概率第三章習(xí)題集標(biāo)準(zhǔn)答案

習(xí)題三

1、設(shè)(X,y)的分布律為

X

123

Y

11/61/91/18

21/3a1/9

求〃。

解：由分布律的性質(zhì)，得

VVp.=l^a>0,即'+駕^~H~1+也1=-1,

—"69B39

1J

a>0,

2

解得，a=-

9o

注：考察分布律的完備性和非負(fù)性。

2、設(shè)(X/)的分布函數(shù)為尸(占y),試用

方(占用表示：

(l)P{a<X<b,Y<c}；(2)P{0<y<6)；

(3)P{XN〃,y<妍.

解：根據(jù)分布函數(shù)的定義X,得

(l)P[a<X<b,Y<c}=P{X<b,Y<c}；

-P{X<a,Y<c}=F(b,c-)-F(a-,c-)

⑵

p{o<y<6}=P{x<4-00,y<b]-P{x<4-ao,y<0}

=F(+oo,Z>~)-F(+oo,0)

(3)

P{X>a,Y<b}=P{X<4-00,7<b}_P{X<a.Y<b}

=F(+oo,Z>")—F(a~^b~)

3、設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的分布函數(shù)為

F(x,y),分布律如下:

X

234

Y

11/4001/16

21/161/401/4

301/161/160

13

試求：(1)P{—<x<—,o<y<4}；

22

(2)P{l<X<2,3<y<4};(3)F(2,3).

解：由(x,y)的分布律，得

(i)

13

p{-<x<-,o<y<4}

22

=P{X=1,Y=1}+P{X=l,Y=2}+P{X=l,y=3}

5

a+±+0=A;

41616

(2)

P{l<X<2,3<y<4}

=P{X=1,Y=3}+P{X=l,y=4}

+P{X=2,y=3}+P{X=2,y=4}

=0+0+—+0=—9

1616

⑶

F(2,3)=P{X<2,y<3}

=P{X=1,Y=1}+P{X=l,Y=2}

+P{x=i,y=3}+P{x=2,y=1}

+P{X=2,y=2}+P{X=2,y=3}o

雪工+。+。+雪45

4164168

4、設(shè)x,y為隨機(jī)變量，且

P{A>004

P{A>0>P{J>04

求P{max(X,y)N0}

P{max(X,y)>0}=P{(X>0)u(y>0)}

解5o

=p{x>o}+P{Y>0}—P{x>o,y>o}=-

7

注：此題關(guān)鍵在于理解{max(X,F)N0］表

示{(XiO)u(YNO)},然后再根據(jù)概率的加法

公式。

5、(x,y)只取下列數(shù)值中的值：

(0,0丸(卜1),(1,1,且相應(yīng)概率

依次為請列出(x,y)的概率

631212

分布表，并寫出關(guān)于v的邊緣分布.

解：(1)根據(jù)(x,y)的全部可能取值以及

相應(yīng)概率，得（x,y）的概率分布表為

X

-102

Y

001/65/12

1/31/1200

1/300

（2）根據(jù)y的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)

系，得

X

-102P{Y=j}

Y

001/65/127/12

1/31/12001/12

1/3001/3

所以，y的邊緣分布為

Y01/3

Pk7/121/121/3

6、設(shè)隨機(jī)向量（x,y）服從二維正態(tài)

分布N(0,0,lO2j02,0),其概率密度函數(shù)

為

1'+一

____200

f(x,y)=e

200萬

求p{x<y}.

解：由圖形對稱性，得

P{X<Y}=P{X>Y},故尸{X<y}=；。

注：本題的求解借助與圖形的特點(diǎn)變得很

簡單，否則若根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)3進(jìn)行

求解會相對復(fù)雜些。

7、設(shè)隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為

k(6-x-j),0<x<2,2<j<4

f(x,y)=

0,其它

(1)確定常數(shù)公

(2)求尸{Xvl,y<3}；

(3)求P{Xv珞；(4)求尸{X4F<4}.

分析：利用

P{(X,y)GG}=jjf(x,y)dxdy=JJf(x,y)dxdy,

GGCD。

再化為累次積分，其中

2={(與y)\0<x<2,2<J<4)

解：(1)由概率密度函數(shù)的完備性，得

,+8*+00r2r4

=

1=JJ/(x,y)dxJ0J2^(6-x-y)dydx=8k

解得A=L

8

P(X<1,y<3)=[1f3f(x,y)dxdy

J—00J—00

(2)9

31

=M28JJ8

(3)

r1.5,oo

P(X<1.5)=P(X<1.5,y<00)=fIf(x,y)dxdy

J—00J—GO

41127

-(6-x-y)dy=—;

"Ji同2

P(X+K<4)=JJf(x,y)dxdy

(4)2

=J：公廣％6*y9=g

8、已知x和y的聯(lián)合密度為

cxyy0<x<l,O<y<l

其它

試求：（i）常數(shù)C；（2）x和y的聯(lián)合分

布函數(shù)b（x,y）.

