。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克。求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學們熟知，如7×7＝49〔七七四十九〕。對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十數(shù)的差，通過移多補少，將所求數(shù)轉化成一個整十數(shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例3求292和822的值。解：292=29×29＝〔29＋1〕×〔29-1〕＋12＝30×28＋1＝840+1＝841。822＝82×82＝〔82－2〕×〔82＋2〕＋22＝80×84＋4＝6720+4＝6724。由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補〞1，這叫“補少〞；因為82比80多2，所以從82中“移走〞2，這叫“移多〞。因為是兩個相同數(shù)相乘，所以對其中一個數(shù)“移多補少〞后，還需要在另一個數(shù)上“找齊〞。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少〞的數(shù)的平方。由湊整補零法計算352，得35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級學的個位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法結果相同。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。例4求9932和20042的值。解：9932=993×993＝〔993＋7〕×〔993-7〕+72＝1000×986＋49＝986000＋49＝986049。20042=2004×2004＝〔2004-4〕×〔2004+4〕＋42＝2000×2023＋16＝4016000＋16＝4016016。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請看下面的算式：66×46，73×88，19×44。這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數(shù)都是兩位數(shù)，一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。例588×64＝？分析與解：由乘法分配律和結合律，得到88×64＝〔80＋8〕×〔60＋4〕＝〔80＋8〕×60＋〔80＋8〕×4＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4＝80×〔60＋6＋4〕＋8×4＝80×〔60＋10〕＋8×4＝8×〔6＋1〕×100+8×4。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數(shù)是“個位與十位相同的因數(shù)〞的十位數(shù)與“個位與十位之和為10的因數(shù)〞的十位數(shù)加1的乘積，本例為8×〔6＋1〕。例677×91＝？解：由例3的解法得到由上式看出，當兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時，應在十位上補一個0，本例為7×1＝07。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。練習11.求下面10個數(shù)的總和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長情況，量出12株麥苗的高度分別為〔單位：厘米〕：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。3.某車間有9個工人加工零件，他們加工零件的個數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他們共加工了多少個零件？4.計算：13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。5.計算以下各題：〔1〕372；〔2〕532；〔3〕912；〔4〕682：〔5〕1082；〔6〕3972。6.計算以下各題：〔1〕77×28；〔2〕66×55；〔3〕33×19；〔4〕82×44；〔5〕37×33；〔6〕46×99。答案與提示練習1.1596。2.26厘米。3.711個。4.147。5.〔1〕1369；〔2〕2809；〔3〕8281；〔4〕4624；〔5〕11664；〔6〕157609。6.〔1〕2156；〔2〕3630；〔3〕627；〔4〕3608；〔5〕1221；〔6〕4554。速算與巧算〔二〕上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補〞與“補同〞速算法。兩個數(shù)之和等于10，那么稱這兩個數(shù)互補。在整數(shù)乘法運算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補的情況。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補〞型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補、尾相同〞型。計算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補〞速算法和“補同〞速算法。例1〔1〕76×74＝？〔2〕31×39＝？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補〞類型?！?〕由乘法分配律和結合律，得到76×74＝〔7＋6〕×〔70+4〕＝〔70＋6〕×70＋〔7＋6〕×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4＝70×〔70＋6＋4〕＋6×4＝70×〔70＋10〕＋6×4＝7×〔7+1〕×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：〔2〕與〔1〕類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補〞的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積〔不夠兩位時前面補0，如1×9＝09〕，積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)〔或乘數(shù)〕的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。“同補〞速算法簡單地說就是：積的末兩位是“尾×尾〞，前面是“頭×〔頭+1〕〞。我們在三年級時學到的15×15，25×25，…，95×95的速算，實際上就是“同補〞速算法。例2〔1〕78×38＝？〔2〕43×63＝？分析與解：本例兩題都是“頭互補、尾相同〞類型?！?〕由乘法分配律和結合律，得到78×38＝〔70＋8〕×〔30＋8〕＝〔70＋8〕×30＋〔70＋8〕×8＝70×30+8×30＋70×8＋8×8＝70×30＋8×〔30＋70〕＋8×8＝7×3×100＋8×100＋8×8＝〔7×3＋8〕×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：〔2〕與〔1〕類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補、尾相同〞的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積〔不夠兩位時前面補0，如3×3＝09〕，積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)〔或乘數(shù)〕的個位數(shù)?！把a同〞速算法簡單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾×尾〞，前面是“頭×頭+尾〞。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補〞或“補同〞形式的速算法。當被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補的概念推廣一下。當兩個數(shù)的和是10，100，1000，…時，這兩個數(shù)互為補數(shù)，簡稱互補。如43與57互補，99與1互補，555與445互補。