第5講 有理數(shù)的混合運(yùn)算-尖子班

第5講有理數(shù)的混合運(yùn)算

、笆［常規(guī)計(jì)算

I規(guī)律型

有理數(shù)的混合運(yùn)算■［實(shí)際應(yīng)用

應(yīng)用〈流程圖

［新定義

知識點(diǎn)1常規(guī)計(jì)算

有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算111頁序:

1、先乘方，再乘除，最后加減；

2、同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

3、如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號的順序依次進(jìn)行.

【典例】

1.計(jì)算：(1)(-1)3[X[2-(-3)4;

(2)-2?+|5-81+24-(-3)xl;

(3)-ix(-2)3-(-2)2-2x|(-1)2O172,.

o4X+1

【解析】解：(1)原式=-1-ix(2-9)=-1-ix(-7)=-1+；4；

4444

(2)原式=-4+1-3|-24x|xi=-4+3-|=-y.

(3)原式=[x(-8)-4-2x|(-1)x^+l|=lxl-2xl=i

8444424

【方法總結(jié)】

根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算111頁序和運(yùn)算法則計(jì)算即可.本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌

握有理數(shù)的混合運(yùn)算的W頁序和法則是解題的關(guān)鍵.

注意：絕對值符號有括號的作用.

【隨堂練習(xí)】

1.(2017秋?羅平縣期末)計(jì)算

(1)［1|-(4-)x24］-(-5)；

38012

(2)-12018+|2-ll|x(-1)2-(-2)4-1

33

【解答】解：(1)[哈-(春-1+-L)X24R(-5)

38b12

=口2-1x24+1x24-工x24]+(-5)

38612

=口3-15+4-14]+(-5)

3

=-23工+(-5)

3

=14.

T，

(2)-12018+|2-11|X(-1)2-(-2)4-1

33

=-1+9XL+6

9

=-1+1+6

=6.

2.(2017秋?江陰市期末)計(jì)算：

(1)(+!)+(-4)-I-3I

44

(2)-22+3X(-1)2017-94-(-3)

【解答】解：(1)原式WT-3=-31

442

(2)原式=-4-3+3=-4.

3.(2017秋?濱海新區(qū)期末)計(jì)算：

(I)4XQ^)X5;

(II)2-234-|-2|x(-7+5)

【解答】解：(I)原式=20x(l-A+|)=10-6+8=12；

(II)原式=2-8+2x(-2)=2+8=10.

4.(2017秋?鄂城區(qū)期末)計(jì)算:

(1)|x(-9)-36x(1^)

(2)(1-1)x(-6)+(-l)2-(-I)3

【解答】解：(1)當(dāng)(-9)-36x(堤T■金)

39412

=-6-36x$+36xa-36XJL

9412

=-6-20+27-3

=-2；

(2)(lJ-)x(-6)+(-l)2-(-I)3

3222

=-1x(-6)+1-(-1)

648

=1-2

=-1.

知識點(diǎn)2運(yùn)算律、規(guī)律計(jì)算

有理數(shù)的混合運(yùn)算中，常用的運(yùn)算律有：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合

律、乘法對加法的分配律、加法對乘法的分配律.

【典例】

1.計(jì)算：

(1)-I4-(|-V)X24；

(2)^(7)+(《”9-a8；

(3)|4-4||++-s-^-22-(+5).

【解析】解：(1)原式=7-(|X24-"24+24)=-1-(618+4-1-2

=-3.

（2）原式=（-多x5+（《）x9+（-馬x8=-/（5+9+8）=-a22=-7；

（3）原式=|4+（-衿-：）xl2-4-5寺（］）xl2+：xl2+（-：）xl2-4-5

22362236

=i-6+8-2-4-5--8-.

22

【方法總結(jié)】

本題主要考察了有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的

正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟練掌握運(yùn)算律的使用是解本題的關(guān)鍵.

2.探索規(guī)律：觀察下面由※組成的圖案和算式，并解答問題.

