概率論(第二版)范大茵課后習題答案第一章習題答案

習題一]_45—1011—1920—10

1.寫出下列試驗的樣本空間：

(1)隨機抽查10戶居民.記錄已安裝空調(diào)機的戶數(shù)；

解用,表示恰有，戶居民安裝空調(diào).則

。二｛0,1.2,…，101.

(2)記錄某一車站某一時間區(qū)間內(nèi)的候車人數(shù)；

W用，表示某一時間區(qū)間內(nèi)恰有7個人候車.則

Q二｛0,1.2,3,…｝.

(3)同時擲10個錢幣，記錄正面朝上的錢幣的個數(shù)；

解用,表示正面朝上的錢幣恰有7個，則

。二｛0,1.2.…，10).

(4)從某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中依次抽取3件進行檢查，記錄正、

次品的情況；

解用1表示正品.用0表示次品.則

110,101,011,100,010,001,000).

(5)在單位球內(nèi)隨機地取一點.記錄其直角坐標；

解用(YJ,二)表示單位球內(nèi)任一點的坐標,則

Q={(K乂二)kU+二2<1}.

(6)某人進行射擊，射擊進行到命中目標為止,記錄射擊的

情況；

解用7表示恰好射擊I次.則

Q={1,2,3,…}.

。)對某工廠的產(chǎn)品進行檢查.每次抽查1個產(chǎn)品，若查得

的次品數(shù)達到2個就停止檢查或總的檢查數(shù)達到4個也停止檢

查，記錄檢查情況.

解用/表示檢查/個產(chǎn)品時停止.則

Q={2,3.4}.

2.設43,。為三個事件，用4瓦。的運算表示下列事件:

(IX3,C都發(fā)生;

解4及。都發(fā)生表示為.43。

(2)4,3發(fā)生，。不發(fā)生；

解4B發(fā)生,C不發(fā)生表示為C

(3M,及。都不發(fā)生;

解43.「都不發(fā)生表示為1月3.

(4M,B中至少有一個發(fā)生而C不發(fā)生;

解45中至少有一個發(fā)生而C不發(fā)生表示為

C4i,^)C=Xu^-C.

(5必,及。中至少有一個發(fā)生；

解4B,C中至少有一個發(fā)生表示為.4u3uC.

(6M.及。中至多有一個發(fā)生;

解4及。中至多有一個發(fā)生表示為

AAJBCUJC^ABC<JAB&JABCU.4BC.

(7M,3,C中至多有兩個發(fā)生；

解4及。中至多有兩個發(fā)生表示為

W岸Q—月3c.

(8必,3,。中恰有兩個發(fā)生.

解乩AC中恰有兩個發(fā)生表示為

ABC^JABC^JABC.

3.將一顆骰子投擲兩次，依次記錄所得點數(shù)，記/為“兩數(shù)

之和為5”,B為“兩數(shù)之差的絕對值為3”,。為“兩數(shù)之積小于等

于4”.試用樣本點的集合表示事件4B,C.A^B,AC.BC.

解樣本空間為

Q={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2.2),(2,3),(2.4),(2,5),(2,6).

(6.1),(6,2),(6.3).(6.4).(6.5),(6.6)}.

,4={(1.4),(2,3),(3.2),(4,1)};

居{(1.4),(2,5),(3.6),(4,1),(5,2),(6.3)};

■{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(3,1),(4,1));

A<jB={(i94),(2,3),(2,5),(3,2),(3,6),(4,1),(5,2),(6,3)};

,40=((2,3),(3,2)};

3C={(1,4),(4,1)).

4.⑴設3.C為三個事件，已知：

尸@)=0.3,尸(3)=0.8.尸(C)=0.6.

尸@3)=02P曰C)=0,尸(30)=06

試求(1)尸(/u3);(ii)P@月);(in)尸

解⑴P(H=3)=PQ4)+P(3)—P(48)=0.3+0.8—0.2=0.9;

(ii)P(X5)=/>C4)-PC45)=0.3-0.2=0.1;

(IU)P(/D3UC)=產(chǎn)(月)+P(3)+P(C)

-P?B)-PQ4C)-P(BC)+P?BC)

—0.3+0.8+0.6—0.2—0—0.6+0—0.9.

注：因為，3Cu4U所以OWP@3C)WP(.4C)=O.即尸(.W3C)=0.

(2)設PQA)=a,尸(3)二△試問尸(/口3)的所有可能取值的最大

值、最小值各是多少？

W因為尸(且3)之0.

所以尸(且。8)=尸(月)+尸(3)—尸(-5)sP(.4)+P(3)=a".

又P?=B)d

所以P(A<miii{1,a+五},

即)的最大值為mm(l,?+//).

