高中數(shù)學(xué)必修二第八章第4節(jié)《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題 (五)(含解析)

第八章第4節(jié)《空間點(diǎn)'直線'平面之間的位置關(guān)系》解答題(5)

1.在三棱柱ABC-AiBiCi中，CQJ■平面ABC,ABVAC,AB=AC=AAltE是41cl的中點(diǎn).

(I)求證：AB±CE；

2.如下圖，四棱錐P—4BCD的底面為正方形，平面PADJL平面ABC。，PA=PD.

(1)求證：PD1AB；

(2)若直線PA與8c所成角為會(huì)求平面PA。與平面P8C所成銳二面角的余弦值.

3.從①冊(cè)=2z，②G是P8的中點(diǎn)，③G是的內(nèi)心三個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下

面問(wèn)題中，并完成解答，在四棱錐P-4BC0中，底面A2CO是矩形,PD1底面A8CD,且P。=1,

AB==2,E,尸分別為尸C,80的中點(diǎn).

(1)判斷EF與平面PAD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(2)若G是側(cè)面P8C上的一點(diǎn)，且____，求三棱錐G—DCE的體積.

4.如圖，在四棱錐P-ABCD^,底面A8CD是直角梯形，/.BAD=90°,AD//BC,AB=BC=1,

AD=2,PAL底面ABC。，PC與底面成45。角，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).

(1)求證：BE1PD-.

(2)求二面角P-CD-4的余弦值.

5.如下圖所示，在矩形A8CQ中，已知=E是AO的中點(diǎn)，沿BE將△力BE折起至△A'BE

的位置，使4c=4。。求證：平面ABE1平面BCCE.

6.在四棱錐P-4BCD中，APAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCO為直角梯形，AB//CD,

AB1BC,BC=CD=1,PD=V2.

(1)證明：AB1PD.

(2)求二面角A-PB-C的余弦值.

7.如圖，在四面體A8C。中，△4BC是等邊三角形，平面4BC_L平面A8Z),點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn),

AB=2,AD=2百，/-BAD=90°.

(I)求證：AD1BC；

(II)求異面直線8c與MQ所成角的余弦值；

(HI)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.

8.如圖，在四面體A2CZ)中，AABC是等邊三角形，平面4BC_L平面A8Z),點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn),

AB=2,AD=2<-3./.BAD=90°.

(1)求證：AD1BC；

(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值；

(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.

9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CO為矩形，平面24。1平面ABC。，PA1PD,PA=PD,

E,尸分別為AO,尸8的中點(diǎn).

B

(1)求證：PE1BC；

(2)求證：平面PAB_L平面PCD；

(3)求證：PCD.

如圖，在三棱柱中，2PAi，GQ=2QAi.求證:直線----

10.BiP=w

BP,C。相交于一點(diǎn).

11.三個(gè)平面分空間有幾種情況？試畫圖說(shuō)明每種情況可把空間分成幾個(gè)部分?

12.如圖，在正方體ABCO-AiBiGDi中.E是44］的中點(diǎn)，畫出過(guò)5,

C,E的平面與平面的交線，并說(shuō)明理由.

13.如圖，已知三棱柱4BC-&BiCi中，平面441cle_L平面ABC,AAr=AC,AC1

(1)證明：AiClABi；

(2)設(shè)4C=2CB,^AXAC=60°,,求二面角6一4/一B的余弦值.

14.如圖，在四棱柱ABCD-4避傳15中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形

ABCQ是菱形且4B=BC=2百，/-ABC=120°,若異面直線和

所成的角為90。，試求4必的長(zhǎng).

15.如圖，力BCD—4/GD1是正方體，在圖(1)中，E,尸分別是G5，BBi的中點(diǎn)，畫出圖(1),

圖(2)中有陰影的平面與平面A8C0的交線，并給出證明.

圖⑴

圖⑵

16.如圖，E,F,G,"分別是空間四邊形A8CO各邊上的點(diǎn)，旦=力”:“。=m,CF-.FB

CG:GD=n.