1+3=4=22；

1+3+5=9=32;

1+3+5+7=16=42;

1+3+5+7+9=25=52;

(1)試猜想1+3+5+7+9+...+19=;

(2)試猜想1+3+5+7+9+...+(2n-1)+(2n+l)+(2n+3)=

(3)請用上述規(guī)律計(jì)算：1001+1003+1005+...+2015+2017.

【解析】解：（1）1+3+5+7+9+...+19=（等）2=100；

故答案為100.

(2)1+3+5+7+9+...+(2n-1)+(2n+l)+(2n+3)

_(1+2n+3)2

=(n+2)2；

故答案為：（n+案2;

(3)1001+1003+1005+...+2009+2017f

_z1+2017x2(1+999\2

(221

=10092-5002,

=1018081-250000,

=768081.

【方法總結(jié)】

通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于首尾兩個(gè)奇數(shù)的和的一半的平方，根據(jù)此

規(guī)律可解答(1)(2)兩題；用從1開始到2011的和減去從1開始到999的和，然后列式進(jìn)

行計(jì)算即可得第(3)題的答案.

本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出平方的底數(shù)與等式左邊首尾兩個(gè)奇數(shù)的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

【隨堂練習(xí)】

1.(2018?合肥模擬)閱讀材料：求3U32+33+34+35+36的值

解：設(shè)S=3'+32+33+34+35+36(i)

則3S=32+33+34+35+36+37@

用②-①得，3S-S=(32+33+34+35+36+37)-(3'+32+33+34+35+36)=37-3

.\2S=37-3,即3'+32+33+34+35+36=^-^-

22

以上方法我們成為“錯(cuò)位相減法”，請利用上述材料，解決下列問題：

(-)棋盤擺米

這是一個(gè)很著名的故事：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什

么獎(jiǎng)賞？阿基米德對國王說:“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，

第三格放四粒，第四格放八粒...按這個(gè)方法放滿整個(gè)棋盤就行”國王以為要不了

多少糧食，就隨口答應(yīng)了，結(jié)果國王輸了

（1）國際象棋共有64個(gè)格子，則在第64格中應(yīng)放粒米（用幕表示）

（2）設(shè)國王輸給阿基米德的米粒數(shù)為S,求S

（二）拓廣應(yīng)用：

1.計(jì)算：L當(dāng)+3+...+1-（仿照材料寫出求解過程）

442434n

2.計(jì)算：魚工+壁尹+忙L+...+￡H=_______（直接寫出結(jié)果）

442434n

【解答】解：（一）（1）國際象棋共有64個(gè)格子，則在第64格中應(yīng)放263粒米-

故答案為：263;

（2）根據(jù)題意得：S=l+2l+22+...+264,①

則有2s=2422+...+265,②

②-①得：S=265-1；

（二）1、設(shè)S=[+當(dāng)+士+...+工,①

442434n

則有4s=1+1+±+±+…，②

442434n-1

②-①得：3s=1-工,

4n

2、根據(jù)題意得：原式=1+1+...+1-（1+當(dāng)+士+…+!）=n-1+——

23nn

444433X4

故答案為：n-l+]

3X4n

2.(2017秋?宿州期末)觀察下列計(jì)算，=1」,工』」,二一,

1X222X3233X434

1___

4X51二...

(1)第5個(gè)式子是；

(2)第n個(gè)式子是

(3)從計(jì)算結(jié)果中找規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算高+高+田+焉+…+

lx//xjJx44Xb

1

2016X2017

【解答】解：⑴第5個(gè)式子是康

(2)第門個(gè)式子是:

n(n+l)nn+1

(3)原式=1--1-=11-2016

223342016201720172017

故答案為：(1)1_1.1.1-1.1

5X656'n(n+l)nrrlT

3.(2017秋?婁星區(qū)期末)觀察下列等式：yX_=l-11-1.11,1

2X3233X4~3

1.

4

可得：——+―1—+—1：—=i--L+.L-_L+A.-A.

1X22X33X422334

=11.