在一個乘法算式中，當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補時，這個算式就是“同補〞型，即“頭相同，尾互補〞型。例如，因為被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補，77＋23＝100，所以是“同補〞型。又如，等都是“同補〞型。當被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補同〞型，即“頭互補，尾相同〞型。例如，等都是“補同〞型。在計算多位數(shù)的“同補〞型乘法時，例1的方法仍然適用。例3〔1〕702×708=？〔2〕1708×1792＝？解：〔1〕〔2〕計算多位數(shù)的“同補〞型乘法時，將“頭×〔頭+1〕〞作為乘積的前幾位，將兩個互補數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補數(shù)如果是n位數(shù)，那么應占乘積的后2n位，缺乏的位補“0〞。在計算多位數(shù)的“補同〞型乘法時，如果“補〞與“同〞，即“頭〞與“尾〞的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用〔見例4〕；如果“補〞與“同〞的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因為沒有簡捷實用的方法，所以就不再討論了。例42865×7265＝？解：練習2計算以下各題：1.68×62；2.93×97；3.27×87；4.79×39；5.42×62；6.603×607；7.693×607；8.4085×6085。答案與提示練習1.4216。2.9021。3.2349。4.3081。5.2604。6.366021。7.420651。8.24857225。乘、除法的運算律和性質(zhì)乘法交換律：a×b＝b×a乘法結合律：a×b×c＝(a×b)×c＝a×(b×c)乘法分配律：〔a＋b〕×c＝a×c＋b×c(a－b)×c＝a×c－b×c商不變性質(zhì)：a÷b＝(a×n)÷(b÷n)(n≠0)＝(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)類似于乘法分配律：〔a＋b〕÷c＝a÷c＋b÷c(a－b)÷c＝a÷c－b÷c類似于乘法交換律：a÷b÷c＝a÷c÷b乘除法混合運算與加減混合運算道理相通：〔1〕無括號：a×b÷c＝a÷c×b＝b÷c×a〔2〕去括號：a×(b×c)＝a×b×ca×(b÷c)＝a×b÷ca÷(b×c)＝a÷b÷ca÷(b÷c)＝a÷b×c〔3〕添括號：a×b×c＝a×(b×c)a×b÷c＝a×(b÷c)a÷b÷c＝a÷(b×c)a÷b×c＝a÷(b÷c)兩個數(shù)之積除以兩個數(shù)之積，可以分別相除后再相乘。〔a×b〕÷(c×d)＝(a÷c)×(b÷d)＝(a÷d)×(b÷c)1.乘法的運算律乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換兩個數(shù)的位置，其積不變。即a×b=b×a。其中，a，b為任意數(shù)。例如，35×120=120×35=4200。乘法結合律：三個數(shù)相乘，可以先把前兩個數(shù)相乘后，再與后一個數(shù)相乘，或先把后兩個數(shù)相乘后，再與前一個數(shù)相乘，積不變。即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。注意：(1)這兩個運算律中數(shù)的個數(shù)可以推廣到更多個的情形。即多個數(shù)連乘中，可以任意交換其中各數(shù)的位置，積不變；多個數(shù)連乘中，可以任意先把幾個數(shù)結合起來相乘后，再與其它數(shù)相乘，積不變。(2)這兩個運算律常一起并用。例如，并用的結果有a×b×c=b×(a×c)等。例1計算以下各題：(1)17×4×25；(2)125×19×8；(3)125×72；(4)25×125×16。分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，運用乘法交換律和結合律，在計算中盡量先把25與4、把125與8或4結合起來相乘后，再與其它數(shù)相乘，以簡化計算。(2)125×19×8=(125×8)×19=1000×19=19000；(3)125×72=125×(8×9)=(125×8)×9=1000×9=9000；4)25×125×16或=25×125×2×8=(25×2)×(125×8)=50×1000=50000，25×125×16=25×125×4×4=(25×4)×(125×4)=100×500=50000。乘法分配律：兩個數(shù)之和(或差)與一數(shù)相乘，可用此數(shù)先分別乘和(或差)中的各數(shù)，然后再把這兩個積相加(或減)。即(a+b)×c=a×c+b×c，(a-b)×c=a×c-b×c。例2計算以下各題：(1)125×(40+8)；(2)(100-4)×25；(3)2004×25；(4)125×792。解：(1)125×(40+8)=125×40+125×8=5000+1000=6000；(2)(100-4)×25=100×25-4×25=2500-100=2400；(3)2004×25=(2000+4)×25=2000×25+4×25=50000+100=50100；(4)125×792=125×(800-8)=125×800-125×8=(125×8)×100-1000=1000×100-1000=1000×(100-1)=99000。2.除法的運算律和性質(zhì)商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)乘(或除)以同一非零數(shù)，其商不變。即a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)例3計算：(1)425÷25；(2)3640÷70。解：(1)425÷25=(425×4)÷(25×4)=1700÷100=17；(2)3640÷70=(3640÷10)÷(70÷10)=364÷7=52。(2)兩數(shù)之和(或差)除以一個數(shù)，可以用這兩個數(shù)分別除以那個數(shù)，然后再求兩個商的和(或差)。即(a±b)÷c=a÷c±b÷c。例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，(9-6)÷3=9÷3-6÷3。此性質(zhì)可以推廣到多個數(shù)之和(或差)的情形。例如(1000-688-136)÷8=1000÷8-688÷8-136÷8=125-86-17=22。(3)在連除中，可以交換除數(shù)的位置，商不變。即a÷b÷c=a÷c÷b。在這個性質(zhì)中，除數(shù)的個數(shù)可以推廣到更多個的情形。例如，168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……例4計算以下各題：解：(1)(182＋325)÷13=182÷13+325÷13=14+25=39；(2)(2046-1059-735)÷3=2046÷3-1059÷3-735÷3=682-353-245=84；(3)775÷25=(700+75)÷25=700÷25+75÷25=28+3=31；(4)2275÷13÷5=2275÷5÷13=455÷13=35。3.乘、除法混合運算的性質(zhì)(1)在乘、除混合運算中，被乘數(shù)、乘數(shù)或除數(shù)可以連同運算符號一起交換位置。例如，a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。(2)在乘、除混合運算中，去掉或添加括號的規(guī)那么去括號情形：括號前是“×〞時，去括號后，括號內(nèi)的乘、除符號不變。即a×(b×c)=a×b×c，a×(b÷c)=a×b÷c。括號前是“÷〞時，去括號后，括號內(nèi)的“×〞變?yōu)椤啊篓?，“÷〞變?yōu)椤啊哩暋＜碼÷(b×c)=a÷b÷c，a÷(b÷c)=a÷b×c。添加括號情形：加括號時，括號前是“×〞時，原符號不變；括號前是“÷〞時，原符號“×〞變?yōu)椤啊篓?，“÷〞變?yōu)椤啊哩?。即a×b×c=a×(b×c)，a×b÷c=a×(b÷c)，a÷b÷c=a÷(b×c)，a÷b×c=a÷(b÷c)。(3)兩個數(shù)之積除以兩個數(shù)之積，可以分別相除后再相乘。即(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c)。上面的三個性質(zhì)都可以推廣到多個數(shù)的情形。