(1)證明：E,F,G,"四點(diǎn)共面;

(2)m,〃滿足什么條件時(shí)，四邊形EFG/7是平行四邊形？

A

17.如圖，已知在四面體力-BC。中，E,尸分別是AB,AO的中點(diǎn)，G,H分別

是8C,CD上的點(diǎn)，且第=黑=2.求證：直線EG,FH,4c相交于同一點(diǎn).

GCHC

18.如圖，正方體力BCD-4B1GD1的棱長(zhǎng)為2,P是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)。是棱CG上的動(dòng)點(diǎn).

(1)點(diǎn)。在何位置時(shí)，直線OiQ,DC,A尸交于一點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

(2)求三棱錐&-DBQ的體積；

(3)棱CG上是否存在動(dòng)點(diǎn)。，使得與平面ZQDi所成角的正弦值為也，若存在指出點(diǎn)。在棱CG

9

上的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

19.圖1是由矩形A￡>EB、Rt44BC和菱形8FGC組成的一個(gè)平面圖形，其中BE=BF,將其沿AB,

BC折起使得BE與8尸重合，連結(jié)OG,如圖2.

圖1圖2

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面；

(2)證明：平面4BCJ■平面8CGE.

20.如圖，直棱柱ABCO-ABiGDi的底面是菱形，E,尸分別為棱

C。的中點(diǎn)，ABA.EF.

(1)求證：4B140；

(2)若40=4a,求二面角B—EF-O的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：（I）證明：因?yàn)閑q_L平面A8C,

所以CCiLAB......................(2分)

XAB1AC,ACnCCj=C,ACu平面AAiCiC,CCX^-^AA^C,

所以AB_L平面441clC.-----------------(4分)

因?yàn)镃Eu平面441GC,

所以4B1CE.-----------------(5分)

（口）解：在三棱柱ABC-AiBiG中，CCJ/AA1,

因?yàn)橛蒀GJ■平面ABC,

所以1平面48c.

所以AB,AC,44］兩兩垂直.

如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,------------（6分）

所以4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),E(0,l,2).

設(shè)平面BCE的法向量為方=(x,y,z),

因?yàn)樵?(-2,2,0)，CE=(0,-1,2).

里?記=0即—2%+2y=0

所以

-CE-n=0—y+2z=0*

令z=1,則x=2,y=2.

所以平面BCE的一個(gè)法向量為元=（2,2,1）.(9分)

因?yàn)?B_L平面441clC,

所以平面ACE的一個(gè)法向量為荏=（2,0,0）.-----------------（10分）

所以cos<AB,n>=蠹=..............（13分）

所以二面角B-CE-4的余弦值為|.

解析：(I)證明CG1AB,結(jié)合ZB1AC,推出力B_L平面a&GC,然后證明AB1CE.

(口)說(shuō)明AB,AC,44i兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系4一xyz,求出平面BCE的法

向量，平面8CE的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角B-CE-4的余弦值即可.

本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，邏輯推

理能力，以及計(jì)算能力，是中檔題.

2.答案：證明：⑴???四棱錐P-ABCD的底面為正方形，???4BLAD,

又平面P4。1平面ABCD,平面P400平面4BC0=AD,

ABJ_平面PAD,又PDu平面PAD,

AB1.PD,即PD_LAB.

解：(2)取AO,8c的中點(diǎn)。，N,連接PO,ON,則。N〃4B,結(jié)合(1)知ON，平面PA。，

因?yàn)镻A=PO,所以，POLAD,所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，04,ON,OP分別為x軸，y軸，

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

因?yàn)锳D〃BC,且直線PA與8C所成角的為9,所以，/-PAD=又PA=PC,

所以，P0=2。，令A(yù)B=2,

則P(0,0,1),C(-l,2,0),0),

所以，CB=(2,0,0),CP=(1,-2,1)＞

B

設(shè)記=(x,y,z)是平面8PC的一個(gè)法向量，則偌%即仁;y+z=o，

取y=l,貝i]z=2,所以沅=(0,1,2),

又記=(0/，0)是平面幺。的一個(gè)法向量，

所以，COS＜沆'元＞=品=高=?,

所以，所求二面角的余弦值為

解析：本題考查了空間中的垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化以及利用空間向量求解二面角，屬于中檔題.

