高三數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)-1-5-12等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的綜合應(yīng)用

高考專題訓(xùn)練十二等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的綜合應(yīng)用班級______姓名_______時間：45分鐘分值：75分總得分______一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在答題卡上．1．(2011·上海)設(shè){an}是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形的面積(i＝1,2，…)．則{An}為等比數(shù)列的充要條件是()A．{an}是等比數(shù)列B．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列D．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同解析：依題意有Ai＝aiai＋1∴An＝anan＋1，∴An＋1＝an＋1an＋2{An}為等比數(shù)列?eq\f(An＋1,An)＝q(q>0)，q為常數(shù)∵eq\f(An＋1,An)＝eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝q.∴a1，a3，a5…a2n＋1…和a2，a4…a2n…都成等比數(shù)列且公比相同．答案：D2．如果等差數(shù)列{an}中a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21C．28 D．35解析：本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，前n項和的求法以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12?a4＝4，故a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a答案：C3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S9＝45，則數(shù)列{an}的公差為()A．－1 B．1C．2 D.eq\f(1,2)解析：記等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意得，S9＝9a1＋eq\f(9×8,2)d＝9＋36d＝45，解得d＝1，選B.答案：B4．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝4，S10＝110，則eq\f(Sn＋64,an)的最小值為()A．7 B.eq\f(15,2)C．8 D.eq\f(17,2)解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋d＝4,10a1＋eq\f(10×9,2)d＝110，∴a1＝d＝2，于是an＝2n，Sn＝n2＋n，∴eq\f(Sn＋64,an)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(64,n)))＋eq\f(1,2)≥8＋eq\f(1,2)＝eq\f(17,2)(當且僅當n＝8時取“＝”)，選D.答案：D5．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1.令bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋10．(2011·湖北)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升．解析：令最上面一節(jié)為a1則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22),d＝\f(7,66))).∴a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66).答案：eq\f(67,66)三、解答題：本大題共2小題，共25分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．11．(12分)(2011·課標)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n項和．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由aeq\o\al(2,3)＝9a2a6得aeq\o\al(2,3)＝9aeq\o\al(2,4)，所以q2＝eq\f(1,9).由條件可知q>0，故q＝eq\f(1,3).由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝eq\f(1,3)故數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(1,3n).(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3＝－(1＋2＋…＋n)＝－eq\f(nn＋1,2).故eq\f(1,bn)＝－eq\f(2,nn＋1)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，eq\f(1,b1)＋eq\f(1,b2)＋…＋eq\f(1,bn)＝－2eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))))＝－eq\f(2n,n＋1).所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n項和為－eq\f(2n,n＋1).12．(13分)(2011·安徽)在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n＋2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n＋2個數(shù)的乘積記作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝tanan·tanan＋1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解：(1)設(shè)t1，t2，…，tn＋2構(gòu)成等比數(shù)列，其中t1＝1，tn＋2＝100，則Tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，①Tn＝tn＋2·tn＋1·…t2·t1，②①×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得Teq\o\al(2,n)＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)．∴an＝lgTn＝n＋2，n≥1.(2)由題意及(1)中計算結(jié)果，知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1.另一方面，利用tan1＝tan[(k＋1)－k]＝eq\f(tank＋1－tank,1＋tank＋1·tank)，得tan(k＋1)·tank＝eq\f(tank＋1－tank,tan1)－1.所以Sn＝eq\o(,\s\up10(n),\s\do10(k＝1))bk＝eq\o(,\s\