因為

尸(43把尸@)=&P3B)qP(B)=0.

所以P?j")=P?)+P⑻-PQAB)>

P(A<.jB)=P(A)+P(B)-P(AB)>avft-］工a.

于是P@u3Hnax(a,//}.

即尸@。3)的最小值為max{?,//).

習題—h-45-1011—1920—10

5.將一顆骰子投擲兩次，依次記錄所得點數(shù).試求:

(1)兩骰子點數(shù)相同的概率；

解用幺表示“點數(shù)相同”，則

1),(2,2),(3,3),(4,4).(5.5),(6.6)).

因為樣本空間的樣本點數(shù)為36.』的樣本點數(shù)為6,所以

尸⑷44

366

Q)兩數(shù)之差的絕對值為1的概率;

解用3表示、'兩數(shù)之差的絕對值為則

氏｛(1、2),(2,1),(2,3),(3.2),(3,4),

(4.3),(4,5),(5,4),(5,6),(6.5)).

因為樣本空間的樣本點數(shù)為36.B的樣本點數(shù)為,所以

10_5

P⑻二

36-18

(3)兩數(shù)之乘積小于等于12的概率.

解用c表示、.兩數(shù)之乘積小于等于12”,則

C=((1,l),(l,2),(h3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3.1),(3.2),(3,3),(3.4),

(4,1),(4,2),(4,3),

(5,1),(5,2),

(6,1),(6,2)).

因為樣本空間的樣本點數(shù)為36,C的樣本點數(shù)為所以

尸(。)=叁.

6.一袋中裝有紅球5只、黃球6只、藍球7只，某人從中

任取6只球，試求:

(1)恰好取到1只紅球、2只黃球、3只藍球的概率;

解用A表示“恰好取到1只紅球,2只黃球.3只蘭球“，則

印金〕

P⑼二

18]

(2)取到紅球只數(shù)與黃球只數(shù)相等的概率.

解用耳表示?恰好取到,只紅球和7只黃球二用B表示“取

到紅球只數(shù)與黃球只數(shù)相等、'，則

尸(6)=

P(B)=P(B2=B3)=P(Bo)+P(Bi)+P(B2)+P(B3)

ku7

7.設一袋中有編號為1,2,3,???,9的球共9只，某人從中

任取3只球，試求：

(1)取到1號球的概率；

則距常

解用，表示’,取到1號球二?

(2)最小號碼為5的概率;

解用3表示“最小號碼為5”.因為3發(fā)生表示其中一球的

號碼為5,其它兩個球的號碼為6,7,8.9.因此

G1

3藥14

⑶所取號碼從小到大排序中間一只恰為5的概率;

褲用。表示、、所取號碼從小到大排序中間一只恰為5”.因

為C發(fā)生表示其中一球的號碼為5.其它兩個球的號碼分別為

1,2,3,4和6,7,8,9.因此

尸（6

(4)2號球或3號球中至少有一只沒有取到的概率

解用。表示、’2號球沒有取到E表示“3號球沒有取到”,

則2號球或3號球中至少有一只沒有取到可表示為DuE,于是

PgE)=P(D)+P(E)-P(DE)

一百一圖一立

8.從數(shù)字0,1,2,?-9十個數(shù)字中不放回地依次選取3個

數(shù)字，組成一個三位數(shù)(或二位數(shù))，試問：

(1)此數(shù)個位是5的概率是多少？

解用A表示“所得數(shù)的個位是5”，則

產(chǎn)(.4)二9x8_1

10x9x8-l0

Q)此數(shù)能被5整除的概率是多少?

W用，表示“所得數(shù)的個位是5、'.用§表示“所得數(shù)的個

位是01則且匚3表示所得數(shù)的個位或為0或為3于是所得數(shù)

能被5整除的概率為

尸回3)二尸(⑷+P(3)$+#/.

(3)依次所取三數(shù)恰為從小到大排列的概率是多少?

解用。表示，'所得三數(shù)恰為從小到大排列二則

1

P(C)=

10x9x86

9.從一副撲克牌(52張)中任取13張牌.試求下列事件的概

率：

(1)至少有一張“紅桃”的概率；

解用且表示、至少有一張紅桃則所求概率為

P(.4)=l-尸(月)二1一舄.

(2)缺“方塊”的概率;

解用3表示“缺方塊;則所求概率為

(3)“方塊"或‘'紅桃中至少缺一種花色的概率;

W二表示“缺紅桃:3表示、缺方塊”，故"方塊''或"紅桃”

中至少缺一種花色可表示為4=及故所求概率為

P(A<JB)=P(A)+P(B)-P(AB)

，M1

(4)缺“方塊”且缺'梅花”但不缺“紅桃”的概率

解用C表示“缺梅花;而A表示“缺紅桃二B表示六缺方

塊”,故缺"方塊''且缺''梅花"但不缺“紅桃”可表示為

ABC=BC-ABC.