4

,3

7

(1)猜想并寫出：1

99X1Q0

(2)利用上述猜想計(jì)算_J_+，+_J_++_I_

1X22X33X4"99X100

(3)探究并計(jì)算:_J_+，+_J_++____1_____

2X44X66X8"2016X2018

【解答】解：(1)1_1-J

99X10099100

故答案為：JL1

loo

1_].1_99.

(2)原式=1++++

-22-33-4-99100looloo，

(3)原式=Lx(―1—+—I—+―1—+...+----------)=—x(1-L+-L-

41X22X33X41008X10094223

].]),ly1008,252

10081009~410091009,

知識點(diǎn)3求代數(shù)式的值

重要結(jié)論：

互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,相反數(shù)等于自身的數(shù)是0；

互為倒數(shù)的兩數(shù)積為1,倒數(shù)等于自身的數(shù)有-1/，倒數(shù)等于自身的自然數(shù)是1；

最大的負(fù)整數(shù)是-1,最小的正整數(shù)是1,絕對值最小的有理數(shù)是0;

【典例】

1.已知a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，x是最大的負(fù)整數(shù)，m是絕對值最小的數(shù).試求

x2+(a+b+cd)x+(a+b)2017+(-cd)2017-m2017的值.

【解析】解：；a,b互為相反數(shù),c,d互為倒數(shù)，x是最大的負(fù)整數(shù)，m是絕對值最小的

數(shù)，

a+b=O,cd=1,x=-1,m=O,

.\x2+(a+b+cd)x+(a+b)20l7+(-cd)2017-m2017

2

=(-1)+(0+1)(-1)+020”+(.j)2017.02017

=1-1+0-1-0

=-1

【方法總結(jié)】

首先根據(jù)a,b互為相反數(shù),c,d互為倒數(shù)，x是最大的負(fù)整數(shù),m是絕對值最小的數(shù)，可

得：a+b=O,cd=l,x=-1,m=O；然后代入代數(shù)式計(jì)算即可.

此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

【隨堂練習(xí)】

1.(2017秋?虎林市校級期中)已知a、b互為相反數(shù)且a#0,c,d互為倒數(shù)，m

的絕對值是最小的正整數(shù)，求n?-A+2017(a+b)一cd的值.

b2018

【解答】解:匕、b互為相反數(shù)且存0,

/.a+b=0,則且=-1.

b

又曾,(!互為倒數(shù)，

cd=l.

又的絕對值是最小的正整數(shù),

m=l,

則m2=l.

原式=1-(-1)+20172￡0.1

2018

=1+1-1

=1.

2.(2017秋?泗陽縣期中)已知a、b互為倒數(shù)，x、y互為相反數(shù)，m是平方后

2017

得16的數(shù).求代數(shù)式(ab)-2017(x+y).m3的值.

2018

【解答】解：b互為倒數(shù)，x、y互為相反數(shù)，m是平方后得16的數(shù)，

/.ab=1,x+y=0,m=±4,

當(dāng)m=4時(shí),

原式二咿-瞥一心-63；

當(dāng)m=-4時(shí),

原式=-7一啥一(一4尸=65?

知識點(diǎn)4實(shí)際應(yīng)用

利用有理數(shù)混合運(yùn)算解決實(shí)際問題的一般步驟：

1.審：審清題意,找出數(shù)量關(guān)系；

2.歹(I：根據(jù)所找的數(shù)量關(guān)系列出算式；

3.算：根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算出算式的結(jié)果；

4.答：給出題目要求的答案.