(1)由面面垂直性質(zhì)定理可知，ABPAD,即可證明P014B；

(2)取AO,BC的中點(diǎn)。，N,連接PO,ON,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4,ON,OP分別為x軸，y軸,

Z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,利用向量法求解二面角.

3.答案：解：(1)EF與平面平行.

證明如下：

連接AC,則4c與8。交于尸點(diǎn)，

在AP4C中，E,尸均為中點(diǎn)，;EF〃P4

???EFC平面PAD,PAu平面PAD,

：.EF〃平面PAD.

(2)選搽條件①：

vPDABCD,BCu平面ABC。，PDIBC,

又?.?底面ABCD是矩形，CD_LBC,

vPDCCD=D,；.BC，平面PDC,

?.?就=2元，；.G是BC的三等分點(diǎn)，且GC=，BC,

???BC=AD=2,.?.三棱錐G-OCE的高為GC=|,

PD_L底面ABCD,DCu底面ABCD,:.PD1DC,

在APDA中，E為8力中點(diǎn)，

SMDE=3x3xPDxDC=

???三棱錐G-DCE的體積為：

%-DCE=^SADCE.GC=[X曰X|=3

選擇條件②：

VPDABCD,BCtz^ABCD,：.PDLBC,

???底面ABCD是矩形，CDJ_8C,

???PDCtCD=D,：.BC1平面PDC,

???G是P8中點(diǎn)，E是PC中點(diǎn)，

.??在APBC中，GE--BC,

2

???三棱錐G-DCE的高為GE=1,

vPD，底面ABCD,DCu底面ABCD,PD1DC,

在APOC中，E為PC中點(diǎn)，

：?S&CDE="X|XPDxDC=亭

三棱錐G-DCE的體積為：

^G-DCE=1^ADCE.GE=9x^X1=

選擇條件③：

...POj_平面ABCD,BCu平面ABCD,PD1BC,

???底面ABCD是矩形，CD1BC,

vPDCCD=D,BC_L平面PDC,

設(shè)△PBC的內(nèi)切圓與PC邊相切于點(diǎn)兒則GH1PC,

?1-BC，平面PCD,PCu平面PCD,BCLPC,：.GH//BC,

???三棱錐G-DCE的高為GH,

在Rt△「￡)(?中，PG=yJPD2+DC2=2.BC=2,

1

PB=yJPC2+BC2=2A/2，：?GH=T廠=2-^2,

-1(2+2+2V2)

???PD，底面ABCD,DCu底面ABCD,PD1DC,

在APOC中，E為PC中點(diǎn)，

S^CDE—I^APDC=：X：XPDXDC=學(xué)

???三棱錐G-OCE的體積為：VG-DCE=2的?GH=[xfx(2-必=筆”

解析：(1)連接AC,則AC與8。交于F點(diǎn)，推導(dǎo)出EF〃P4,由此能證明EF〃平面PAD

(2)選擇條件①：推導(dǎo)出PD1BC,CD1BC,從而BC1平面POC,再推導(dǎo)出三棱錐G-DCE的高為

GC=~,由此能求出三棱錐G-DCE的體積.

選擇條件②：推導(dǎo)出PD1BC,CD1BC,從而BCJ_平面PDC,再推導(dǎo)出三棱錐G-DCE的高為GE=

1,由此能求出三棱錐G-OCE的體積.

選擇條件③：推導(dǎo)出PD1BC,CD1BC,從而BC_L平面PDC,設(shè)△PBC的內(nèi)切圓與PC邊相切于

點(diǎn)、H,則GH_LPC,三棱錐G—DCE的高為G”，由此能求出三棱錐G—DCE的體積.

本題考查線面位置關(guān)系的判斷與證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間

的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

4.答案：(1)證明：連接AE.

p

VPA1底面ABCD,PD與底面成45。角，

.?/PDA=45°,△P4C為等腰直角三角形.

