2024屆河北省宣化一中張北一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆河北省宣化一中張北一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知直線：是圓的對稱軸.過點作圓的一條切線，切點為，則（）A．2 B． C．6 D．2．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．18 B．13 C．9 D．73．棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)．在一批棉花中抽測了根棉花的纖維長度（單位：），將樣本數(shù)據(jù)作成如下的頻率分布直方圖：下列關(guān)于這批棉花質(zhì)量狀況的分析，不合理的是（）A．這批棉花的纖維長度不是特別均勻B．有一部分棉花的纖維長度比較短C．有超過一半的棉花纖維長度能達(dá)到以上D．這批棉花有可能混進(jìn)了一些次品4．若三個球的半徑的比是1：2：3，則其中最大的一個球的體積是另兩個球的體積之和的（）倍．A．95 B．2 C．525．若a,b,c∈R，且滿足a>b>c，則下列不等式成立的是（）A．1a<C．a(chǎn)c26．閱讀如圖所示的程序，若運該程序輸出的值為100，則的面的條件應(yīng)該是（）A． B． C． D．7．已知兩個正數(shù)a，b滿足，則的最小值是(

)A．2 B．3 C．4 D．58．將兩個長、寬、高分別為5，4，3的長方體壘在一起，使其中兩個面完全重合，組成一個大長方體，則大長方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．9．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則（）A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出()A．5 B．8 C．13 D．21二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期為__________．12．_______________。13．在銳角中，角、、所對的邊為、、，若的面積為，且，，則的弧度為__________．14．設(shè)數(shù)列的前項和，若，，則的通項公式為_____．15．九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一”.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，滿足，且，則解下4個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為_____.16．已知向量，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知三棱錐中，是邊長為的正三角形，；（1）證明：平面平面；（2）設(shè)為棱的中點，求二面角的余弦值.18．已知，是實常數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的奇偶性，并給出證明；（2）若是奇函數(shù)，不等式有解，求的取值范圍．19．記數(shù)列的前項和為，已知點在函數(shù)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．已知函數(shù)在上的最大值為3.（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍.21．△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】試題分析：直線l過圓心，所以，所以切線長，選C.考點：切線長2、B【解題分析】

利用等差數(shù)列通項公式、前項和列方程組，求出，．由此能求出．【題目詳解】解：等差數(shù)列的前項和為，，，，解得，．．故選：．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列第7項的值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

根據(jù)頻率分布直方圖計算纖維長度超過的頻率，可知不超過一半，從而得到結(jié)果.【題目詳解】由頻率分布直方圖可知，纖維長度超過的頻率為：棉花纖維長度達(dá)到以上的不超過一半不合理本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用頻率分布直方圖估計總體數(shù)據(jù)的分布特征，關(guān)鍵是能夠熟練掌握利用頻率分布直方圖計算頻率的方法.4、D【解題分析】

設(shè)最小球的半徑為R，根據(jù)比例關(guān)系即可得到另外兩個球的半徑，再利用球的體積公式表示出三個球的體積，即可得到結(jié)論。【題目詳解】設(shè)最小球的半徑為R，由三個球的半徑的比是1：2：3，可得另外兩個球的半徑分別為2R，3R；∴最小球的體積V1=43π∴V故答案選D【題目點撥】本題主要考查球體積的計算公式，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解題分析】

通過反例可依次排除A,B,D選項；根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷出C正確.【題目詳解】A選項：若a=1，b=-2，則1a>1B選項：若a=1，b=12，則1aC選項：c2+1>0又a>b∴ac2D選項：當(dāng)c=0時，ac=bc本題正確選項：C【題目點撥】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，解決此類問題通常采用排除法，利用反例來排除錯誤選項即可，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

根據(jù)輸出值和代碼，可得輸出的最高項的值，進(jìn)而結(jié)合當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征得判斷框內(nèi)容.【題目詳解】根據(jù)循環(huán)體，可知因為輸出的值為100，所以由等差數(shù)列求和公式可知求和到19停止，結(jié)合當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)特征，可知滿足條件時返回執(zhí)行循環(huán)體，因而判斷框內(nèi)的內(nèi)容為，故選：D.【題目點撥】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的代碼應(yīng)用，根據(jù)輸出值選擇條件，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得，對其變形可得，由基本不等式分析可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，正數(shù)，滿足，則；即的最小值是；故選：．【題目點撥】本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握基本不等式應(yīng)用的條件．8、B【解題分析】