例5計算以下各題：(1)136×5÷8=136÷8×5=17×5=85；(2)4032÷(8×9)=4032÷8÷9=504÷9=56；(3)125×(16÷10)=125×16÷10=256×4(4)2560÷(10÷4)=2560÷10×4＝1024；(5)2460÷5÷2=2460÷(5×2)=2460÷10=246；(6)527×15÷5=527×(15÷5)=527×3=1581；(7)(54×24)÷(9×4)=(54÷9)×(24÷4)=6×6=36。練習20用簡便方法計算以下各題。1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。2.(1)125×(80+4)；(2)(100-8)×25；(3)180×125；(4)125×88。3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。4.(1)(128+1088)÷8；(2)(1040-324-528)÷4；(3)1125÷125；(4)4505÷17÷5。5、(1)384×12÷8；(2)2352÷(7×8)；(3)1200×(4÷12)；(4)1250÷(10÷8)；(5)2250÷75÷3；(6)636×35÷7；(7)(126×56)÷(7×18)答案與提示練習201.(1)1200；(2)13000；(3)7000；(4)100000。2.(1)10500；(2)2300；(3)22500；(4)11000。3.(1)55；(2)56。4.(1)152；(2)47；(3)9；(4)53。5.(1)576；(2)42；(3)400；(4)1000；(5)10；(6)3180；(7)56。乘法中的巧算上一講我們介紹了乘、除法的一些運算律和性質(zhì)，它是乘、除法中巧算的理論根據(jù)，也給出了一些巧算的方法。本講在此根底上再介紹一些乘法中的巧算方法。1.乘11，101，1001的速算法一個數(shù)乘以11，101，1001時，因為11，101，1001分別比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得a×11=a×(10＋1)=10a＋a，a×101=a×(101＋1)=100a＋a，a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。例如，38×101=38×100＋38=3838。2.乘9，99，999的速算法一個數(shù)乘以9，99，999時，因為9，99，999分別比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得a×9=a×(10-1)=10a-a，a×99=a×(100-1)=100a-a，a×999=a×(1000-1)=1000a-a。例如，18×99=18×100-18=1782。上面講的兩類速算法，實際就是乘法的湊整速算。湊整速算是當乘數(shù)接近整十、整百、整千……的數(shù)時，將乘數(shù)表示成上述整十、整百、整千……與一個較小的自然數(shù)的和或差的形式，然后利用乘法分配律進行速算的方法。例1計算：(1)356×1001＝356×(1000＋1)＝356×1000＋356＝356000＋356＝356356；(2)38×102＝38×(100＋2)＝38×100＋38×2＝3800＋76＝3876；(3)526×99＝526×(100-1)＝526×100-526＝52600-526＝52074；(4)1234×9998＝1234×(10000-2)＝1234×10000-1234×2＝12340000-2468＝12337532。3.乘5，25，125的速算法一個數(shù)乘以5，25，125時，因為5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一個數(shù)再除以同一個數(shù)，數(shù)值不變〞及乘法結合律，得到例如，76×25＝7600÷4＝1900。上面的方法也是一種“湊整〞，只不過不是用加減法“湊整〞，而是利用乘法“湊整〞。當一個乘數(shù)乘以一個較小的自然數(shù)就能得到整十、整百、整千……的數(shù)時，將乘數(shù)先乘上這個較小的自然數(shù)，再除以這個較小的自然數(shù)，然后利用乘法結合律就可到達速算的目的。例2計算：(1)186×5=186×(5×2)÷2=1860÷2=930；(2)96×125=96×(125×8)÷8=96000÷8=12000。有時題目不是上面講的“標準形式〞，比方乘數(shù)不是25而是75，此時就需要靈活運用上面的方法及乘法運算律進行速算了。例3計算：(1)84×75=(21×4)×(25×3)=(21×3)×(4×25)=63×100=6300；(2)56×625=(7×8)×(125×5)=(7×5)×(8×125)=35×1000=35000；(3)33×125=32×125+1×125=4000+125=4125；(4)39×75=(32+1)×125=(40-1)×75=40×75-1×75=3000-75=2925。4.個位是5的兩個相同的兩位數(shù)相乘的速算法個位是5的兩個相同的兩位數(shù)相乘，積的末尾兩位是25，25前面的數(shù)是這個兩位數(shù)的首位數(shù)與首位數(shù)加1之積。例如：仿此同學們自己算算下面的乘積35×35＝______55×55＝______65×65＝______85×85＝______95×95＝______這種方法也適用于個位數(shù)是5的兩個相同的多位數(shù)相乘的計算，例如，答案與提示練習211.(1)6868；(2)14874；(3)256512；(4)92554。2.(1)405；(2)45243；(3)761238；(4)3332。3.(1)2680；(2)2185；(3)9570；(4)11085。4.(1)800；(2)425；(3)3250；(4)5100；(5)3675；(6)6525。5.(1)7000；(2)9625；(3)24750；(4)160000；(5)208125；(6)777000。6.(1)87025；(2)497025。加減法簡算計算是數(shù)學的根底，而速算、巧算那么是計算的至高境界，學習一些簡算方法是必要的，不僅可以提高計算的速度和正確率，還能提高孩子的觀察、分析和推理能力。加、減法計算簡算的核心思想是“湊整法〞，即在計算中，盡可能把題目給出的數(shù)據(jù)湊成整十、整百、整千的數(shù)或轉化為整十、整百、整千參與計算，能湊成或轉化成10、100、1000時，計算最為簡便。加、減法計算中常用的運算律有：加法交換律：a+b=b+a；加法結合律：①〔a+b〕+c=a+(b+c)；

②a+〔b－c〕=a+b-c。

③a－〔b－c〕=a-b+c；減法的運算性質(zhì)：a－b－c=a-(b+c)；實際計算時，尤其是計算一些比擬復雜的計算題，常常需要綜合使用這五條運算律。加法結合律第②、③兩條運算律其實就是去括號法那么的簡單運用，可通過實物演示幫助孩子在理解運算律原理的根底上掌握運用，也可適當放低要求。另外三條運算律，孩子在課堂教學中已經(jīng)掌握，通過本講學習，要學會靈活使用、推廣使用。加法交換律的推廣應用：在同一級〔我們把加、減法運算定為第一級運算〕運算中可以“帶符號移動〞。如：模仿訓練，〔1〕37+56+63+44〔4〕516-56-44-16=37+63+〔56+44〕=516-16-56-44=100+100=516-16-〔56+44〕=200=500-100=400模仿訓練2〔2〕947+〔372-447〕〔2〕5498-1928-387-1072-1613=947+372-447=5498-1928-1072-387-1613=947-447+372=5498-〔1928+1072〕-〔387+1613〕=500+372=5498-3000-2000=872=2498-2000=498加法結合律的推廣使用：先把接近整十、整百、整千的數(shù)拆成一個數(shù)與整十、整百、整千數(shù)的和或差，再利用去括號法那么重組計算。模仿訓練，〔2〕284+198〔3〕958-596〔3〕964-598+98=284+200-2=958-〔600-4〕=964-〔598-98〕=484-2=958-600+4=964-500=482=358+4=464=362穩(wěn)固訓練〔1〕238+1759-97-998=238+1759-100+3-1000+2=238+2-100+〔1759+3-1000〕=140+762=902穩(wěn)固訓練〔1〕998+3+99+998+3+9=〔998+2〕+〔1+99〕+〔998+2〕+〔1+9〕=1000+100+1000+10=2110〔2〕19+199+1999+19999+199999=20-1+200-1+2000-1+20000-1+200000-1=20+200+2000+20000+200000-1-1-1-1-1=222220-5=222215高斯求和德國著名數(shù)學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老師出完題后，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為〔1+100〕×100÷2＝5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列〞的求和問題。