【典例】

1.小明的媽媽在某玩具廠工作，廠里規(guī)定每個(gè)工人每周要生產(chǎn)某種玩具140個(gè)，平均每天生

產(chǎn)20個(gè)，但由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入.下表是小明媽媽某周的

生產(chǎn)情況(超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù))：

—

-四五六日

增減產(chǎn)值+10-12-4+8-1+60

(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小明媽媽星期三生產(chǎn)玩具個(gè)；

(2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小明媽媽本周實(shí)際生產(chǎn)玩具個(gè)；

(3)該廠實(shí)行“每日計(jì)件工資制”，每生產(chǎn)一個(gè)玩具可得工資5元，若超額完成任務(wù)，則超

過部分每個(gè)另獎(jiǎng)3元；少生產(chǎn)一個(gè)則倒扣3元，那么小明媽媽這一周的工資總額是多少元？

(4)若將上面第(3)問中“實(shí)行每日計(jì)件工資制”改為“實(shí)行每周計(jì)件工資制”，其他條件不

變，在此方式下小明媽媽這一周的工資與按日計(jì)件的工資哪一個(gè)更多？請說明理由.

【解析】解：(1)20-4=16(個(gè));

故答案為：16.

(2)V(+10)+(-12)+(-4)+(+8)+(-1)+(+6)+0

=10-12-4+8-1+6

=7,

.-.140+7=147(個(gè)).

故本周實(shí)際生產(chǎn)玩具147個(gè)；

故答案為：147.

(3)147x5+(10+8+6)x3+(12+4+1)x(-3)

=735+24x3+17x(-3)

=735+72-51

=756(元).

故小明媽媽這一周的工資總額是756元；

(4)147x5+7x3

=735+21

=756(元).

故小明媽媽這一周的工資與按日計(jì)件的工資一樣多.

【方法總結(jié)】

(1)根據(jù)記錄可知，小明媽媽星期三生產(chǎn)玩具20-4=16(個(gè))；(2)先分別把增減的量都

相加，然后根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再加上計(jì)劃生產(chǎn)量即可；(3)先計(jì)算每天

的工資，再相加即可求解；(4)先計(jì)算超額完成了幾個(gè)玩具,然后再計(jì)算工資.

本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)、有理數(shù)加減混合運(yùn)算,讀懂表格數(shù)據(jù)、根據(jù)題意準(zhǔn)確列式是解題的

關(guān)鍵.

【隨堂練習(xí)】

1.(2017秋?無錫期中)小明的媽媽在某玩具廠工作，廠里規(guī)定每個(gè)工人每周要

生產(chǎn)某種玩具140個(gè)，平均每天生產(chǎn)20個(gè)，但由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量

與計(jì)劃量相比有出入.下表是小明媽媽某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為

負(fù)):

星期——四五7\日

增減產(chǎn)值+10-12■4+8-1+60

(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小明媽媽星期三生產(chǎn)玩具個(gè)；

(2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知小明媽媽本周實(shí)際生產(chǎn)玩具147個(gè)；

(3)該廠實(shí)行“每日計(jì)件工資制"每生產(chǎn)一個(gè)玩具可得工資5元，若超額完成

任務(wù)，則超過部分每個(gè)另獎(jiǎng)3元；少生產(chǎn)一個(gè)則倒扣3元，那么小明媽媽這一周

的工資總額是多少元？

(4)若將上面第(3)問中“實(shí)行每日計(jì)件工資制”改為“實(shí)行每周計(jì)件工資制”，

其他條件不變，在此方式下小明媽媽這一周的工資與按日計(jì)件的工資哪一個(gè)更多？

請說明理由.

【解答】解：(1)20-4=16個(gè)；

(2)V(+10)+(-12)+(-4)+(+8)+(-1)+(+6)+0

=10-12-4+8-1+6

=7,

.-.140+7=147(個(gè)).

故本周實(shí)際生產(chǎn)玩具147個(gè)；

(3)147x5+(10+8+6)x3+(12+4+1)x(-3)

=735+24x3+17x(-3)

=735+72-51

=756(元).

故小明媽媽這一周的工資總額是756元；

(4)147x5+7x3

=735+21

=756(元).

故小明媽媽這一周的工資與按日計(jì)件的工資一樣多.

故答案為：16,147.