??,點(diǎn)E是尸。的中點(diǎn)，

???AE1.PD,

PAJL底面ABCD,PAu面PAD,

.,.面PAD1底面ABCD,

而面240n底面ABC。=AD,LBAD=90°,

???BALAD,

：.BA-L面PAD,

又PDu面PAD,

???BALPD,

又4EnB4=A,AE,BAc?ABE,

PD_L面ABE,

又BEu面ABE,

BE1PD.

(2)解：連接AC,“C4為二面角P-CD-A的平面角.

取4。中點(diǎn)尸，連接C/，/.BAD=90°,AB=BC=1,

p

四邊形ABC尸是正方形，乙4CF=45。，又AD=2,

???FD=CF=1,乙FCD=45°,

???Z.ACD=90°,即4cle0.

又PAICD,ACCiPA=A,AC,PAu面PAC,

???CDJL面PAC,

又PCu面PAC,

：.PCLCD,

即4PCZ為二面角P-CD-A的平面角.

在RMPAC中，AC=V2.PA=AD=2,PC=>JAC2+PA2=V6.

則cos/PCA=能=親=苧.

所以二面角P-CD-4的余弦值為四.

3

解析：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、

計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力，為中檔題.

(1)要證BEJ.PD,可以通過(guò)證明PDJ■面ABE得出.利用BA1面PA力得出BA1PD,結(jié)合△PAD為

等腰直角三角形.得出力E1PD,能證明PD_L面ABE.

(2)連接AC,在四邊形ABCD中，先得出乙4C。=90°,結(jié)合P41CD,得出NPC4為二面角P-CD-A

的平面角，在Rt^PAC中求解即可.

5.答案：解：證明：如圖所示，取CQ的中點(diǎn)M,BE的中點(diǎn)N,連接4'M,A'N,MN,則MN〃BC.

A'N1BE.1??A'C=A'D，:A'M1CD.

在四邊形BCDE中，CD1MN,

又MNflA'M=M,CD_L平面力'MMCD1A'N.

■：DE〃BC旦DE=^BC,：.BE必與CD相交.

又A'NLBE,A'N_LCD,4N1平面BC￡?E.

乂A'Nu平面48E,.?.平面4BE_L平面BCDE.

解析：根據(jù)面面垂直的判定定理可知，要證明平面ABE_L平面BCQE,只需證明平面4BE內(nèi)的一條

線段與平面3CDE垂直即可；

取圖中BE,CD的中點(diǎn)N,M,連接4",MN,A'N,則MN〃BC,根據(jù)題意4B="D,E是AD

的中點(diǎn)，可證得4N1BE；

直角梯形BCOE中，可得CD1MN,從而可證CD1平面AMN,故CD1AN；

再結(jié)合C。、BE是平面8CCE內(nèi)的兩條相交直線，能證得AN1平面8CDE,從而解答題目.

6.答案：

(1)證明：取AB的中點(diǎn)例，連接。M,PM,

???△。48為等邊三角形，二43人「用.

???在直角梯形ABCD中，AB1BC,AB=2,BC=CD=1,

AD—BD-V2,

1MB為等腰三角形，AB1DM.

vPMnDM=M,PMC平面PDA/.DMC平面PDA/,

AB_L平面PDM.

■：PDu平面PDM,：.AB1PD;

(2)解：由⑴知,DM,DC,OP兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,則4(1,-1,0),

0),C(0,l,0),P(0,0,V2)>

則南=(0,2,0),PB=(1,1,-V2).BC=(-1,0,0).

設(shè)平面APB的法向量為沆=(x,y,z),

亞?=0唧［2y=0,令x=?得沅=(91).

