高中數(shù)學(xué)-平面向量 習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三

角，有著極其豐富的實(shí)際背景.在本章中，學(xué)生將了解平面向量豐富的實(shí)際背景，

理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量的語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中

的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.這部分內(nèi)容的教育價值主要

體現(xiàn)在以下幾個方面.

1.通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量以及向

量相等的含義，理解向量的幾何表示.

2.掌握平面向量的加法、減法和向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，理

解兩個向量共線的含義.

3.了解平面向量基本定理及其意義，理解平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表

示，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

4.通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，

體會向量的數(shù)量積與投影間的關(guān)系，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會用平面向量的

數(shù)量積解決有關(guān)角度和垂直的問題.

5.經(jīng)歷向量（及其運(yùn)算）的建構(gòu)的過程，以及用向量方法解決某些簡單的實(shí)

際問題（幾何問題、力學(xué)問題等）的過程，了解向量的實(shí)際背景，理解向量及其運(yùn)

算的意義，并從中了解到數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的深刻聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)研究方法的模式

化特點(diǎn)，感受理性思維的力量，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維的能力、運(yùn)算能力和解決實(shí)

際問題的能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】L向量共線定理的應(yīng)用；

2.向量基本定理的應(yīng)用；

3.向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示的應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】1.如何將結(jié)論和條件建立聯(lián)系，如何利用圖形將未知向量關(guān)系轉(zhuǎn)

化為已知向量關(guān)系；

2.如何利用向量知識解決物理問題及平面幾何問題.

【教具準(zhǔn)備】

多媒體以及與教材內(nèi)容相關(guān)的資料.

【教學(xué)設(shè)想】

在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的嚴(yán)密性品質(zhì).

【教學(xué)方法】啟發(fā)教學(xué)，談話式教學(xué)相結(jié)合.

【課時安排】

知識回顧，新課引入一3分鐘

知識形成與應(yīng)用--------------------------25分鐘

知識拓展探究--------------------------15分鐘

課堂小結(jié)，作業(yè)安排--------------------------2分鐘

【教學(xué)過程】

畫一畫?知識網(wǎng)絡(luò)、結(jié)構(gòu)更完善

T零向量、單位向量

向量及其-I雌向量、相等向量

基本概念

N字母表示?

表卜幾何表示

示"1

T坐標(biāo)表示

向

量

的

加

「

減

法

向

向量的平行向量量

數(shù)乘基本定理的

應(yīng)

d向量的長度］用

向量的

兩向量垂

數(shù)量積T向量的夾劇~-

直的條件

研一研?題型解法、解題更高效

藪漫一教除合思想在胸量中就運(yùn)用

輛’1已知面量品=逑期*慶=(哂*S.=(-^m尚辰邕倏

則應(yīng)與晶夾角般藕圍是()

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加嚴(yán)可叫431閨H12*13,叫1黎2.

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過源點(diǎn)。作此圜曲切線,切點(diǎn)分則為峪M連接『

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小:結(jié)教超蟋合是求.解‘皴學(xué)’灣意最常用的才法之一，其支教潸以下

兩條途:徑：

⑴就教解救遒過對數(shù)量英嘉的樹南去研究圉形的.兒何祿廊

0｝以麴麟投，一疊具有幾何背景的教,學(xué)美系鬼藏孽^鞫，如能將

逶焉之栩咸的圉稱密*3期能獲符更直嬲的解法，逐種解意愚想族

不少章節(jié)鄢窗廣泛的您用.

跟蹤訓(xùn)練1已知向量籍=0普1￡羲=口*-再*其中修為實(shí)數(shù)*。為

原點(diǎn),當(dāng)此兩向量夾角在回匐變動時出花的范圍是(C)

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題型二基底思想在解題中的應(yīng)用

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例2蟆點(diǎn)。是△4說7的外心*池=1等，/C=12項(xiàng)出&由=一夏.

解析設(shè)凝.急上為平面由一翱嬤霰.如圖所示.

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小結(jié)平面向量基本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基磁，位表明同一

譽(yù)面向的口一面量森可表示焉其植兩個不共輾向聾箍霰槌翻t*

前卷在具缽問題中建■當(dāng)?shù)剡x取基底*使其他育量源能夠用基底泳表

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題型三向量坐標(biāo)法在平面幾何中的運(yùn)用

例3已知在等腰△"號C中，m*CCf是兩腰上的中線*且

f

板±CCf求頂角4的余:弦楠的大小.H

解建宜如圖所示的平面亶然迷痂嘉，c戀，

設(shè)/（凡蟆%ego%則筑一6①，—/o|c—x

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跟蹤訓(xùn)穌3若等選△￡森C的邊長為以瓦平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足品

=|Sf+|S,MM4?Mr=-2

解析邃立如圖所示的直篇坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件即可知

^(0,3),鞏一①通M0?2),

*"*M4=(0?1)?MB=f-6*-2).

-X

【板書設(shè)計(jì)】平面向量

1.知識展示2學(xué)生展示

《1》數(shù)形結(jié)合思想在向量中的運(yùn)用

例題1

跟蹤訓(xùn)練

《2》基底思想在解題中的應(yīng)用

例題2

跟蹤訓(xùn)練

《2》向量坐標(biāo)法在平面幾何中的運(yùn)用

《3》例題3

《4》跟蹤訓(xùn)練

課后記及備用資料：

1.三點(diǎn)共線的證明

對于三點(diǎn)共線的證明，可以利用向量共線的充要條件證明，也可利用定比分點(diǎn)知識證明

.因?yàn)?，定比分點(diǎn)問題中所涉及的三個點(diǎn)必然共線，而三個點(diǎn)共線時，必然構(gòu)成定比分點(diǎn).