故所求概率為

,信〕里)

P@BC)二P(BC)-PQMC)二段—之.

(HI113)

10.已知尸(4)=0.3,尸⑶=0.4,尸043)=。2試求

OXW)；

解P(B\4)=^-^-=-=-

胛1尸(.4)0.33.

⑵尸（川3）;

舟隼P(415)=^-^=—=-

幃-1P(B)0.42

(3)尸(3以。3);

凡W3)]P(B)4

解P(B\A^B)=

P(AuB)P(A)+P(B)—P(AB)5

(4)P(ND3

解P(A<JB\A<JB)=P(AB\A<JB)=1-P(AB\A<JB)

=1P[AB(A^JB)]=[P(AB)02=3

一(.4.3)-PQAuB)-0.3+0.4—0-5

習題一B5—1011-1920—10

11.已知尸⑷=0.7,P(月)=0.6,尸0月)=0.5,求

(1)陽山3);

解尸(8)=1—P(3)=l—0.6H.4.

由PQ4月)=P3-B)=PQA)-P?B),得

PQ4B)=P⑷-P?^)=0.7-0.5=0.2.

R.Wu3)二%(』」，]

1尸(Q3)

P(A)0.77

=P(A)+P(B)~P(AB)=0.7+0.4-0.29

(2)尸(4343);

解黨,；

_P(AB)_0.2_2

一尸(.25)-0.7+0.4-0.2—§

(3)P(A\A<JB).

解尸口配豆)二4宇”

尸(.麗_0.5_5

一尸(右)一1一產(chǎn)(-3)一1—0.2―&?

12.設甲地下雨的概率是0.5,乙地下雨的概率是0.3,甲、

乙兩地同時下雨的概率是0.10,試求：

(D已知甲地下雨的條件下，乙地下雨的概率;

解用上表示“甲地下雨二B表示“乙地下雨C表示"丙地

下雨”,則

尸@)=0.5,P(B)=0.3,P03)=0.10.

所求概率為

尸(3|4)=^^=也=0.2.

1尸(月)0.5

(2)已知甲、乙兩地中至少有一地下雨的條件下,甲地下雨

的概率.

解用且表示“甲地下雨”.B表示“乙地下雨二C表示J丙地

下雨”,則

產(chǎn)⑷=0.5,尸(3)=0.3,尸(43)=0.10,

所求概率為

產(chǎn)(月)0.55

尸(4)+尸(3)—尸(且3)0.5+0.3—0」07

13.設有甲、乙、丙三個小朋友，甲得病的概率是0.05,在

甲得病的條件下乙得病的概率是0.40,在甲、乙兩人均得病的

條件下丙得病的條件概率是0.80,試求甲、乙、丙三人均得病

的概率.

解用A表示、、甲得病二B表示“乙得病二C表示“丙得病”,

則P(.4)=0.05.尸(44)=0.4,尸(CH3)=0.8.

所求概率為

產(chǎn)(43c)一尸()尸(胤4)尸(。03)=0.05x0.4義0.8=0.016.

14.丟兩骰子，觀察所得數(shù)對.試計算下列條件的概率：

(1)已知兩顆骰子點數(shù)之和為8的條件下，兩顆骰子點數(shù)相

等的概率；

解用」表示、、點數(shù)之和為8”,B表示“點數(shù)相等則

,4={(2.6),(6.2),(3,5),(5,3),(4.4)),

所求概率為

1

尸(叫二痣=1

產(chǎn)(3⑷二

產(chǎn)(月)—5.

36

(2)已知兩顆骰子點數(shù)之差的絕對值為1的條件下，兩顆骰

子點數(shù)之和大于等于5的概率.

解用C表示一差的絕對值為：D表示、,點數(shù)之和大于等

于5”，則

。={(L2),(2,1),(2,3),(3.2),(3,4),

(4,3),(4.5),(5.4),(5,6).(6,5)},

CD=((2,3),(3.2),(3,4),(4.3),

(4,5).(5.4),(5.6),(6.5)}.

所求概率為

fO)=36=4

P(C)105

15.設某人按如下原則決定某日的活動：如該天下雨則以

0.2的概率外出購物.以0.8的概率去探訪朋友；如該天不下雨.

則以0.9的概率外出購物.以0.1的概率去探訪朋友.設某地下

雨的概率是0.3.

(D試求那天他外出購物的概率；

解用/表示、,該天下雨二用3表示*卜出購物工則

產(chǎn)(同4)=0.2,P畫4)=0.8,

P(3|N)=0.9.P(麗=0.1,P?)=0.3.