2.(2017秋?簡陽市期中)“十?一”黃金周期間，武漢東湖風(fēng)景區(qū)在7天假期中每

天旅游人數(shù)變化如下表(正號表示人數(shù)比前一天多，負(fù)號表示比前天少)

(3)如果每萬人帶來的經(jīng)濟(jì)收入約為100萬元，則黃金周七天的旅游總收入約

為多少萬元？

【解答】解：(1)根據(jù)題意列得：4.2+(1.8-0.6+0.2-0.7)=42+0.7=4.9(萬人);

(2)根據(jù)表格得：七天中旅客最多的是1日為6萬人，最少的是7日為1.7萬

人，

則七天中旅客人數(shù)最多的一天比最少的一天多6-1.7=4.3(萬人)；

(3)根據(jù)表格得：每天旅客人數(shù)分別為6萬人、5.4萬人、5.6萬人、4.9萬人、

3.6萬人、4.1萬人、1.7萬人，

則黃金周七天的旅游總收入約為(6+5.4+5.6+4.9+3.6+4.1+1.7>100=3130(萬元).

故答案為：(1)4.9；(2)4.3

3.(2017秋?天寧區(qū)校級月考)氣象統(tǒng)計(jì)資料表明，某一地區(qū)當(dāng)高度每增加100

米，氣溫就降低大約0.6℃.

(1)若測得該地區(qū)某山在山腳的氣溫是2℃,則距離山腳有600米高的山腰氣

溫是____℃.

(2)在一次社會實(shí)踐中，小明和小林欲考證該地區(qū)某山頂?shù)暮０胃叨?他倆進(jìn)

行實(shí)地測量，小明在山下一海拔高度為11米的小山坡上測得氣溫為24℃，小林

在最高位置測得氣溫為14.4C.根據(jù)測量的數(shù)據(jù)，請你列式計(jì)算該山頂?shù)暮０胃?/p>

度.

【解答】解：(1)由題意可得，

2+(600+100)x(-0.6)

=2+6x(-0.6)

=2+(-3.6)

=-1.6,

故答案為：7.6；

(2)由題意可得,

11+(14.4-24)+(-0.6)xlOO

=11+(-9.6)+(-0.6)xlOO

=11+16x100

=11+1600

=1611(米)，

答：該山頂?shù)暮０胃叨仁?611米.

知識點(diǎn)5流程圖計(jì)算

初中階段的流程圖一般由方框和帶箭頭的線(直線和折線)組成.方框里是邏輯運(yùn)算，箭頭

表示進(jìn)行運(yùn)算的順序.

箭頭指向某個(gè)方框說明需要將上一步的結(jié)果進(jìn)行方框里的邏輯運(yùn)算.

【典例】

I.如圖，是一個(gè)簡單的數(shù)值計(jì)算程序，當(dāng)輸入的值為5,則輸出的結(jié)果為.

【解析】解：把5代入計(jì)算程序中得：［5+(-1)F(-2)=4+(-2)=-2<0,

把-2代入計(jì)算程序中得：［(-2)+(-1)］^(-2)=-3^(-2)=|>0,

則輸出的結(jié)果為|,

故答案為|.

【方法總結(jié)】

此題主要考查了流程圖的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于弄懂流程圖每一步是做什么運(yùn)算.

注意：流程圖的每個(gè)邏輯運(yùn)算都是獨(dú)立的，一定要按箭頭方向一步一步計(jì)算.將流程圖轉(zhuǎn)化

為算式的時(shí)候，應(yīng)該加括號的地方要補(bǔ)上括號，不要弄錯(cuò)運(yùn)算順序.

【隨堂練習(xí)】

1.（2017秋?港閘區(qū)期末）如圖，按下列程序進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)過三次輸入，最后輸

出的數(shù)是12,則最初輸入的數(shù)是

【解答】解：由程序圖可知：

4[4（4x-6）-6]-6=12,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，64x=138,

化系數(shù)為1得，x=^,

32

故答案為：空.

32

2.按如圖程序計(jì)算：輸入x=2,則輸出的答案是

【解答】解：把x=2代入得：-2x（-1）-1.2=14=1,

3369

故答案為：4

9

3.（2017秋?安徽月考）按照如圖所示的操作步驟，若輸入值為-3,則輸出的值

為

?否:減去9|—N乘以4------

加上2卜臼乘以5|------

【解答】解：把-3代入得：（-3）2=9<10,

貝崎(9+2)x5=55.