例1已知4(一1,一1)、B(1,3)、C(2,5),求證4、B、61三點(diǎn)共線.

證明：設(shè)點(diǎn)B'(1,y)是元的一個分點(diǎn)，且翌=4,則1=±4c

B'C1+4

解得4=2.

.-1+2x5°

..y=---------=3.

1+2

即點(diǎn)B'與點(diǎn)6重合.

??,點(diǎn)6,在AC上，，點(diǎn)8在AC上,

???力、B、。三點(diǎn)共線.

2.利用正、余弦定理判斷三角形形狀

例2根據(jù)下列條件，判斷△力回的形狀

(1)acosA=bcosB

(2)sir?A+sir?5=sin'C,且c=2acosR

彼小??一R-AcosB.2/?sinAcosB

bcosA2/?sinBcosA

即sin/cosH=sin/fcos8

sin2J=sin2i9.?.2/=26或2力=冗一2B，力二臺或4+8=2

2

???△/比是等腰三角形或直角三角形.

(2)*.,sin2J+sin2^=sin26,

???(景+(方=(京.,.才+^=C

故△/%是直角三角形，且。=90°,

:?cosB=%,代入c=2acos3得cos8=---.\^=45°,力=45°

2

綜上，△/阿是等腰直角三角形.

評注⑴條件中有邊有角，一般須化邊為角或化角為邊，題⑴也可以化角為邊.

⑵題⑴結(jié)論中用“或”，題⑵中用“且”結(jié)論也就不同，切不可混淆.

例3在△48。中，若才=6(b+c),則力與8有何關(guān)系？

解：由正弦定理得sin*/=sin。(sin/?+sinO

/.sin2J-sin2^=sin^?sinC

(sinJ+sinT?)(sinJ-sin.5)=sinJJsinC,

sin(力+9)sin(A—B)=sinB?sinC

Vsin(1+5)=sinC9.\sin(A—B)=sin5,

：.A-B=B,4=28,或A—B=Ji—B(舍去)

故力與B的關(guān)系是A=2&

3.利用正、余弦定理證明三角恒等式

〃2.^2_2_tan5

例4在△/回中，求證，二J

a-b+ctanC

證明：由余弦定理，知

a+1)-c=2abcosCfcf—b'+c=2cacosB,

.a2+/?2-c2_2abeosC_fccosC_sinBcosC_tanB

a2-b2+c22CQCOS3CCOSBsinCeosBtanC

評注：對于含有才、作、一的形式，常用余弦定理化邊為角.

例5在△力宏中,已知2sin,4=3sin26+3sin2。①

cos2y4+3cos/+3cos(B—C)=1②求：a\b\a

解：由①得2/=3/+3/③

VcosJ=-cos(4+0

由②得3cosQB—C)—3cos(B+C)=1—cos2力=2sin‘力=3sin，夕+3sin七

/?cos(B—O—cosCB+C)=sin2i?+sin2C,,

2sin5^in^=sin25+sin2f

2

即(sinB-sinO=0,.\sinB=sinCf

.\2/fsinB=2fisinC,，人二。代入③得a—V3b.

?，?a：b\c=b\b\b=：1：1?

平面向量學(xué)情分析

學(xué)生經(jīng)過高一以及以及平面向量的學(xué)習(xí)，已

經(jīng)具備一定的邏輯推理能力，但學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容

時的知識儲備仍不夠豐富、邏輯思維能力的訓(xùn)練還不

夠充分，有些概念較抽象，與學(xué)生原有的思維習(xí)慣有

所差異。所以，學(xué)生理解平面向量基本定理和數(shù)量積

幾何意義有一定難度，需要有足夠的理解、消化、訓(xùn)

練的時間才能達(dá)到熟練掌握的要求。

結(jié)合以往的教學(xué)實(shí)踐，我估計(jì)學(xué)生會在以下幾

個方面的學(xué)習(xí)中存在困難：為了突破難點(diǎn)，理順知識

間的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生能在比較、識別向量既是代數(shù)

的對象，又是幾何的對象?作為代數(shù)對象，向量可以

運(yùn)算.作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、

平面、角度等幾何對象；向量有大小，可以刻畫長度、

面積、體積等幾何度量問題.向量由大小和方向兩個

因素確定，大小反映了向量〃數(shù)〃的特征，方向反映了

向量〃形〃的特征，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體

現(xiàn).教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)幾何直觀，突出幾何直觀對理解抽

象數(shù)學(xué)概念的作用.要強(qiáng)調(diào)向量概念的幾何背景，理

解向量運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積）及其性質(zhì)的幾何

意義.在教學(xué)中要突出數(shù)形結(jié)合思想，注意從形和數(shù)

兩個方面來理解、研究向量及其運(yùn)算.