IPBm=0,1%+y-V2z=0,v7

設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量為元=(a,b,c),

{PB?云=0,即ja+b—42c=0

IBC-n=o'l-ci=0'

可得平面PBC的一個(gè)法向量為記=(0,四,1),

???8貿(mào)沅，力=而強(qiáng)=3

又二面角力-PB-C為鈍二面角，故其余弦值為一

解析：本題考查異面直線垂直的判定，考查利用空間向量求二面角余弦值的應(yīng)用，考查空間中直線

與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

(1)取AB的中點(diǎn)M,連接。M,PM,由題可知48_LPM.在直角梯形A8CD中，

求出AD=8D=VL可知4BJL0M,進(jìn)而得證AB_1_平面即可求證4BJ.PD.

(2)由。例，DC,OP兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,求出各點(diǎn)坐標(biāo)得到

AB=(0,2,0)，麗=(1,1,-V2).BC=(-1,0,0).即可求出平面4PB的法向量記=(短0,1),平面PBC

的一個(gè)法向量為元=(0,V2,1)，即可求出二面角4-PB-C余弦值.

7.答案：(I)證明：由平面4BC_L平面ABD,平面ABCn平面4B0=A

AB,ADu平面ABD,ADLAB,___Q

得4D_L平面ABC,又BCu平面ABC,故ADLBC；B4"\產(chǎn)

(口)解：取棱AC的中點(diǎn)N,連接MN,ND,

???M為棱AB的中點(diǎn)，故MN〃BC,

???NDMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC與例力所成角，

在Rt△ZMM中，AM=1,故。M=y/AD2+AM2=y/13,

-：AD_L平面ABC,ACu平面ABC,故AD1AC,

在Rt△DAN中，AN=1,故ON=y/AD2+AN2=V13-

在等腰三角形。MN中，MN=1,可得coszDMN=**=史，

DM26

???異面直線BC與MD所成角的余弦值為運(yùn)；

26

(皿)解：連接CM,

???△ABC為等邊三角形，"為邊AB的中點(diǎn),

故CM1AB,CM=V3-

又?.?平面4BC_L平面ABD,平面ABCCl平面4BD=AB,而CMu平面ABC,

故CM_L平面ABD,則4CDM為直線CD與平面ABD所成角，

在RtACA。中，CD=y/AC2+AD2=4，

在RtACMD中，sinzCDM=—=^.

CD4

???直線CD與平面ABD所成角的正弦值為立.

4

解析：本題考查異面直線所成角、直線與平面所成角、平面與平面垂直等基本知識(shí)，考查空間想象

能力、運(yùn)算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.

（I）由平面4BC_L平面結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得4。1平面ABC,則4。1BC；

（口）取棱47的中點(diǎn)乂連接MMND,又M為棱AB的中點(diǎn)，可得4DMN（或其補(bǔ)角）為異面直線

BC與"。所成角，求解三角形可得異面直線BC與例力所成角的余弦；

（皿）連接CM,由A/IBC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，可得CM14B,且CM=B，再由面面

垂直的性質(zhì)可得CM平面A8。，則NCOM為直線C。與平面所成角，求解三角形可得直線C。

與平面ABD所成角的正弦值.

8.答案：（1）證明：由平面4BC_1_平面相￡>,平面4BCn平面480=48,ADu平面ABC,ADLAB,

得4。，平面ABC,又BCu平面ABC,故ADIBC；

（2）解：取棱AC的中點(diǎn)N,連接MV,ND,

???M為棱48的中點(diǎn)，故MN〃BC,

NDMN（或其補(bǔ)角）為異面直線BC與M。所成角，

在Ht△ZMM中，AM=1,故。M=V/4D2+AM2=VH，

???AD_L平面ABC,ACu平面ABC,故AD1AC,

在Rt△DAN中，AN=1,故。N=y/AD2+AN2=V13，

在等腰三角形OWN中，MN=1,可得coszDMN=赳?=匡，

DM26

???異面直線BC與所成角的余弦值為每；

26

(3)解：連接CM,

???△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，

故CM_LAB,CM=V3.

又?.?平面力BC_L平面ABD,平面SBC0平面ABD=AB,而CMu平面ABC,

故CM_L平面ABD,則4CDM為直線CD與平面ABD所成角，

在RtACAD中，CD=y/AC2+AD2=4，

在RtZsCMD中，sinzCDM=—=^.