要計算長方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長方體的對角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長寬的兩個面重合；（2）長高的兩個面重合；（3）高寬兩個面重合，分別計算出新長方體的對角線，然后分別計算出外接球的表面積，最后通過比較即可求出最大值.【題目詳解】（1）當(dāng)長寬的兩個面重合，新的長方體的長為5，寬為4，高為6，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長高兩個面重合，新的長方體的長5，寬為8，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個面重合，新的長方體的長為10，寬為4，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為，顯然大長方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【題目點撥】本題考查了長方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計算公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.9、C【解題分析】

在中，利用正弦定理求出即可．【題目詳解】在中，角，，所對的邊分別為，，，已知：，，，利用正弦定理：，解得：.故選C．【題目點撥】本題考查了正弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運算問題，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

通過程序一步步分析得到結(jié)果，從而得到輸出結(jié)果.【題目詳解】開始：，執(zhí)行程序：；；；；，執(zhí)行“否”，輸出的值為13，故選C.【題目點撥】本題主要考查算法框圖的輸出結(jié)果，意在考查學(xué)生的分析能力及計算能力，難度不大.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先將轉(zhuǎn)化為余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.【題目詳解】解：最小正周期為.故答案為【題目點撥】本題考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.12、【解題分析】

本題首先可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡得出，然后根據(jù)兩角差的正弦公式化簡得出，最后根據(jù)二倍角公式以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】，故答案為【題目點撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式進(jìn)行化簡求值，考查到的公式有、、以及，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。13、【解題分析】

利用三角形的面積公式求出的值，結(jié)合角為銳角，可得出角的弧度數(shù).【題目詳解】由三角形的面積公式可知，的面積為，得，為銳角，因此，的弧度數(shù)為，故答案為.【題目點撥】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

已知求，通常分進(jìn)行求解即可?！绢}目詳解】時，，化為：．時，，解得．不滿足上式．∴數(shù)列在時成等比數(shù)列．∴時，．∴．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列通項式的求法:求數(shù)列通項式常用的方法有累加法、定義法、配湊法、累乘法等。15、7【解題分析】

利用的通項公式，依次求出，從而得到，即可得到答案?！绢}目詳解】由于表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，滿足，且所以，，故，所以解下4個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為7故答案為7.【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】

根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.【題目詳解】．【題目點撥】本題考查了向量夾角的運算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）由題意結(jié)合正弦定理可得，據(jù)此可證得平面，從而可得題中的結(jié)論；（2）在平面中，過點作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的結(jié)論求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【題目詳解】（1）證明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，過點作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的一個法向量為則解得，，即設(shè)平面的一個法向量為則解得，，即由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【題目點撥】本題主要考查面面垂直的證明方法，空間向量的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18、（1）為非奇非偶函數(shù)，證明見解析；（2）．【解題分析】

（1）當(dāng)時，，計算不相等，也不互為相反數(shù)，可得出結(jié)論；（2）由奇函數(shù)的定義，求出的值，證明在上單調(diào)遞減，有解，化為有解，求出的值域，即可求解.【題目詳解】（1）為非奇非偶函數(shù)．當(dāng)時，，，，因為，所以不是偶函數(shù)；又因為，所以不是奇函數(shù)，即為非奇非偶函數(shù)．（2）因為是奇函數(shù)，所以恒成立，即對恒成立，化簡整理得，即．下用定義法研究的單調(diào)性；設(shè)任意，且，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為有解，且函數(shù)為奇函數(shù)，所以有解，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以有解，，的值域為，所以，即．【題目點撥】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，單調(diào)性證明及應(yīng)用，以及求函數(shù)的值域，屬于較難題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

(1)本題首先可根據(jù)點在函數(shù)的圖像上得出，然后根據(jù)與的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項公式；(2)首先可根據(jù)數(shù)列的通項公式得出，然后根據(jù)裂項相消法求和即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】(1)由題意知.當(dāng)時，；當(dāng)時，，適合上式.所以.(2).則?！绢}目點撥】本題考查根據(jù)數(shù)列的前項和為求數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和，與滿足以及，考查計算能力，是中檔題。20、（1）,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解題分析】

（1）運用降冪公式和輔助角公式，把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式，根據(jù)已知，可以求出的值，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）由（1）結(jié)合已知，可以求出角的值，通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍，結(jié)合已知是銳角三角形，三角形內(nèi)角和定理，最后求出的取值范圍.【題目詳解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由已知，∴由得，因此所以因為為銳角三角形，所以，解得因此，那么【題目點撥】本題考查了降冪公式、輔助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)運算能力.21、（Ⅰ）B=（Ⅱ）【