教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模.所謂數(shù)學(xué)模型，是指針對或

參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式

化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表示出來的一種數(shù)學(xué)

結(jié)構(gòu).教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生通過對現(xiàn)實(shí)原型的觀察,

分析和比較，得出抽象的數(shù)學(xué)模型，從而使數(shù)學(xué)的學(xué)

術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接收的教育形態(tài).例如，物理

中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念都

是向量概念的原型，物理中力的合成與分解是向量的

加法運(yùn)算與向量分解的原型.同時，注重向量模型的

運(yùn)用，引導(dǎo)現(xiàn)實(shí)地解決一些物理和幾何問題.這樣可

以充分發(fā)揮現(xiàn)實(shí)原型對抽象的數(shù)學(xué)概念的支撐作用.

在向量概念教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐

富的情境.例如，物理中的力、速度、位移以及幾何

中的有向線段等概念都是向量概念的原型，物理中力

的合成與分解是向量的加法運(yùn)算與向量分解的原

型.教學(xué)中要展現(xiàn)并讓學(xué)生經(jīng)歷這個抽象的過程.同

時，注重向量模型的運(yùn)用，引導(dǎo)現(xiàn)實(shí)解決一些物理和

幾何問題.這樣可以充分發(fā)揮現(xiàn)實(shí)原型對抽象的數(shù)學(xué)

概念的支撐作用.

與數(shù)學(xué)中的概念一樣，數(shù)學(xué)對象的運(yùn)算也是一種數(shù)學(xué)

模型，它也有一個建構(gòu)的過程，它同樣是從原型中抽

象出來的.如向量的加法就是從位移的積累，從分力

和合力的關(guān)系中抽象出來的.特別地，向量的數(shù)量積

是以作功為原型抽象出來的.教學(xué)中要特別重視向量

的運(yùn)算.運(yùn)算是向量的核心內(nèi)容，要根據(jù)現(xiàn)實(shí)的原型，

自覺地〃構(gòu)造〃運(yùn)算.雖然學(xué)生對運(yùn)算并不陌生,但是，

在此之前他們接觸的運(yùn)算只有數(shù)的運(yùn)算、字母（式）的

運(yùn)算（還有集合的運(yùn)算）.現(xiàn)在要學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算，這

對于運(yùn)算的理解有一個突破.要多注意和數(shù)的運(yùn)算進(jìn)

行類比，這樣既可以有效地利用有關(guān)數(shù)的運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn),

而且可以發(fā)展對運(yùn)算的認(rèn)識.例如：在定義了運(yùn)算以

后，和數(shù)進(jìn)行類比（對比），研究向量的運(yùn)算（加、減、

數(shù)乘等等）和它們滿足的運(yùn)算律，探討運(yùn)算的應(yīng)用，就

都是很自然的了.向量的平行條件可以與直線平行條

件的類比，這樣可以加深學(xué)生對知識的理解.

中把握概念的內(nèi)涵，教學(xué)中對這部分內(nèi)容進(jìn)行整合處

理：第一課時完成倆個定義的學(xué)習(xí)以及初步運(yùn)用，第

二課時進(jìn)行拓展應(yīng)用訓(xùn)練。本節(jié)內(nèi)容概念性、理論性

較強(qiáng)，一般的教學(xué)使學(xué)生感到枯燥乏味，為此，激發(fā)

學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是關(guān)鍵。教學(xué)中要注意以學(xué)生為主,

通過師生對實(shí)例的考察研究，采用探究式教學(xué)法，讓

學(xué)生在自我思考、相互交流中去給概念〃下定義〃，去

體會概念的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。對學(xué)

生的要求，不可追求一步到位，要有一個隨著學(xué)習(xí)的

深入，逐步提高、完善的過程。

平面向量效果分析

（-）教學(xué)目標(biāo)

1、符合課標(biāo)理念，體現(xiàn)知識與技能、數(shù)學(xué)思想、解決問題以及情感態(tài)度等四個方面的要

求。

2、切合教材要求和學(xué)生實(shí)際。

3、表述準(zhǔn)確、具體，準(zhǔn)確使用刻畫知識技能與數(shù)學(xué)活動水平的目標(biāo)動詞。

（二）教學(xué)內(nèi)容

1、能駕馭教材，準(zhǔn)確地把握教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵。

2、教學(xué)內(nèi)容是現(xiàn)實(shí)的，有意義的、富有挑性的。

3、適當(dāng)補(bǔ)充相關(guān)情境材料，支持學(xué)生學(xué)習(xí)。

（三）教學(xué)過程

1、教學(xué)思路清晰，層次清楚，結(jié)構(gòu)合理，重點(diǎn)突出，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生認(rèn)

知結(jié)構(gòu)的建立。

2、開展有效的學(xué)習(xí)活動，師生、生生多邊互動，積極參與，把自主探索與合作交流作為

重要的學(xué)習(xí)形式。

3、教學(xué)節(jié)奏適當(dāng)，時空分配合理，教學(xué)進(jìn)程自然流暢。

4、師生關(guān)系和諧，情、知交融。

5、利用現(xiàn)代化信息技術(shù)，整合學(xué)科教學(xué)。

（四）教學(xué)方法

1、教學(xué)方法具有啟發(fā)性，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

2、情境創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)、有效，問題設(shè)計(jì)嚴(yán)謹(jǐn)、合理。

3、采用不同的方式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容。

4、體現(xiàn)學(xué)生的能力培養(yǎng)，情感的激發(fā)。

5、教學(xué)手段運(yùn)用得當(dāng)。

（五）教師行為

1、創(chuàng)設(shè)良好的課堂教學(xué)氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2、體現(xiàn)教師是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者，引導(dǎo)者與合作者的角色。