假設干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：〔1〕1，2，3，4，5，…，100；〔2〕1，3，5，7，9，…，99；〔3〕8，15，22，29，36，…，71。其中〔1〕是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；〔2〕是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；〔3〕是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和=〔首項+末項〕×項數(shù)÷2。例11＋2＋3＋…＋1999＝？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，…，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式=〔1＋1999〕×1999÷2＝1999000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構成等差數(shù)列。例211＋12＋13＋…＋31＝？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，…，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21〔項〕。原式=〔11+31〕×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關系，可以得到項數(shù)=〔末項-首項〕÷公差+1，末項=首項+公差×〔項數(shù)-1〕。例33＋7＋11＋…＋99＝？分析與解：3，7，11，…，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=〔99－3〕÷4＋1＝25，原式=〔3＋99〕×25÷2＝1275。例4求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=25＋3×〔40-1〕＝142，和=〔25＋142〕×40÷2＝3340。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關的問題。例5在以下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：〔1〕最大三角形的面積是多少平方厘米？〔2〕整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：〔1〕最大三角形面積為〔1＋3＋5＋…＋15〕×12＝［〔1＋15〕×8÷2］×12＝768〔厘米2〕?！?〕火柴棍的數(shù)目為3＋6＋9+…+24＝〔3＋24〕×8÷2=108〔根〕。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×〔1＋2＋…＋10〕＝2×55＝110〔只〕。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113〔只〕。綜合列式為：〔3-1〕×〔1＋2＋…＋10〕＋3＝2×［〔1＋10〕×10÷2］＋3＝113〔只〕。練習31.計算以下各題：〔1〕2＋4＋6＋…＋200；〔2〕17＋19＋21＋…＋39；〔3〕5＋8＋11＋14＋…＋50；〔4〕3＋10＋17＋24＋…＋101。2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3.求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？答案與提示練習1.〔1〕10100；〔2〕336；〔3〕440；〔4〕780。2.1127。提示：項數(shù)=〔93-5〕÷4+1=23。3.2565。提示：末項=13+5×〔30-1〕=158。4.180次。解：〔1+2+…+12〕×2+24=180〔次〕。5.1650。解：2+5+8+…+98=1650。6.45個。提示：十位數(shù)為1，2，…，9的分別有1，2，…，9個。找規(guī)律〔一〕我們在三年級已經(jīng)見過“找規(guī)律〞這個題目，學習了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。這一講重點學習具有“周期性〞變化規(guī)律的問題。什么是周期性變化規(guī)律呢？比方，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規(guī)律。再比方，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三個數(shù)重復出現(xiàn)的，這也是周期性變化問題。下面，我們通過一些例題作進一步講解。例1節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、……這樣排下去。問：〔1〕第100盞燈是什么顏色？〔2〕前150盞彩燈中有多少盞藍燈？分析與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環(huán)出現(xiàn)。〔1〕100÷12＝8……4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈?！?〕150÷12=12……6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈4×12＝48〔盞〕，最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49〔盞〕。例2有一串數(shù)，任何相鄰的四個數(shù)之和都等于25。第1個數(shù)是3，第6個數(shù)是6，第11個數(shù)是7。問：這串數(shù)中第24個數(shù)是幾？前77個數(shù)的和是多少？分析與解：因為第1，2，3，4個數(shù)的和等于第2，3，4，5個數(shù)的和，所以第1個數(shù)與第5個數(shù)相同。進一步可推知，第1，5，9，13，…個數(shù)都相同。同理，第2，6，10，14，…個數(shù)都相同，第3，7，11，15，…個數(shù)都相同，第4，8，12，16…個數(shù)都相同。也就是說，這串數(shù)是按照每四個數(shù)為一個周期循環(huán)出現(xiàn)的。所以，第2個數(shù)等于第6個數(shù)，是6；第3個數(shù)等于第11個數(shù)，是7。前三個數(shù)依次是3，6，7，第四個數(shù)是25-〔3+6+7〕=9。這串數(shù)按照3，6，7，9的順序循環(huán)出現(xiàn)。第24個數(shù)與第4個數(shù)相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77個數(shù)是19個周期零1個數(shù)，其和為25×19+3=478。例3下面這串數(shù)的規(guī)律是：從第3個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和的個位數(shù)。問：這串數(shù)中第88個數(shù)是幾？628088640448…分析與解：這串數(shù)看起來沒有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個相鄰數(shù)字與前面的某兩個相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串數(shù)的構成規(guī)律，這兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說將出現(xiàn)周期性變化。我們試著將這串數(shù)再多寫出幾位：當寫出第21，22位〔豎線右面的兩位〕時就會發(fā)現(xiàn)，它們與第1，2位數(shù)相同，所以這串數(shù)按每20個數(shù)一個周期循環(huán)出現(xiàn)。由88÷20=4……8知，第88個數(shù)與第8個數(shù)相同，所以第88個數(shù)是4。從例3看出，周期性規(guī)律有時并不明顯，要找到它還真得動點腦筋。