CD4

二直線CO與平面AB。所成角的正弦值為攻.

4

解析：本題考查異面直線所成角、直線與平面所成角、平面與平面垂直等基本知識(shí)，考查空間想象

能力、運(yùn)算求解能力與推理論證能力，屬于拔高題.

(1)由平面ABC_L平面ABD,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AD1平面ABC,則力。1BC；

(2)取棱AC的中點(diǎn)N,連接MMND,又"為棱A3的中點(diǎn)，可得/DMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC

與MD所成角,求解三角形可得異面直線BC與MD所成角的余弦；

(3)連接CM,由△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，可得且CM=遮，再由面面

垂直的性質(zhì)可得CMJ?平面AB。，則4CDM為直線CD與平面48。所成角，求解三角形可得直線C。

與平面A3。所成角的正弦值.

9.答案：證明：(1)P4=PD,E為AO的中點(diǎn)，可得PEJ.4D,

底面ABCD為矩形，可得,

則PE1BC

(2)?.?底面ABC。為矩形，

ABLAD,

???平面PACJ■平面48C￡>,:-WiPADr]^v.ABC'DAD,ABu平面ABC。，

AB_L平面PAD.

?：PDC平面PAO

AB1PD,

XvAPPD,且ABCAP=4,A/?U平面P、3,.■4PU平面P，I3,

PD，平面PAB,

又?：PDu平面PCD

.??平面P4B_L平面PCD.

(3)如圖，取PC中點(diǎn)G,連接FG,GD.

F,G分別為PB,PC的中點(diǎn)，

FG//BC,且FG=：BC

???四邊形ABC。為矩形，且E為AO的中點(diǎn)，

ED//BC,DE=拙,

DE//FG,且EO=FG,

四邊形EFGD為平行四邊形，

：.EF//GD,

又EF不在平面PCD內(nèi)，GD在平面PCD內(nèi)，

???EF〃平面PCO.

解析：本題考查線面和面面的位置關(guān)系，考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判斷

和性質(zhì)，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.

(1)由等腰三角形的三線合一性質(zhì)和矩形的對(duì)邊平行性質(zhì)，即可得證；

(2)作出平面PAB和平面PCQ的交線，注意運(yùn)用公理4,再由面面垂直的性質(zhì)和兩個(gè)平面所成角的

定義，即可得證；

(3)取PC的中點(diǎn)從連接FH,運(yùn)用中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的

判定定理，即可得證.

10.答案：證明：如圖，連接PQ.

由B]P=2P/i，GQ=2Q』I，

得PQ〃BIG，且PQ=：B1C1.

又BC〃B1Q,BC=BJCI.

???四邊形8CQP為梯形，

；.直線BP,C。相交，設(shè)交點(diǎn)為R,

則ReBP,RECQ.

又BPu平面/L41B1B,CQu平面44心。，

R€平面4&B1B,且RW平面A41GC,

R在平面Z&BiB與平面441cle的交線上，

即Re441，

直線441，BP,CQ相交于一點(diǎn).

解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)及推論，空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

連接尸。，由題意可推出四邊形8CQP為梯形，直線BP,C。相交，設(shè)交點(diǎn)為R,則可推出Reaa，

由此可得結(jié)論.

11.答案：解：三個(gè)平面共有5種情況.三個(gè)平面可把空間分成4（如圖①）、6（如圖②③）、7（如圖④）

或8（如圖⑤）個(gè)部分.

（1）當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成四部分，如圖①;

(2)當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成六部分，如圖②；

(3)當(dāng)三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成六部分，如圖③；

(4)當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時(shí)，將空間分成七部分，如圖④；

(5)當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點(diǎn)時(shí)，將空間分成八部分，如圖⑤.

解析：本題考查的是平面與平面之間的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平面與平面之間的幾

種位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，可以將幾種可能的情況畫出，結(jié)合平面的延展性可知，數(shù)出三個(gè)平面可將空間分成多少

部分.