3、向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會。

（六）學(xué)生行為

1、在自主探索和合作交流的過程中從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。

2、學(xué)習(xí)活動是活潑的、主動的、和有個性的。

3、體現(xiàn)出學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人地位。

（七）教學(xué)效果

1、大多數(shù)學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上獲得知識、技能、情感態(tài)度等方面的發(fā)展，特別是探索精

神和創(chuàng)新意識的發(fā)展。

2、全面達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，完成教學(xué)任務(wù)。

3、學(xué)生思維活躍，表現(xiàn)出積極的情感與態(tài)度。

（A）教師素質(zhì)

1、教態(tài)自然，語言準(zhǔn)確簡練，示范規(guī)范，指導(dǎo)得法，板書科學(xué)合理。

2、能正確熟練地使用直觀教具和現(xiàn)代信息技術(shù)媒體，并合理優(yōu)化。

3、善于組織教學(xué),具有一定的教學(xué)機(jī)智,隨機(jī)調(diào)控能力強(qiáng).

4、具備寬廣的知識面和對知識的深刻理解。

《平面向量》教材分析

這一章主要介紹平面向量的基礎(chǔ)知識包括平面向量的概念、運(yùn)

算以及簡單應(yīng)用等

本章教學(xué)時間約18課時具體安排如下

5.1向量約1課時

5.2向量的加法與減法約2課時

5.4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算約2課時

5.3實(shí)數(shù)與向量的積約2課時

5.5線段的定比分點(diǎn)約I課時

5.6平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律約2課時

5.7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示約1課時

5.8實(shí)習(xí)作業(yè)約2課時

5.9研究性課題向量在物理中的應(yīng)用約3課時

小結(jié)與復(fù)習(xí)約2課時

（一）本章內(nèi)容

向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來，反過來，向量的

理論和方法又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具。向量之所以有

用關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)

轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算。這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和

平面的各種有關(guān)問題。

向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量

范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時重點(diǎn)說明了向量與數(shù)

量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法、

減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等。之后又將向

量與坐標(biāo)聯(lián)系起來，把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量（向量的坐標(biāo)）的代

數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法

----向量法和坐標(biāo)法。

本章共分兩大節(jié)

第一大節(jié)是“向量及其運(yùn)算”。內(nèi)容包括向量的概念、向量的加

法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算線段的定比分點(diǎn)、

平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平移等。

第二大節(jié)是“解斜三角形”。這一大節(jié)可以看成是向量知識的應(yīng)

用內(nèi)容包括正弦定理、余弦定理、解斜三角形應(yīng)用舉例實(shí)習(xí)作業(yè)和

研究性課題等正弦定理、余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間關(guān)系的

兩個重要定理。

教科書通過向量的數(shù)量積把三角形的邊與角聯(lián)系起來，推導(dǎo)出了

這兩個定理，并運(yùn)用這兩個定理初步解決了測量、工業(yè)、幾何等方面

的實(shí)際問題。

為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心、

啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、學(xué)會分析問題和創(chuàng)造性地解決問

題，本節(jié)中安排了一個實(shí)習(xí)作業(yè)和研究性課題教學(xué)中要加以實(shí)施。

為擴(kuò)大學(xué)生的知識面，本章中還安排了兩個閱讀材料。

本章重點(diǎn)是向量的概念向量的幾何表示和坐標(biāo)表示、向量的線性運(yùn)

算、平面向量的數(shù)量積、線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、平移公式、

解斜三角形等

本章的難點(diǎn)是向量的概念、向量運(yùn)算法則的理解和運(yùn)用等

（二）本章教學(xué)要求

L理解向量的概念掌握向量的幾何表示、了解共線向量的概念。

2.掌握向量的加法與減法

3.掌握實(shí)數(shù)與向量的積理解兩個向量共線的充要條件

4.了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐標(biāo)的概念掌握平

面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

5.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義了解用平面向量的數(shù)量積

可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題掌握向量垂直的條件

6.掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式掌握線段的定比分點(diǎn)公式和中點(diǎn)坐

標(biāo)公式

通過實(shí)習(xí)作業(yè)和研究性課題培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度對某些日常

生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究探索的能力

本章一開始從帆船航行的距離和方向兩個要素出發(fā)抽象出

向量的概念并重點(diǎn)說明了向量與數(shù)量的區(qū)別然后介紹了向量的

幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、

相等向量等基本概念、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)際是

向量的線性運(yùn)算知識

教科書先講了向量的加法、加法運(yùn)算律，然后用相反向量及向量

的加法定義向量的減法，這樣把向量的加法與減法統(tǒng)一了起來。教科

書又通過向量的加法引入了實(shí)數(shù)與向量的積的定義，接著給出了實(shí)數(shù)

與向量的積的運(yùn)算律，最后介紹了向量共線的充要條件和平行向量基

本定理，這樣為后面介紹平面向量的坐標(biāo)表示奠定了理論基礎(chǔ)。在“向

量及其表示”中，主要介紹有向線段、向量的定義、向量的長度；在

“向量的線性運(yùn)算”中，介紹向量加法的定義、向量加法的運(yùn)算律、

向量減法的定義、向量方程、向量長度的三角不等式、數(shù)乘向量的定

義、單位向量、數(shù)乘向量的運(yùn)算律。

在“向量的共線與共面”中介紹平行向量共線向量共面向量

兩個向量共線的充要條件直線的向量方程三個向量共面的充

要條件

在''向量的內(nèi)積”中介紹兩個向量的夾角向量內(nèi)積的定義向

量內(nèi)積的幾何意義向量內(nèi)積的運(yùn)算律向量內(nèi)積的性質(zhì)