故答案為：55

3.（2017秋?臺州期中）如圖所示的運(yùn)算程序中，用表示數(shù)據(jù)輸入、輸出

框；用“I—i”表示數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算框；用“V>”表示數(shù)據(jù)判斷框（根據(jù)條件決

定執(zhí)行兩條路徑中的某一條）

（1）①如圖1,當(dāng)輸入數(shù)x=-4時(shí)，輸出數(shù)y=；

②如圖2，第一個(gè)運(yùn)算框“I―T內(nèi)，應(yīng)填一；第二個(gè)運(yùn)算框“I—I”內(nèi)，應(yīng)填一；

（2）①如圖3,當(dāng)輸入數(shù)x=-2時(shí)，輸出數(shù)y=_；

②如圖4,當(dāng)輸出的值y=26,則輸入的值x=—.；

（3）某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，決定對居民用電實(shí)行“階梯價(jià)”：當(dāng)每戶每月用

電量不超過190度時(shí)（含100度），以0.5元/度的價(jià)格收費(fèi)；當(dāng)每戶每月用電量

超過100度時(shí)，其中100度以0.5元/度的價(jià)格收費(fèi)，超過部分以0.8元/度的價(jià)格

收費(fèi).請?jiān)O(shè)計(jì)出一個(gè)如題中的“計(jì)算框圖”，使得輸入數(shù)為用電量x（度），輸出

數(shù)為電費(fèi)y（元）

/輸入x/

X2

__

-5

/輸出｝?/

圖1

【解答】解：（1）①當(dāng)x=-4時(shí)，y=-4x2-5=-13,

故答案為：-13；

②第一個(gè)運(yùn)算框內(nèi)“x5”；第二個(gè)運(yùn)算框內(nèi)“-3”,

故答案為：x5,-3；

(2)①當(dāng)x=-］時(shí)，y=-2x2-5=-9>-20,-9x2-5=-23<-20,

故答案為：y=-23；

②分為兩種情況：當(dāng)x>0時(shí)，x-5=26,

解得：x=31；

當(dāng)x<0時(shí)，X2+1=26,

解得：x=±5,x=5舍去；

故答案為：31或-5；

(3)因?yàn)楫?dāng)每月用電量不超過100度時(shí)(含100)以0.5元/度的價(jià)格收費(fèi)；

當(dāng)每月用電量超過100度時(shí)，超過部分以0.8元/度的價(jià)格收費(fèi)，

所以電費(fèi)收繳分兩種情況，x<100和x>100,

分別計(jì)算，所以可以設(shè)計(jì)如框圖如圖.

知識點(diǎn)6新定義

定義新運(yùn)算是指用一個(gè)符號和已知運(yùn)算表達(dá)式表示一種新的運(yùn)算.

解定義新運(yùn)算問題，關(guān)鍵是要正確地理解新定義運(yùn)算的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義運(yùn)算

的計(jì)算程序,將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算.

【典例】

1.閱讀下列內(nèi)容，并完成相關(guān)問題：

小明說：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫米（加乘）運(yùn)算.”然后他寫出了一些按照米（加乘）

運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：

（+4）米（+2）=+6；（-4））（-3）=+7；

（-5）米（+3）=-8；（+6）米（-7）=-13；

（+8）米0=8；0米（-9）=9.

小亮看了這些算式后說：“我知道你定義的米（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則了.”

聰明的你也明白了嗎？

（1）歸納米（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則：

兩數(shù)進(jìn)行米（加乘）運(yùn)算時(shí).