所求概率為

P(B)^P(,4B<jAB)^PQ4B^P(AB)

二尸(月)尸(胤4)+P(N)尸(30)

=0.3x0.2+0.7x0.9=0.69.

(2)若已知他那天外出購物，試求那天下雨的概率.

解所求概率為

產(chǎn)P(^P(B\A)

尸(4|3)=(43)

P(B)P^P(B\^+P(A)P(B\A-)

03x0.2_2

-0.3+0.2+0,7x0.9-23

16.設在某一男、女人數(shù)相等的從群中，已知5%的男人和

0.25%的女人患有色盲.今從該人群中隨機地選擇一人，試問：

(D該人患有色盲的概率是多少？

解用且表示、，選到男二用B表示“所選的人是色盲“，則

尸(月)二尸(?=],尸(科4)二焉，P(B\A)=0.25

Xxz100

所求概率為

產(chǎn)(3HC+P(N)P(3|N)

15,1025ccct

=—x-----x-----=0n02625.

21002100

(2)若已知該人患有色盲，那么他是男性的概率是多少?

解所求概率為

P(i.)=P(a§)二尸日)尸(3日)_

1P(B)PQ4)P(3|,4)+尸(N)P(3|N)

15

_2Too_20

-15,1025-21,

--------十—■.--------

21002100

17.設某地區(qū)間應屆初中畢業(yè)生有70%報考普通高中，20%

報考中專,10%報考職業(yè)高中，錄取率分別為90%,75%,85%.

試求：

(1)隨機調(diào)查一名學生?他如愿以償?shù)母怕剩?/p>

解用A表示''報考普高:B表示“報考中?！?C表示“報考

職高D表示“被錄取”，則

—@)=0.7,尸(3)=0.2,尸(0=0.1,

產(chǎn)(。田=0.9.P(Q|3)=0.75,P(Z)|C)=085.

所求概率為

尸(。)二尸(且)尸(外4)+尸(3)尸(。⑻+P(C)P(Z)|C)

=0.7x0.9+0.2x0.75+0.1x0.85=0.865.

(2)若某位學生按志愿被錄取了，那么他報考普通高中的概

率.

解所求概率為

R1⑦)二尸口。)_P(4)P(Z)|，)_07x09

-1P(D)P(D)0.865

18.設有甲、乙兩個旅行團.旅行團甲有中國旅游者〃人,

外國旅游者7〃人；旅行團乙有中國旅游者a人，外國旅游者b

人.今從旅行團甲中隨機地挑選兩人編入旅行團乙,然后再從

旅行團乙中隨機地選擇一人，試問他是中國人的概率是多少？

解用民表示“在甲團中所選的兩個人中有，個中國人”

go.1.2\A表示“在乙團中所選的人是中國人工則

尸（，4）二尸（，氏）+尸@8）+尸@民）

一尸（瓦）.瓦）+尸（耳）尸（4出]）+尸（比）尸口四）

（ML?KL+i物”

_\u八一）.a+、.八[J.?+1+v-A_Z.a+，

,〃+〃]a+b,〃+〃]a+b-\-l,〃+〃]a+b+2，

v-Jv-Jv-7

19.有兩箱同種類的零件，第一箱裝50個，其中10個一等

品；第二箱裝30個，其中18個一等品.今從兩箱中任選一箱.

然后從該箱中取零件兩次，每次任取1個，作不放回抽樣.求：

⑴第一次取到的零件是一等品的概率;

解用呂表示、'選中第一箱”,當表示、,選中第二箱，表示

“第一次取到的零件是一等品”，則

PQ4）=P（AB]）+P@B2）

二尸（囪）尸（且肉）+P（&）尸（,41&）

，.3+L更二=o

250230554?

（2）第一次取到的零件是一等品的條件下,第二次取到的也

是一等品的概率.

解用C表示、'第二次取到的零件是一等品''，則

產(chǎn)（電）二產(chǎn)（NC）二尸（,4。4）+尸（」「易）

尸⑷—尸（/）

產(chǎn)（且）

11091817

事嚴^4&56.

習題_1--45—1011—1920-10

20.設43是相互獨立的事件,尸(/)=0.5,尸(5)=0.8.試求:

⑴尸(4分

解P(A5)=0.5x0.8=0.4.

(2)R/D3);

解P(.4u8)=PH)+R3)—P(.43)=0.5+0.8—0.4=09

⑶3);

解P(a—3)=Pa)—P?3)=0.5—0.4=01.

(4)尸04^^3).

P(A)_0,5_5

解P(A\AKJB)=

P(Q3)一訪—0

21.試證明：若尸@)=1,則/與任何事件獨立.