通過建立直角坐標(biāo)系給出了向量的另一種表示式--坐標(biāo)表示式

這樣就使得向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系然后給出

了向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算這就為用“數(shù)”

的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁在向量坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)上還導(dǎo)

出了線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的中點(diǎn)公式

向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長度和三角函數(shù)之間的一種關(guān)系特別

用向量的數(shù)量積能有效地解決線段垂直的問題

把向量的數(shù)量積應(yīng)用到三角形中還能平面向量數(shù)量積的概念教

科書是從學(xué)生熟知

的功的概念引入的在介紹了平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義之

后又介紹

了平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)、運(yùn)算律及其坐標(biāo)表示

特別通過兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示很容易推導(dǎo)出平面內(nèi)兩點(diǎn)間

的距離公式

對這一章中概念的處理是根據(jù)概念在教科書中的地位、作用及特

點(diǎn)對一些概念是通過例舉反映概念實(shí)質(zhì)的具體的對象并充分發(fā)

揮幾何圖形的直觀的特點(diǎn)使學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上建立概念

并理解概念的實(shí)質(zhì)像向量的概念等一些概念則不僅給出嚴(yán)格的

定義還要分析滿足定義的充要條件要求學(xué)生理解、記憶并通過

適當(dāng)?shù)木毩?xí)讓學(xué)生會用像向量數(shù)量積的概念等

這一章中的一些例題不是先給出解法而是先進(jìn)行分析探索出

解題思路再給出解法

解題后有的還總結(jié)出解決該題時運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法有

的還讓學(xué)生進(jìn)一步考慮相關(guān)的問題

關(guān)于向量運(yùn)算是借助于幾何直觀并通過與數(shù)的對比引入這樣

便于學(xué)生接受第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上通過向量的加法

定義向量的減法

（三）注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

注意對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)對知識的處理都盡量設(shè)計(jì)成讓學(xué)生

自己觀察、比較、猜想、分析、歸納、類比、想象、抽象、概括的形

式從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

對于解斜三角形教科書是這樣引入的“在初中我們已會解直

角三角形就是說已會根據(jù)直角三角形中的邊與角求出未知的邊

與角那么如何來解斜三角形呢?也就是如何根據(jù)斜三角形中已知的

邊與角求出未知的邊與角呢？”通過設(shè)問引起學(xué)生思考

（四）注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透

在這一章中從引言開始就注意結(jié)合具體內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想方法

例如從帆船在大海中航行時的位移滲透數(shù)學(xué)建模的思想

通過介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練滲透平移變換的思想

由于向量具有兩個明顯特點(diǎn)一一“形”的特點(diǎn)和“數(shù)”的特點(diǎn)這

就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁向量的坐標(biāo)實(shí)際是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系

了起來進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來這樣就可用代數(shù)方程研究

幾何問題同時也可以用幾何的觀點(diǎn)處理某些代數(shù)問題因此這部

分知識還滲透了數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想

（五）突出知識的應(yīng)用

⑴加強(qiáng)向量在數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用注意突出向量的工具性很多

公式都用向量來推導(dǎo)如線段的定比分點(diǎn)公式、平面兩點(diǎn)間距離公式、

（2）加強(qiáng)向量在物理中的應(yīng)用

為培養(yǎng)學(xué)生用向量知識解決有關(guān)物理問題的能力在這一章的最后

安排了一個研究性課題即向量在物理中的應(yīng)用

對于一個物理問題首先要把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題即用數(shù)學(xué)知識建

立物理量之間的關(guān)系也就是抽象成數(shù)學(xué)模型然后再用建立起的

數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象

(3)注意聯(lián)系實(shí)際

在這一章中把聯(lián)系實(shí)際分成三個層次

第一層次在知識的引入上聯(lián)系實(shí)際

例如向量的概念從帆船航行的位移引入平面向量的數(shù)量積從力

作的功引入

第二層次引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際生活和生產(chǎn)中的問題

例如在向量的加法之后安排了求小船實(shí)際航行的速度的例題在

解斜三角形之后安排實(shí)習(xí)作業(yè)的目的是進(jìn)一步鞏固學(xué)生所學(xué)知識

提高學(xué)生分析問題解決問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語

言表達(dá)、實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果的能力從而增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識。

《平面向量》測試題

一、選擇題

1.下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底

的是()

1—

A.ei=(0,0),e2=(?2)

B.ei=(-1>2),e2=(5,7)

C.ei=（3,5）,e2=（6,10）

D.ei=(2,-3),ez=?