例4在下面的一串數(shù)中，從第五個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字。那么在這串數(shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個數(shù)是“2000〞？…分析與解：無休止地將這串數(shù)寫下去，顯然不是聰明的做法。按照例3的方法找到一周期，因為這個周期很長，所以也不是好方法。那么怎么辦呢？仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，這串數(shù)的前四個數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個數(shù)都是它前面四個數(shù)之和的個位數(shù)字〞，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串數(shù)依次寫出來，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……可以看出，這串數(shù)是按照四個奇數(shù)一個偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠不會出現(xiàn)四個偶數(shù)連在一起的情況，即不會出現(xiàn)“2000〞。例5A，B，C，D四個盒子中依次放有8，6，3，1個球。第1個小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個球放入這個盒子；第2個小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個球放入這個盒子……當100位小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？分析與解：按照題意，前六位小朋友放過后，A，B，C，D四個盒子中的球數(shù)如下表：可以看出，第6人放過后與第2人放過后四個盒子中球的情況相同，所以從第2人放過后，每經(jīng)過4人，四個盒子中球的情況重復出現(xiàn)一次?！?00-1〕÷4＝24……3，所以第100次后的情況與第4次〔3＋1＝4〕后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個球。練習71．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將1，2，3，4，…除以3的余數(shù)依次排列起來，得到一個數(shù)列。求這個數(shù)列前100個數(shù)的和。3．有一串數(shù)，前兩個數(shù)是9和7，從第三個數(shù)起，每個數(shù)是它前面兩個數(shù)乘積的個位數(shù)。這串數(shù)中第100個數(shù)是幾？前100個數(shù)之和是多少？4．有一列數(shù)，第一個數(shù)是6，以后每一個數(shù)都是它前面一個數(shù)與7的和的個位數(shù)。這列數(shù)中第88個數(shù)是幾？5．小明按1～3報數(shù)，小紅按1～4報數(shù)。兩人以同樣的速度同時開始報數(shù)，當兩人都報了100個數(shù)時，有多少次兩人報的數(shù)相同？6．A，B，C，D四個盒子中依次放有9，6，3，0個小球。第1個小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球；第2個小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個球放到其它盒子中各1個球……當100個小朋友放完后，A，B，C，D四個盒子中各放有幾個球？練習71.紅；74顆。2.100。提示：數(shù)列是1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，以1，2，0三個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。3.1；436。提示：這串數(shù)按9，7，3，1，3，3六個數(shù)循環(huán)出現(xiàn)。4.5。提示：這列數(shù)按6，3，0，7，4，1，8，5，2，9循環(huán)出現(xiàn)。5.27次。提示：每報12個數(shù)有3個數(shù)相同。6.5，6,，3，4。提示：解法同例5。答案與提示練習1.紅；74顆。2.100。提示：數(shù)列是1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，以1，2，0三個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。3.1；436。提示：這串數(shù)按9，7，3，1，3，3六個數(shù)循環(huán)出現(xiàn)。4.5。提示：這列數(shù)按6，3，0，7，4，1，8，5，2，9循環(huán)出現(xiàn)。5.27次。提示：每報12個數(shù)有3個數(shù)相同。6.5，6,，3，4。提示：解法同例5。數(shù)字謎〔一〕我們在三年級已經(jīng)學習過一些簡單的數(shù)字謎問題。這兩講除了復習穩(wěn)固學過的知識外，還要學習一些新的內(nèi)容。例1在下面算式等號左邊適宜的地方添上括號，使等式成立：5+7×8+12÷4-2＝20。分析：等式右邊是20，而等式左邊算式中的7×8所得的積比20大得多。因此必須設法使這個積縮小一定的倍數(shù)，化大為小。從整個算式來看，7×8是4的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括號，再除以4得17，5＋17-2=20。解：5+〔7×8+12〕÷4-2=20。例2把1～9這九個數(shù)字填到下面的九個□里，組成三個等式〔每個數(shù)字只能填一次〕：分析與解：如果從加法與減法兩個算式入手，那么會出現(xiàn)許多種情形。如果從乘法算式入手，那么只有下面兩種可能：2×3＝6或2×4＝8，所以應當從乘法算式入手。因為在加法算式□+□=□中，等號兩邊的數(shù)相等，所以加法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和是偶數(shù)；而減法算式□-□=可以變形為加法算式□=□+□，所以減法算式中的三個□內(nèi)的三個數(shù)的和也是偶數(shù)。于是可知，原題加減法算式中的六個數(shù)的和應該是偶數(shù)。假設乘法算式是2×4＝8，那么剩下的六個數(shù)1，3，5，6，7，9的和是奇數(shù)，不合題意；假設乘法算式是2×3＝6，那么剩下的六個數(shù)1，4，5，7，8，9可分為兩組：4＋5＝9，8-7＝1〔或8-1＝7〕；1＋7＝8，9－5＝4〔或9－4＝5〕。所以答案為例3下面的算式是由1～9九個數(shù)字組成的，其中“7〞已填好，請將其余各數(shù)填入□，使得等式成立：□□□÷□□=□-□=□-7。分析與解：因為左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被減數(shù)只能填9，由此知左端被除數(shù)的百位數(shù)只能填1，故中間減式有8-6，6-4，5-3和4-2四種可能。經(jīng)逐一驗證，8-6，6-4和4-2均無解，只有當中間減式為5-3時有如下兩組解：128÷64=5-3=9-7，或164÷82＝5-3＝9-7。例4將1～9九個數(shù)字分別填入下面四個算式的九個□中，使得四個等式都成立：□+□=6，□×□=8，□-□=6，□□÷□=8。分析與解：因為每個□中要填不同的數(shù)字，對于加式只有兩種填法：1＋5或2＋4；對于乘式也只有兩種填法：1×8或2×4。加式與乘式的數(shù)字不能相同，搭配后只有兩種可能：〔1〕加式為1＋5，乘式為2×4；〔2〕加式為2+4，乘式為1×8。對于〔1〕，還剩3，6，7，8，9五個數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時除式無法滿足；對于〔2〕，還剩3，5，6，7，9五個數(shù)字未填，減式只能是9-3，此時除式可填56÷7。答案如下：2＋4＝6，1×8＝8，9－3＝6，56÷7＝8。例2～例4都是對題目經(jīng)過初步分析后，將滿足題目條件的所有可能情況全部列舉出來，再逐一試算，決定取舍。這種方法叫做枚舉法，也叫窮舉法或列舉法，它適用于只有幾種可能情況的題目，如果可能的情況很多，那么就不宜用枚舉法。例5從1～9這九個自然數(shù)中選出八個填入下式的八個○內(nèi)，使得算式的結果盡可能大：[○÷○×〔○+○〕]-[○×○+○-○]。