12.答案：解：取AB中點(diǎn)凡連結(jié)EF、CF,則EF是過(guò)。1，C,E的

平面與平面ABB14的交線

理由如下：連結(jié)4B,在△力1AB中，

,:E、尸分別是4人、AB的中點(diǎn)，

EFf/A^B,

???在正方體ABC。-4送也1。1中，A、B“DC

???D】C〃EF,.?.平面D/FC是Di，C,E的平面，

???平面OiEFCn平面ABBiAi=EF,

???E尸是過(guò)0],C,E的平面與平面4BB送1的交線.

解析：取4B中點(diǎn)尸，連結(jié)EF、CF,則EF是過(guò)5，C,E的平面與平面的交線.

本題考查兩平面的交線的畫法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面的基本性質(zhì)及推論的合理

運(yùn)用.

13.答案：解：(1)連接AG，

???在三棱柱ABC-4/傳1中，AAr=AC,

???四邊形/MiG。為菱形，

???平面AAiGCJ■平面A8C,平面44iCiCn平面ABC=AC,

BCu平面ABC,BC'±AC?

3C_L平面44GC,

又?.?BC7/B1G，..Z?iC_L平面441C1C,

vArCu平面4416。，

B\C\A-A\C,

AC^DB1C1—G，且4G，81clu平面ZBiG

，小。_1.平面4B1C1，而力BlU平面4BlG，

.4|C±.4Z?i；

(2)取為Ci的中點(diǎn)為M,連接CM,

AA-i=AC,四邊形Z&CiC為菱形，乙Ai.ALW),

.?CULAiG，CAf±AC>

又?.■「A/L3C'，以C為原點(diǎn)，C4C8,CM為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

設(shè)CB=1,AC=2CB=2,AAr=AC,乙4"。=60。，

???C(0,0,0),做1,0,V3).A(2,0,0),B(0,l,0),^(-1,1,遮),

由(1)知，平面G481的一個(gè)法向量為鬲=(1,0,73),

設(shè)平面ABB1的法向量為記=(x,y,z),則元1AB,n148；,

(n-AB=0

"\n-AB；=O,

vAB=(-2,1,0)，福=(-3,1,73),

(—2x+y=0

1—3%+y+V3z=0'

令無(wú)=1,得y=2,z=蠢,即元=(1,2,白)，

???cos<CAi，n>==-=—

1|%|同2*欄4,

由圖可知二面角G-4B1-B為鈍角，

???二面角G-4B1-B的余弦值為一字

解析：本題主要考查直線與直線垂直的判斷，以及利用空間向量求二面角的大小，屬于中檔題.

(1)連接4G，先證BCL平面4&GC,又由BC//B1G，得BQU?平面44停停，得BiCU4C,證

明AC_L平面4&G，而AB】u平面4B1G，即得4CL4B；

(2)取41cl的中點(diǎn)為M,連接CM,先證明C4CB,CM兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，易得平面GAB1

的一個(gè)法向量為西=(1,0,遮)，再求出平面ABB1的法向量為瓦由cos<E，i?>=篇焉，即得

二面角G-AB1-B的余弦值.

14.答案：解：

如圖，連接CDi，AC.

由題意得，在四棱柱4BCD-A/iG。中,A\D\〃BC,4必=BC=2b,

???四邊形&BCD1是平行四邊形，[A\B"CD[,

二為和所成的角.

???異面直線和所成的角為90。，

???UD]C=90°.

??,在四棱柱ABC。-4181C1D1中，側(cè)面都是矩形，且底面是菱形，

力CD1是等腰直角三角形，二ADr=^-AC.

,?,底面四邊形ABCD是菱形且AB=BC=2b，乙4BC=120°,4c=2bxsin60°x2=6.

ADX=當(dāng)AC=3V2,

AAt=J（4。1）2—（&￡>1）2=y/6-

解析：本題主要考查空間中直線的長(zhǎng)度的求解，異面直線，屬于中檔題.

連接。。1，AC,由題意得，四邊形&BC。］是平行四邊形，則&B〃CD1，NAD1C為和所成的

角.結(jié)合題意，知NADiC=90。，求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得4劣的長(zhǎng)，即可求出力久的長(zhǎng).