2.向量a=(—2,5)的起點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1),則它的終點(diǎn)坐標(biāo)為(A)

A.(O,6)B.(6,4)

C.(7,1)D.(l，7)

3.已知向量m=(A+l,1),n=(A+2,2)若(m+n)j_(m—n),

則A=()

A.—4B.—3C.—2D.—1

4.已知平面向量a=(l,2),b=(-2,m)且a//b,則2a+3b

等于()

A.(—5,-10)B.(—4,-8)

C.(—3,—6)D.(—2,—4)

5.已知兩個力Fi,Fz的夾角為90°,它們的合力大小為20N,

JI

合力與Fi的夾角為了，那么F2的大小為()

A.10NB.10-\/2NC.10^3ND.20N

6.若為，e2是平面內(nèi)夾角為60°的兩個單位向量，則向量a=

2ei+e2,b=-3e1+2e2的夾角為()

A.30°B.60°C.90°D.120°

7.設(shè)=a,=b,—c,當(dāng)c=Aa+〃b(4，〃￡R),且4+〃=l

時，點(diǎn)C()

A.在線段AB上B.在直線4B上

C.在直線4B上，除去點(diǎn)AD.在直線AB上，除去點(diǎn)B

8.若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|a|,則向量a

+b與b—a的夾角為()

JIJI2n5n

A------B萬

A.6336

9.已知0,A,B是平面上的三個點(diǎn)，直線4B上有一點(diǎn)C,滿

足2+=0,則=()

A.2—B.—+2

2112

----

333+-3

10.設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，|『=16,I

+1=1—1，則11=()

A.8B.4C.2D.1

11.已知向量a=(3,4),若|福|=5,則實(shí)數(shù)4的值為()

1.1

A-B.1C.±-D.±1

12.已知向量a與b的夾角為120°,|a|=3,\a+b\=y[13,

則向=()

A.5B.4C.3D.1

二、填空題

13.已知4B,C為圓。上的三點(diǎn)，若=；(+),則與的夾角為

14.已知向量a=(l,1),b=(2,0),貝！||2a+b|等于.

15.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=Mr+

X

(兒〃￡R),則-^=.

1A*

16.已知。(0,0)和4(6,3),若點(diǎn)P在線段。4上，=j,又點(diǎn)

P是線段OB的中點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是.

三、解答題

17.(本小題滿分12分)已知a=(l，2),b=(—3,2),若ka+

2b與2a-4b平行，求實(shí)數(shù)k的值.

18.(本小題共12分)⑴若a=(l,0),b=(~l,1),c=a+(ab)b.

(1)求|c|;

(2)已知|a|=l,|6|=＜，|a+b|=l,求a與b夾角9的值.

平面向量教學(xué)反思反思

一：平面向量基本定理教學(xué)反思

本堂課屬于概念課，作為數(shù)學(xué)的概念課是非常難講的課題,

一來你得讓學(xué)生在第一時間能清晰的對概念的內(nèi)涵和外延

有深的認(rèn)識，爭取打成思維上的認(rèn)同，避免理解的偏差和錯

誤；二來更要讓學(xué)生能融入到他原有的知識結(jié)構(gòu)體系中，把

在碰撞中的問題在起始階段幫助他們搞透徹。

這是一個很難處理的環(huán)節(jié)，因?yàn)閷W(xué)生是不是能準(zhǔn)確積極的思

維是你不能控制的，現(xiàn)在的學(xué)生總是喜歡去用這些東西死死

的去做題，根本不去深刻理解其中的內(nèi)涵，總是在不斷的做

題中去發(fā)現(xiàn)自己對概念定理的誤區(qū)，從而在錯誤中爬起來,

爬起來再倒下，如此數(shù)個回合，有些明白了，有些就覺得難

的要死.....其實(shí)根本的原因還是在第一次接觸這個內(nèi)容

的課堂中自己埋下了“慘死”的伏筆！

回首這堂課的設(shè)計(jì)，總體感覺還是不錯：

1、課前設(shè)計(jì)4個前置活動，基本已經(jīng)把定理中基本環(huán)節(jié)搞

清了，但是對于核心的部分還沒有處理好；

2、通過課內(nèi)探究的第5個活動，（學(xué)生課前的做的學(xué)案都

錯誤了）旨在讓學(xué)生養(yǎng)成一種分類討論的思想，同時更好的

明確定理中為什么兩個原始向量必須不共線；

3、作為定理的探究還要進(jìn)一步的明確任意向量都可以有兩

個原始向量線性表示中的任意，這個任意性的處理也是這堂

課中的難點(diǎn)，由此也要把定理的拓展定理搞明白，讓學(xué)生真

正知道好多問題的實(shí)質(zhì)在何方！

4、定理中存在唯一性的問題很好處理，學(xué)生理解也沒有問

題，這是很好的表現(xiàn)。

總評此定理要明確不共線、存在唯一、對于任意向量的分類

處理以及從中拓展的定理和應(yīng)用。

學(xué)生在整個課堂中的表現(xiàn)是可圈可點(diǎn)的，在新知識和舊知識

的關(guān)聯(lián)上很出彩（拓展定理的時候）；討論向量任意性的時

候分類合理到位；積極思維，可以想到共線和不共線的問題,

不足之處1、在最后的環(huán)節(jié)中處理有點(diǎn)倉促，還沒有小結(jié);

2、課堂把握上前松后緊，如果最后的課堂檢測，分組處理

會更好，這樣可以有小結(jié)反思的時間；

3、課件的制作中對于拓展定理的證明可以提到前面一張幻

燈片，這樣似乎更自然；

4、路漫漫的環(huán)節(jié)，沒有處理，本來是想出彩的，可是沒有

出上呵呵，但是我的觀點(diǎn)還是應(yīng)該把課堂延續(xù)到課外，讓學(xué)

生能知道下一節(jié)課的學(xué)習(xí)其實(shí)和以前我們學(xué)習(xí)的東西是有

連貫性的，告誡學(xué)生需要周而復(fù)始的一點(diǎn)一滴的積累，把課

堂的每一個細(xì)節(jié)都做好。

反思二：

（一）對于教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

新課程的理念中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)