分析與解：為使算式的結果盡可能大，應當使前一個中括號內(nèi)的結果盡量大，后一個中括號內(nèi)的結果盡量小。為表達方便，將原式改寫為：[A÷B×〔C＋D〕]-[E×F＋G－H]。通過分析，A，C，D，H應盡可能大，且A應最大，C，D次之，H再次之；B，E，F(xiàn)，G應盡可能小，且B應最小，E，F(xiàn)次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F(xiàn)=3，G=4，其中C與D，E與F的值可互換。將它們代入算式，得到[9÷1×〔8＋7〕]－[2×3＋4－6]=131。練習91．在下面的算式里填上括號，使等式成立：〔1〕4×6+24÷6-5=15；〔2〕4×6+24÷6-5=35；〔3〕4×6+24÷6-5=48；〔4〕4×6+24÷6-5＝0。2．加上適當?shù)倪\算符號和括號，使下式成立：12345＝100。3．把0～9這十個數(shù)字填到下面的□里，組成三個等式〔每個數(shù)字只能填一次〕：□+□=□，□-□=□，□×□=□□。4．在下面的□里填上+，-，×，÷，〔〕等符號，使各個等式成立：4□4□4□4＝1，4□4□4□4＝3，4□4□4□4＝5，4□4□4□4＝9。5．將2～7這六個數(shù)字分別填入下式的□中，使得等式成立：□+□-□=□×□÷□。6．將1～9分別填入下式的九個□內(nèi)，使算式取得最大值：□□□×□□□×□□□。7．將1～8分別填入下式的八個□內(nèi)，使算式取得最小值：□□×□□×□□×□□。練習91.〔1〕4×〔6+24〕÷6-5=15；〔2〕4×〔6+24÷6〕-5=35；〔3〕4×6+24÷〔6-5〕=48；〔4〕4×［〔6+24〕÷6-5］=0。2.〔1×2+3〕×4×5=100。3.3+6=9，8-7＝1，4×5=20。〔填法不唯一〕4.〔4+4〕÷〔4+4〕=1，〔4+4+4〕÷4=3，〔4×4+4〕÷4=5，4+4+4÷4=9。5.6+7-3＝5×4÷2。6.941×852×763＝611721516。提示：按下面兩個原那么填數(shù)：①將較大的數(shù)填在高數(shù)位上；②各乘數(shù)之間的差盡量小。7.15×26×37×48＝692640。提示：與第6題的思路相反。答案與提示練習1.〔1〕4×〔6+24〕÷6-5=15；〔2〕4×〔6+24÷6〕-5=35；〔3〕4×6+24÷〔6-5〕=48；〔4〕4×［〔6+24〕÷6-5］=0。2.〔1×2+3〕×4×5=100。3.3+6=9，8-7＝1，4×5=20?！蔡罘ú晃ㄒ弧?.〔4+4〕÷〔4+4〕=1，〔4+4+4〕÷4=3，〔4×4+4〕÷4=5，4+4+4÷4=9。5.6+7-3＝5×4÷2。6.941×852×763＝611721516。提示：按下面兩個原那么填數(shù)：①將較大的數(shù)填在高數(shù)位上；②各乘數(shù)之間的差盡量小。7.15×26×37×48＝692640。提示：與第6題的思路相反。數(shù)字謎〔二〕例1把下面算式中缺少的數(shù)字補上：分析與解：一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)，差是一個兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。由此我們找出解決此題的突破口在百位數(shù)上。〔1〕填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應填9，被減數(shù)的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。〔2〕填個位。由于被減數(shù)個位數(shù)字是0，差的個位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個位數(shù)字是9?！?〕填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實際數(shù)值是18，18分解成兩個一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。所求算式如右式。由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。例2在以下各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個算式：分析與解：〔1〕這是一道四個數(shù)連加的算式，其特點是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學〞。從個位相同數(shù)相加的情況來看，和的個位數(shù)字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學〞＝2或7。如果“學〞＝2，那么要使三個“數(shù)〞所代表的數(shù)字相加的和的個位數(shù)字為8，“數(shù)〞只能代表數(shù)字6。此時，百位上的和為“學〞＋“學〞＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學〞≠2。如果“學〞＝7，那么要使三個“數(shù)〞所代表的數(shù)字相加再加上個位進位的2，和的個位數(shù)字為8，“數(shù)〞只能代表數(shù)字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我〞代表數(shù)字3。滿足條件的解如右式。〔2〕由千位看出，“努〞=4。由千、百、十、個位上都有“努〞，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力〞=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學〞=9，“習〞=1。滿足條件的算式如右下式。例2中的兩題形式類似，但題目特點并不相同，解法也不同，請同學們注意比擬。例3下面豎式中每個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。分析與解：由于個位上的“賽〞ד賽〞所得的積不再是“賽〞，而是另一個數(shù)，所以“賽〞的取值只能是2，3，4，7，8，9。下面采用逐一試驗的方法求解。〔1〕假設“賽〞＝2，那么“數(shù)〞＝4，積=444444。被乘數(shù)為444444÷2＝222222，而被乘數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽〞≠2。〔2〕假設“賽〞＝3，那么“數(shù)〞=9，仿〔1〕討論，也不行?！?〕假設“賽〞＝4，那么“數(shù)〞＝6，積=666666。666666÷4得不到整數(shù)商，不合題意。〔4〕假設“賽〞＝7，那么“數(shù)〞＝9，積=999999。被乘數(shù)為999999÷7＝142857，符合題意?！?〕假設“賽〞＝8或9，仿上討論可知，不合題意。所以，被乘數(shù)是142857。例4在□內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，…表示□內(nèi)應填入的數(shù)字〔見右上式〕。由被乘數(shù)大于500知，E=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個是5。假設C＝5，那么有6□□×5=〔600+□□〕×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。假設G=5，那么F=A=9，此時被乘數(shù)為695，無論C為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以G=0，F(xiàn)=A=4。此時已求出被乘數(shù)是645，經(jīng)試驗只有645×7滿足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數(shù)，經(jīng)試驗知D=2。右式為所求豎式。此類乘法豎式題應根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進位情況，先填比擬容易的未知數(shù)，再依次填其余未知數(shù)。有時某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。例5在□內(nèi)填入適當數(shù)字，使左下方的除法豎式成立。分析與解：把左上式改寫成右上式。根據(jù)除法豎式的特點知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除數(shù)應是99的兩位數(shù)的約數(shù)，可能取值有11，33和99，再由商的個位數(shù)是5以及5與除數(shù)的積是兩位數(shù)得到除數(shù)是11，進而知A＝C-9。