15.答案：解：如下圖1,設(shè)N為CQ的中點(diǎn)，連接NE,NB,則EN〃BF,

B,N,E,F四點(diǎn)共面，

???EF與NB的延長(zhǎng)線相交，設(shè)交點(diǎn)為M,連接4W.

MGEF,且MeNB,EFu平面4E凡NBc￥?ABCD,

M是平面ABC。與平面AE尸的公共點(diǎn)，

又??,點(diǎn)A是面ABCD和平面AEF的公共點(diǎn)，

4”為兩平面的交線.

如下圖2,延長(zhǎng)。C到點(diǎn)M,使CM=DC,連接BM,C】M,則如“〃。傳〃&B,

AM在平面&BG內(nèi)，

又,:M在平面ABCD內(nèi)，

M是平面4/Ci與平面ABCD的公共點(diǎn)，又8是平面4BC1與平面ABCD的公共點(diǎn)，

???是平面4BG與平面ABCD的交線.

圖2

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)以及交線的畫法，考查空間想象能力，屬于中檔題.

先找出兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，再畫出過(guò)它們的直線，該直線即為兩個(gè)平面的交線.

16.答案：（1）證明：因?yàn)锳E：EB=AH：HD,

所以EH〃BD.

又CF-.FB=CG-.GD,

所以FG〃BD.

所以EH〃FG.

所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.

(2)解：當(dāng)EH〃尸G,且EH=FG時(shí)，四邊形EFG”為平行四邊形.

因?yàn)樾鐰Em

AE+EBm+lf

所以芯"=含8。.

同理可得FG=-^8。，由EH=FG,得m=n.

n+1

故當(dāng)m=n時(shí)，四邊形EFG”為平行四邊形.

解析：本題考查了平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由已知條件可以證明出EH〃尸G,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面;

(2)根據(jù)題意可得EH=FG=^BD,故當(dāng)m=ri時(shí)，四邊形為平行四邊形.

17.答案：證明：如圖所示,

vE,F分別是AB、A。中點(diǎn),

//1

???EF=-BZ).

2

又p:一BG=—DH=n2,

GCHC

???GH=-BD<

3

EF//GHREF*GH,故四邊形EF”G是梯形.因此EG、尸，必交于一點(diǎn)，設(shè)EGnFH=P.

???EGu平面ABC,FHu平面ACD,

Pe平面ABC,Pe平面ACD.

又?.?平面力BCn平面ACD=AC,

PeAC,即AC過(guò)點(diǎn)EG與尸”的交點(diǎn)P,故直線EG、FH、4c相交于一點(diǎn)P.

解析：本題考查四邊形是梯形的證明，解題時(shí)要注意三角形中位線定理和平行線等分線段成比例的

靈活運(yùn)用，由已知條件推導(dǎo)出EF〃HG,且EF十HG,由此能證明四邊形GHFE是梯形.

18.答案：解：(1)當(dāng)。是棱CQ的中點(diǎn)時(shí)，直線DiQ,OC,AP交于一點(diǎn).

理由：延長(zhǎng)IQ、OC交于點(diǎn)0,則QC為ADD1。的中位線，

所以C為。。的中點(diǎn)，

延長(zhǎng)AP、DC交于點(diǎn)O,

則PC為44。。的中位線，

所以C為。。，的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)。與點(diǎn)0'重合，

所以直線DiQ,DC,AP交于一點(diǎn)；

114

(2"B「DBQ=^D-B1BQ=]Xqx2x2)X2=]：

(3)以。為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建系如圖:

則0(0,0,0),4(2,0,0),8式2,2,2),

Q(0,2,Q,Di(0,0,2),

河=(-2,0,2)，AQ=(-2,2,A)-西=(2,2,2)，

設(shè)面4QDi的法向量為元=(x,y,z),

則行吸u，

(ri?AQ—0

(—2x+2z=0

(-2.x+2y+Xz-O'

?。?2,z=2,y=2—A,

即有=(2,2—尢2),

設(shè)。與