時要充分考慮到數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，針對不同水平、不同興趣

學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，運(yùn)用多種教學(xué)方法和手段引導(dǎo)學(xué)生積極主

動的學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能以及它們體現(xiàn)的

數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)和發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，對數(shù)學(xué)有

較為全面的認(rèn)識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，為

未來發(fā)展和進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

（二）對于“新課引入”環(huán)節(jié)的反思

原設(shè)計(jì)：由向量的加法法則和數(shù)乘運(yùn)算引入，教師提問，學(xué)

生回答；然后直接給出問題：如果是平面內(nèi)的任意兩個不

共線的向量，那么平面內(nèi)的任意向量

可以由這兩個向量表示嗎？這就是這節(jié)課要學(xué)習(xí)的問題。

新設(shè)計(jì)：在重新思考之后，在引入上完全是學(xué)生在動手做,

通過復(fù)習(xí)向量的加法法則和數(shù)乘運(yùn)算讓學(xué)生回憶舊知并為

新知識做好鋪墊，并且這張作圖紙的功能一直貫穿整節(jié)課的

學(xué)習(xí)，也讓學(xué)生從直觀上得到平面向量基本定理的內(nèi)容作準(zhǔn)

備。應(yīng)用新的設(shè)計(jì)之后的好處是讓學(xué)生能夠很容易的進(jìn)入到

本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài)中來，因?yàn)閷W(xué)生很明白這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要

內(nèi)容，這比原來的設(shè)計(jì)方案要更加的順暢和細(xì)致，也更加符

合學(xué)生的認(rèn)知水平。

（三）對于“圖形演示”的反思

原設(shè)計(jì)的作圖過程，通過環(huán)燈片中的動畫設(shè)置（運(yùn)動路線）

可以表示出來。這樣設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是：直觀，清晰；缺點(diǎn)是:

只能夠表示平面內(nèi)有限的向量作加法來求和向量。對于在本

節(jié)課中又出現(xiàn)的平面向量基本定理中的變與不變的思想通

過作幻燈片的表示就很牽強(qiáng)。

新設(shè)計(jì)：對于上述兩種情況的處理，對于第一種情況不采用

幻燈片的形式而改用實(shí)物投影的形式，把學(xué)生自己畫的圖放

在實(shí)物投影下來觀看，并讓學(xué)生自己說明作圖的過程；第二

種情況改用幾何畫板來做，效果非常好，把定理中蘊(yùn)含的（1）

平面內(nèi)任意向量可以由兩個不共線的向量表示（即：幾何畫

板中這兩個不共線的向量不變，而讓另外一個向量隨便的變

化，也就是大小改變，方向改變，或者同時改變，無論怎樣

都可以由這兩個不共線的向量；來表示）；（2）平面內(nèi)的

任意向量（不變）可以有任意的一組基底表示（即：在幾何

畫板中基底改變而平面內(nèi)的任意向量不變）；這兩種情況通

過幾何畫板來表示效果非常的好，而且學(xué)生也易于接受。

通過這一點(diǎn)的改進(jìn)，我覺得其實(shí)在設(shè)計(jì)任何一節(jié)課時，一定

要多思考，做巧事，想辦法讓學(xué)生理解，而不是通過很漂亮

的課件。反思三：

它是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富

的實(shí)際背景.其教育價值主要體現(xiàn)在有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與

實(shí)際生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，有助

于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的創(chuàng)

造性和普遍聯(lián)系性，有助于學(xué)生發(fā)展智力，提高運(yùn)算、推理

能力

應(yīng)了解的內(nèi)容:共線向量的概念，平面向量的基本定理，用

平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題。

應(yīng)理解的內(nèi)容:向量的概念，兩個向量共線的充要條件，平

面向量坐標(biāo)的概念。

應(yīng)掌握的內(nèi)容:向量的幾何表示，向量的加法與減法，實(shí)數(shù)

與向量的積，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及幾

何意義，向量垂直的條件，。

⑵注意處理好新舊思維矛盾

學(xué)習(xí)向量運(yùn)算與學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算有類似之處:從學(xué)習(xí)順序上看,