特別地（0和任何數(shù)進(jìn)行來（加乘應(yīng)算或任何數(shù)和0進(jìn)行在加乘運(yùn)算,_________________

（2）計(jì)算：［（-2）米（+3）］米［（-12）米0］（括號的作用與它在有理數(shù)運(yùn)算中的作用一

致）

（3）我們知道加法有交換律和結(jié)合律，這兩種運(yùn)算律在有理數(shù)的※（加乘）運(yùn)算中還適用

嗎？請你任選一個(gè)運(yùn)算律,判斷它在米（加乘）運(yùn)算中是否適用，并舉例驗(yàn)證.（舉一個(gè)例

子即可）”

【解析】解：（1）歸納米（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則：

兩數(shù)進(jìn)行米（加乘）運(yùn)算時(shí)，同號得正、異號得負(fù)，并把絕對值相加.

特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行米（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行米（加乘）運(yùn)算，都得這個(gè)數(shù)

的絕對值,

故答案為：同號得正、異號得負(fù)，并把絕對值相加；都得這個(gè)數(shù)的絕對值.

（2）原式=（-5）米12=-17；

（3）加法的交換律仍然適用，

例如：（-3）米（-5）=8,（-5）米（-3）=8,

所以（-3）米（-5）=（-5）米（-3）,

故加法的交換律仍然適用.

【方法總結(jié)】

（1）根據(jù)題目給出的米（加乘）運(yùn)算的算式，結(jié)合之前所學(xué)的加減乘除四則運(yùn)算的運(yùn)算法

則，即可歸納出來（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法.

（2）根據(jù)（1）中總結(jié)出的米（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算方法，

即可求出I（-2）米（+3）］米［（-12）米0］的值.

（3）加法有交換律和結(jié)合律，這兩種運(yùn)算律在有理數(shù)的米（加乘）運(yùn)算中還適用，任取兩

個(gè)數(shù)a,b,通過計(jì)算說明a%3b=b米a（或任取三個(gè)數(shù)a,b,c,通過計(jì)算說明a米b》Kc=a米

（b米c））即可.

此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序并注

意運(yùn)算定律的應(yīng)用.

【隨堂練習(xí)】

1.（2017秋.余姚市期末）給定一列數(shù)，我們把這列數(shù)中的第一個(gè)數(shù)記為a1,第

二個(gè)數(shù)記為a2,第三個(gè)數(shù)記為a3，依此類推，第n個(gè)數(shù)記為an（n為正整數(shù)），

如下面這列數(shù)2,4,6,8,10中,ai=2,a?=4,as=6,a4=8,as=10.規(guī)定運(yùn)算

sum（ai：an）=ai+a2+a3+...+an.即從這列數(shù)的第一個(gè)數(shù)開始依次加到第n個(gè)數(shù)，

如在上面的一列數(shù)中,sum（ai：a3）=2+4+6=12.

(1)已知一列數(shù)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10,則as=___,sum

(ai：aio)=.

(2)已知這列數(shù)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10....按照規(guī)律

可以無限寫下去，則32018=,sum(ai:32018)=.

(3)在(2)的條件下否存在正整數(shù)n使等式|sum(ai：an)|=50成立?如果有，

寫出n的值，如果沒有，說明理由.

【解答】解：(1)由題意可得，

33=3,

sum(ai:aio)

=1+(-2)+3+(-4)+...+9+(-10)

=-5,

故答案為：3,-5；

(2)由題意可得，

32018=-2018,

sum(ai:a2oi8)

=1+(-2)+3+(-4)+...+2017+(-2018)

=[1+(-2)]+[3+(-4)]+...+[2017+(-2018)]

=(7)+(7)+.?.+(-1)

=-1009,

故答案為：-2018,-1009；

(3)在(2)的條件下存在正整數(shù)n使等式|sum(ai：an)|=50成立，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

|sum(ai：an)|=|-立工+止50,

2

解得，n=99,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

|sum(ai：an)|=|--1=50,解得,n=100.

2.(2017秋?朝陽區(qū)期末)對于任意有理數(shù)a,b,定義運(yùn)算：aOb=a(a+b)-1,

等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如，2O5=2x(2+5)-1=13；(-

3)0(-5)=-3x(-3-5)-1=23.