至此，除數(shù)與商都已求出，其余未知數(shù)都可填出〔見右式〕。此類除法豎式應根據(jù)除法豎式的特點，如商的空位補0、余數(shù)必須小于除數(shù)，以及空格間的相互關系等求解，只要求出除數(shù)和商，問題就迎刃而解了。例6把左下方除法算式中的*號換成數(shù)字，使之成為一個完整的式子〔各*所表示的數(shù)字不一定相同〕。分析與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數(shù)字“*〞是0，即商為。因為除數(shù)與8的積是兩位數(shù)，除數(shù)與商的千位數(shù)字的積是三位數(shù)，知商的千位數(shù)是9，即商為9807。因為“除數(shù)×9〞是三位數(shù)，所以除數(shù)≥12；又因為“除數(shù)×8〞是兩位數(shù)，所以除數(shù)≤12。推知除數(shù)只能是12。被除數(shù)為9807×12＝117684。除法算式如上頁右式。練習101．在下面各豎式的□內(nèi)填入適宜的數(shù)字，使豎式成立：2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。問：“小〞代表什么數(shù)字？3．在以下各算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字相同的漢字代表相同的數(shù)字。求出以下各式：4．在以下各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。這些算式中各字母分別代表什么數(shù)字？答案與提示練習2.9。提示：“生〞=“學〞+1。提示：〔1〕由千位知A=B+1，再由個位知C=9。十位減法需向百位借1，由百位知A=8，從而B=7?！?〕由除式特點知D=0，A=9，C=1，依次推出G=2，F(xiàn)=5。練習102.9。提示：“生〞=“學〞+1。提示：〔1〕由千位知A=B+1，再由個位知C=9。十位減法需向百位借1，由百位知A=8，從而B=7?！?〕由除式特點知D=0，A=9，C=1，依次推出G=2，F(xiàn)=5。歸一問題與歸總問題在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量〞，然后以這個“單一量〞為標準，根據(jù)其它條件求出結果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量〞是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產(chǎn)量、單位時間所走的路程等。例1一種鋼軌，4根共重1900千克，現(xiàn)在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？〔損耗忽略不計〕分析：以一根鋼軌的重量為單一量?！?〕一根鋼軌重多少千克？1900÷4＝475〔千克〕?！?〕95000千克能制造多少根鋼軌？95000÷475＝200〔根〕。解：95000÷〔1900÷4〕＝200〔根〕。答：可以制造200根鋼軌。例2王家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？分析：以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量?！?〕1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？630÷5÷7＝18〔千克〕?！?〕8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？18×8×15＝2160〔千克〕。解：〔630÷5÷7〕×8×15=2160〔千克〕。答：可產(chǎn)牛奶2160千克。例3三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？分析與解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量。〔1〕1臺磨面機1時磨面粉多少千克？2400÷3÷2.5=320〔千克〕?！?〕8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？25600÷320÷8=10〔時〕。綜合列式為25600÷〔2400÷3÷2.5〕÷8=10〔時〕。例44輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸?，F(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？分析與解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量?！?〕1輛卡車1趟運沙土多少噸？336÷4÷7=12〔噸〕?！?〕5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？420÷12÷5＝7〔輛〕?！?〕需要增加多少輛卡車？7-4＝3〔輛〕。綜合列式為420÷〔336÷4÷7〕÷5-4＝3〔輛〕。與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量〞，而歸總問題是找出“總量〞，再根據(jù)其它條件求出結果。所謂“總量〞是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價等。例5一項工程，8個人工作15時可以完成，如果12個人工作，那么多少小時可以完成？分析：〔1〕工程總量相當于1個人工作多少小時？15×8＝120〔時〕?！?〕12個人完成這項工程需要多少小時？120÷12＝10〔時〕。解：15×8÷12＝10〔時〕。答：12人需10時完成。例6一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。假設要4時到達，那么每小時需要多行多少千米？分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量?！?〕從甲地到乙地的路程是多少千米？60×5=300〔千米〕?！?〕4時到達，每小時需要行多少千米？300÷4＝75〔千米〕。〔3〕每小時多行多少千米？75－60＝15〔千米〕。解：〔60×5〕÷4——60＝15〔千米〕。答：每小時需要多行15千米。例7修一條公路，原方案60人工作，80天完成。現(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的局部再用多少天可以完成？分析：〔1〕修這條公路共需要多少個勞動日〔總量〕？60×80＝4800〔勞動日〕。〔2〕60人工作20天后，還剩下多少勞動日？4800-60×20=3600〔勞動日〕?！?〕剩下的工程增加30人后還需多少天完成？3600÷〔60＋30〕=40〔天〕。解：〔60×80-60×20〕÷〔60＋30〕＝40〔天〕。答：再用40天可以完成。練習1．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？5．平整一塊土地，原方案8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場買雞蛋，原方案按每千克3.00元買35千克。結果雞蛋價格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調(diào)后是每千克多少元？7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲藏了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？答案與提示練習111.75公頃。2.8時。3.768張。4.60公頃。5.8時。6.2.80元。7.140天。年齡問題〔一〕年齡問題是一類以“年齡為內(nèi)容〞的數(shù)學應用題。年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關系隨著年齡的增長而發(fā)生變化，年齡增大，倍數(shù)變小。根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題〞、“和差問題〞、“和倍問題〞進行求解。例1兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30〔歲〕，因此母親今年是30＋5=35〔歲〕。