都是先定義運(yùn)算，再研究運(yùn)算性質(zhì)；從學(xué)習(xí)內(nèi)容來看，向量

運(yùn)算具有與數(shù)的運(yùn)算類似的良好性質(zhì)。當(dāng)引入向量后，運(yùn)算

對象擴(kuò)充了，不僅僅是數(shù)的運(yùn)算了，向量運(yùn)算是建立在新的

運(yùn)算法則上，向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算不盡相同，向量不同

于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍

內(nèi)不都適用，它有一套自己的運(yùn)算法則。但很多學(xué)生往往完

全照搬數(shù)的運(yùn)算法則，而不注意向量運(yùn)算法則的特點(diǎn)，因此

在教學(xué)中要注意新舊知識之間的矛盾沖突，及時讓學(xué)生加以

辨別、總結(jié)，利于正確理解向量的實(shí)質(zhì)。例如向量的加法與

向量模的加法的區(qū)別，向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)積的區(qū)別，在坐

標(biāo)表示中兩個向量共線與垂直的充要條件的區(qū)別等等。（5）

注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透

在這一章中，從引言開始，就注意結(jié)合具體內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思

想方法。例如，從帆船在大海中航行時的位移，滲透數(shù)學(xué)建

模的思想。通過介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練，滲透平移

變換的思想。

由于向量具有兩個明顯特點(diǎn)一一“形”的特點(diǎn)和“數(shù)”的特

點(diǎn)，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標(biāo)實(shí)際是

把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來，這樣

就可用代數(shù)方程研究幾何問題。

在平面向量的教學(xué)過程中，由于內(nèi)容比較直觀，學(xué)生

對知識的理解和掌握并不困難，但運(yùn)用“平面向量”的思想

方法，去分析解決具體問題，學(xué)生很不習(xí)慣。特別是運(yùn)用平

面向量基本定理，去求平面圖形中的“點(diǎn)分線段的定比人的

值”的問題，學(xué)生感覺比較難。在教學(xué)中我所用的“多講多

練，突破難點(diǎn)”方法，效果不是很理想，有待今后進(jìn)一步探

索和總結(jié)。

在教學(xué)中，還有一點(diǎn)必須注意，那就是要充分發(fā)揮學(xué)生的主

觀能動作用，鼓勵學(xué)生用向量方法，去求解一些他們非常熟

悉的平面幾何問題，例如，用向量的方法證明勾股定理；垂

徑定理；直徑所對的圓周角是直角：三角形的三條高相交于

一點(diǎn)等等，目的是使學(xué)生盡快習(xí)慣用“平面向量”的思想方

法，去分析解決具體問題。

最后，用“平面向量方法，求證三點(diǎn)共線”，可作為

一個專題，鼓勵學(xué)生寫點(diǎn)小論文進(jìn)行交流，以期鞏固所學(xué)習(xí)

平面向量知識，提高動手能力與探索精神，激發(fā)學(xué)生們對數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

平面向量課標(biāo)分析

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它

是溝通代數(shù)、幾何與三角，有著極其豐富的實(shí)際背景.在本

章中，學(xué)生將了解平面向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量

及其運(yùn)算的意義，能用向量的語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和

物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能

力.這部分內(nèi)容的教育價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

1.通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解

平面向量以及向量相等的含義，理解向量的幾何表示.

2.掌握平面向量的加法、減法和向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解

其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.

3.了解平面向量基本定理及其意義，理解平面向量的正交

分解及其坐標(biāo)表示，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，理解用坐標(biāo)

表示的平面向量共線的條件.

4.通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義

及其物理意義，體會向量的數(shù)量積與投影間的關(guān)系，掌握數(shù)

量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會用平面向量的數(shù)量積解決有關(guān)角度和

垂直的問題.

5.經(jīng)歷向量（及其運(yùn)算）的建構(gòu)的過程，以及用向量方法解決

某些簡單的實(shí)際問題（幾何問題、力學(xué)問題等）的過程，了解

向量的實(shí)際背景，理解向量及其運(yùn)算的意義，并從中了解到

數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的深刻聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)研究方法的模式化特

點(diǎn)，感受理性思維的力量，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維的能力、運(yùn)

算能力和解決實(shí)際問題的能力.

教材解讀：

向量既是重要的數(shù)學(xué)模型，又是重要的物理模型.是刻畫和

描繪現(xiàn)實(shí)世界的重要數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實(shí)原型中抽

象出來的，它高于原型，可用于研究和解決包括原型在內(nèi)的

更加廣泛的一類問題.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)

建模過程，即“問題情景一建立模型一解釋、應(yīng)用與拓展”.本

章立足于現(xiàn)實(shí)生活，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境,

從大量的實(shí)際背景中抽象出向量的概念（數(shù)學(xué)模型），然后用

數(shù)學(xué)的方法研究向量及其運(yùn)算的性質(zhì)，再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解

決實(shí)際問題.這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，

突出了數(shù)學(xué)的來龍去脈，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成

對數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和理性思維的

目的.

力、速度、位移等在實(shí)際生活中隨處可見，這些都是向量的

實(shí)際背景，也可以用向量加以刻畫和描述.本章突出向量的

實(shí)際背景與應(yīng)用，這樣有助于學(xué)生認(rèn)識到向量與實(shí)際生活的

緊密聯(lián)系，以及向量在解決實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用，從中感

受數(shù)學(xué)的價值，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)世

界，去解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)

用意識.

向量作為代數(shù)對象，可以如同數(shù)和字母一樣進(jìn)行運(yùn)算.運(yùn)算

對象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索.數(shù)的運(yùn)算，字

母運(yùn)算，向量運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，映射、變換、矩陣運(yùn)算等都

是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算.從數(shù)的運(yùn)算、字母運(yùn)算到向量運(yùn)算，

是運(yùn)算的一次飛躍，向量運(yùn)算使運(yùn)算對象從一元擴(kuò)充到多元,

對于進(jìn)一步理解其它數(shù)學(xué)運(yùn)算具有基礎(chǔ)作用.本章要求學(xué)生

掌握向量的線性運(yùn)算（加、減、數(shù)乘）和數(shù)量積的運(yùn)算，有助

于學(xué)生體會數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義，感悟運(yùn)算、推理在探索和發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)結(jié)論，以及建立數(shù)學(xué)體系中的作用，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能

力和推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

“平面向量”的主背景源于前一章“三角函數(shù)”，仍然從圓

周上一點(diǎn)的表示（r,切出發(fā)，導(dǎo)出“既要考慮大小⑺，又要

考慮方向（口”；而自然界廣泛地存在著“既要考慮大小，又

要考慮方向”的現(xiàn)象，如力、速