(1)求(-2)03。的值；

(2)對于任意有理數(shù)m,n,請你重新定義一種運(yùn)算“十”，使得5十3=20,寫出

你定義的運(yùn)算：m?n=(用含m,n的式子表示).

【解答】W：(1)VaOb=a(a+b)-1,

(-2)。3工

2

=(-2)x[(-2)+31]-1

=(-2)x2-1

2

=(-3)-1

=-4；

(2)V5?3=20,

.*.mffin=3m+2+n,

故答案為：3m+2+n.

綜合集訓(xùn)

1.如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖，若輸入X的值為2,輸入y的值為-2,則輸出的結(jié)果為

【解析】解：[2x3+(-2)*5

=[6+4]4-5

=104-5

=2.

故答案為：2.

2.如圖，這是一個(gè)運(yùn)算的流程圖，輸入正整數(shù)x的值，按流程圖進(jìn)行操作并輸出y的值.例

如，若輸入x=10,則輸出y=5.若輸出y=3,則輸入的x的值為.

【解析】解：若x為偶數(shù)，可得23,即x=6；

若x為奇數(shù),可得|(x+1)=3,即x=5,

故答案為：5或6

3.若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2,則m-cd+竺為直為.

m

【解析】解：根據(jù)題意得：a+b=O,cd=l,m=2或?2,

當(dāng)m=2時(shí)，原式=2-1+0=1；

當(dāng)m=?2時(shí)，原式:-2-1+0=-3,

故答案為1或?3.

4.計(jì)算：(I)-1-7+11+3-2^(-i)；

(2)(--+-)^(--)xZ;

'八63''1272

(3)-I4-(1-0.5)4x(2-(-3)2]；

㈠)(_2)3-13+[-(-2

?)0.125X8+[1-32X(-2)],

【解析】解：(1)原式=T-6I+3-2X(-3)

=-6+3+6

=3；

(2)原式=4X(-V)v1；

(3)原式=-1-笄x(2-9)

=-1-jx7x(2-9)

=-1-Rx(-7)

=-1-(-2)

'27

149

=-14—

2

_47

-2,

(4)嚀式--8-13+U)

')際X0.125x8+[l-9x(-2)]

_-8+13x4

-1+(1+18)

_一8+52

-1+19

_44

20

=2.2.

5.閱讀下面的文字，完成后面的問題，我們知道嗯=1-［七苫-］短三-;，木三-

那么：

]

(1)

2016X2017

(2)用含有n(n為正整數(shù))的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律

1.1.1,]

(3)計(jì)算:----1----1---+

1X22x33x42017X2018

1_1]

【解析】解：(1)

2016X2017—20162017

(2)根據(jù)題意得：而%=；1

n+l

(3)原式=1-V-*…+嘉"嘉=11_2017

20182018

6.觀察下列各式：13=12；13+2M2；13+23+33=62；13+23+33+43=102；...

(1)請寫出第5條等式;

(2)說出等式左邊各個(gè)幕的底數(shù)與右邊幕的底數(shù)之間有什么關(guān)系？

(3)利用上述規(guī)律，計(jì)算13+23+33+43+...+1003的值.

3332

【解析】解：(1)..T3=12；13+23=32;13+23+33=62；p+2+3+4=10,

...13+23+33+43+53=152.

(2)左邊各個(gè)幕的底數(shù)之和等于右邊幕的底數(shù).

(3)13+23+33+43+...+1003

=(1+2+3+4+…+100)2

=50502

=25502500.

7.為了保護(hù)環(huán)境節(jié)約水資源，我市按照居民家庭年用水量實(shí)行階梯水價(jià)，水價(jià)分檔遞增.居

民用戶按照以下的標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行：第一階梯上限180立方米，水費(fèi)價(jià)格為5元/每立方米；第二

階梯為181-260立方米之間水費(fèi)價(jià)格7元/每立方米第三階梯為260立方米以上用水量,

水價(jià)為9元/每立方米.如表所示：

供水類型階梯戶年用水量水價(jià)