例2今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48—20〞歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數(shù)，這樣就可以用“差倍問題〞的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是〔48—20〕÷〔5—1〕＝7〔歲〕。由20－7＝13〔歲〕，推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。例3兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？分析與解：根據(jù)題意，作示意圖如下：由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12〔歲〕，由“差倍問題〞解得，弟4年前的年齡為〔5＋3＋4〕÷〔3－1〕＝6〔歲〕。由此得到弟今年6＋4＝10〔歲〕，兄今年10＋5＝15〔歲〕。例4今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請問哥哥今年多少歲？分析與解：在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，假設把弟弟歲數(shù)看成一份，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數(shù)與今年弟弟歲數(shù)相等，所以今年弟弟歲數(shù)為2份，今年哥哥歲數(shù)為2＋1=3〔份〕〔見下頁圖〕。由“和倍問題〞解得，哥哥今年的歲數(shù)為55÷(3+2)×3=33(歲)。例5哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等〞可知兄妹二人的年齡差為“4＋5〞歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲〞，可知兄妹二人今年的年齡和為“97—2—8〞歲。由“和差問題〞解得，兄[〔97—2—8〕＋〔4＋5〕]÷2＝48〔歲〕，妹[〔97—2—8〕-〔4＋5〕]÷2=39〔歲〕。例61994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，那么父親1994年的年齡要用4段線來表示〔見下頁圖〕。父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12〔歲〕，它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36〔歲〕，他出生于1994——36＝1958〔年〕。例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？解法一：假設父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60〔歲〕。事實上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據(jù)剛剛的假設，多增加的60歲，正好相當于20年后兒子年齡的〔4—2＝〕2倍，因此，今年兒子的年齡為〔20×4－20〕÷〔4－2〕－20＝10〔歲〕，父親今年的年齡為10×4＝40〔歲〕。解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示〔見以下圖〕。20年后，父親的年齡應是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個孫子年齡之和？分析：今年三個孫子的年齡和為27＋23＋16=66〔歲〕，爺爺比三個孫子的年齡和多78—66＝12〔歲〕。每過一年，爺爺增加一歲，而三個孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3〔歲〕，比爺爺多增加3－1＝2〔歲〕。因而只需求出12里面有幾個2即可。解：[78－〔27＋23＋16〕]÷〔1＋1＋1－1〕＝6〔年〕。答：6年后爺爺?shù)哪挲g等于三個孫子年齡的和。練習121．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？3．小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？4．父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現(xiàn)在各多少歲？5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問：三人各是多少歲？6．今年老師46歲，學生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學生年齡的5倍相等？7．祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當我像你這么大時，你才3歲；當你像我這么大時，我已經(jīng)42歲了。〞你能算出劉老師有多少歲嗎？答案與提示練習1.14歲。2.9歲；28歲。3.21年。4.父親44歲，女兒11歲。5.爸爸34歲，媽媽32歲，兒子8歲。6.4年。7.祖父69歲，父親41歲，孫子13歲。提示：父親的年齡等于祖父與孫子的平均年齡，為82÷2=41〔歲〕。明年祖孫年齡之和為82＋2=84〔歲〕，明年孫子年齡為84÷〔5＋1〕=14〔歲〕。所以今年孫子13歲。8.29歲。年齡問題〔二〕日常生活中到處存在著數(shù)學，一些關于年齡的數(shù)學趣題，尤其使人迷戀。大象對長頸鹿說：“我現(xiàn)在的年齡，等于我像你那么大時你的年齡的2倍，而等你長到我這么大時，我倆的年齡之和是63歲。〞你能根據(jù)大象的話，算出大象與長頸鹿的年齡嗎？小鯨魚說：“媽媽，我到您現(xiàn)在這么大時，您就31歲啦！〞鯨魚媽媽說：“我像你那么大年齡時，你只有1歲。〞你能根據(jù)他們的對話，算出鯨魚媽媽和小鯨魚現(xiàn)在各是多少歲嗎？年齡問題生動有趣，又往往是和差、倍數(shù)等問題的綜合，因此需要靈活地解決。年齡問題就是特殊的和差倍問題，其根本特點是：(1)隨著年齡的增長，兩人的年齡差是不變的；(2)隨著年齡的增長，兩人的年齡會同時增加同樣的歲數(shù)；(3)兩人年齡之間的倍數(shù)關系隨著年齡的增長隨時發(fā)生變化?？山柚€段圖理解題意，分析題中的數(shù)量關系，結合和差倍問題的解題方法，靈活解題。抓住“年齡差不變〞是解答年齡問題的關鍵。練習1：爸爸、媽媽今年的年齡和是86歲，5年后，爸爸比媽媽大6歲。今年爸爸、媽媽兩人各多少歲？【解析】：“5年后，爸爸比媽媽大6歲〞，那么今年爸爸比媽媽也是大6歲。根據(jù)爸爸、媽媽今年的年齡和、年齡差，由和差問題的數(shù)量關系式，可以求出兩人今年的年齡：爸爸的年齡〔大數(shù)〕：〔86+6〕÷2=46〔歲〕；媽媽的年齡：86-46=40〔歲〕。習題1父親今年比兒子大30歲，3年后，父親的年齡是兒子的4倍，兒子今年幾歲？【解析】：3年后，父子的年齡差不變，即3年后，父親比兒子還是大30歲，且父親的年齡是兒子的4倍。根據(jù)差倍問題的數(shù)量關系式，可以求出3年后，兒子的年齡：30÷〔4-1〕=10〔歲〕。所以兒子今年的年齡是：10-3=7〔歲〕。習題23年前，父親與兒子的年齡和是49歲，現(xiàn)在父親的年齡是兒子的4倍，父子今年各是多少歲？【解析】：先求出父子今年的年齡和。3年前，父親與兒子的年齡和是49歲，現(xiàn)在父子的年齡和就是：49+3×2=55〔歲〕。再由和倍問題的數(shù)量關系式，可以求出父子今年的年齡：兒子的年齡：55÷〔4+1〕=11〔歲〕；父親的年齡：55-11=44〔歲〕。習題1：6年前，母親的年齡是兒子的5倍，6年后，母子的年齡和是78歲，問母親今年多少歲？【解析】：①先求出6年前母子的年齡和。母子今年的年齡和是：78-6×2=66〔歲〕；母子6年前的年齡和是：66-6×2=54〔歲〕。②再由和倍問題的數(shù)量關系式，可以求出母親6年前的年齡：6年前兒子的年齡：54÷〔5+1〕=9〔歲〕；6年前母親的年齡：54-9=45〔歲〕。③母親今年的年齡為：45+6=51〔歲〕。習題2：在一個家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73歲，家庭成員中有父親、母親、一個女兒和一個兒子。父親比母親大3歲，女兒比兒子大2歲，四年前家庭里所有的人的年齡總和是58歲?，F(xiàn)在家里的每個成員各是多少歲？【解析】：先求出兒女的年齡：這個家庭一共有4口人，經(jīng)過4年，如果每人都長4歲，年齡總和應該增加的歲數(shù)為：4×4=16〔歲〕，而實際增長的年歲為：73-58=15〔歲〕。說明其中有一個人只增長了3歲，顯然最小的兒子是3年前出生的，現(xiàn)在只有3歲。所以女兒的年齡為