解：（1）由概率密度函數(shù)的完備性，得

00

Fr1311Aii

解得c=4o

⑵

方（%,，）=:\f（u,v）dudv

J—00J-00

0,x<0或y<0

y

4uvdvdu.0<X<1,0<J<1

o

n4uvdvdu.0<X<1,J>1

o

ny4uvdvdu.x>1,0<j<1

0

nff411pdydii,x>1,j>1

、JoJo

0,x<0或y<0

x2y20<x<l,0<J<1

x20<X<1,J>1o

y2x>l,0<j<1

x>1,j>1

9、設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）的概率密

度為

4.8j(2-x),o<x<io<j<x

f(x,y)=<9

其它

求邊緣概率密度4（y）.

解：

P+84.8j(2-x)rfx,0<J<1

4(/)=L/(^y)dx=y

其它

2.4)(3-47+爐)，0<J<1

其它

10、設(shè)（X,y）在曲線y=/,y=%所圍成的區(qū)

域G內(nèi)服從均勻分布，求聯(lián)合概率密度和邊緣

概率密度.

解：據(jù)題意知，區(qū)域G的面積為

S=f1dyd=je~,

GJoJx2J6

由于（x,y）在區(qū)域G內(nèi)服從均勻分布，

故（X,y）的概率密度函數(shù)為

,(X,J)GG(X,J)GG

/(%4)=<

其它

其它

r

rx

d0<x<l

fx(%)=J8/(巧y)y=<」?6雙

“I。，其它

6(x-x2),0<x<1

i、0,其它

rXf+8f\\^6dx

(wo<J<1

/y(j)=Jf(x,y)dx=yy

一。0[。，其它

o

」6(6-y),0<J<1

~[0,其它

注：此題求解首先必須畫出區(qū)域G的圖形。

然后根據(jù)圖形確定積分上下限。

11、二維隨機(jī)變量（x,y）的分布律為

07/157/30

17/301/15

（i）求y的邊緣分布律；（2）

P{y=0|X=0},P{F=1|X=O}；(3)

判定x與y是否獨(dú)立？

解：（1）由邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系,

知

X

01p{—}

Y

07/157/307/10

17/301/153/10

所?，y的邊緣分布律為

y|01

p.0.70.3

（2）

p{x=o,y=0}

P{y=0|X=0}=

P{X=0}

p{x=o,y=0}

p{x=o,y=o}+p{x=o,y=1}

7/15_2

-7/15+7/30-3

P{Y=1\X=O}

p{x=o,y=1}

―P{X=O}-

_________-{x=o,y=1}_______

-p{x=o,y=o}+p{x=o,y=1}；

7/301

-7/15+7/30-3

(3)根據(jù)二維隨機(jī)變量(x,y)的分布律可

知其邊緣分布律

X

01P{Y=J}

Y

07/157/307/10

17/301/153/10

P{X=“7/103/101

由于p{x=o,y=o}，p{x=o}P{y=0},所以

x與y不獨(dú)立。

12、設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為

/（X）=L-㈤,-8<X<00,

2

問：X與IX|是否相互獨(dú)立？

解：【法一】任意給定a>0

P[X<a}f(x)dx

J—00

f01fa11

=\-exdx+\-exdx=-(2-ea)

J-82Jo22

P[\X\<a}=/f(x)dx=「-elxldx

J-aJ-a2

f01fia1

=f-exdx+\-exdx=l-e-a

J-a2Jo2

P[X<a,\X\<a}=P{\X\<a}

=ff(x)dx=[—e~^dx所以

J-aJ-a2

f01pa1

=\-exdx+\-e-xdx=l-e-a

3-a2Jo2

P[<X,將@，因而

X與|X|不獨(dú)立。

【法二】若X與|X|相互獨(dú)立，則對任意

?>0,有

P[X<a,lX\<a}=P{X<a}P{\X\<a},

而{\X\<a}cz{X<a},即

P[X<a,IX\<a}=P{\X\<a},

所以,”:匕丁:拶If解得，

=P{|X|<a](l-P[X<a})=0

P{\X\<a}=0或1=P{Xva],很顯然這是不成

立的，故X與|X|不是相互獨(dú)立的。

13、將某一醫(yī)藥公司9月份和8月份

的青霉素制劑的訂貨單數(shù)分別記為X與

yo據(jù)以往積累的資料知，x和y的聯(lián)合

分布律為

X

5152535455

Y

510.060.050.050.010.01

520.070.050.010.010.01

530.050.100.100.050.05

540.050.020.010.010.03

550.050.060.050.010.03

⑴求邊緣分布律；（2）求8月份的訂單

數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條件分布律.

解：（1）由聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系,

得

X

5152535455P{Y=j}

Y

510.060.050.050.010.010.18

520.070.050.010.010.010.15

530.050.100.100.050.050.35

540.050.020.010.010.030.12

550.050.060.050.010.030.20

P{X=4|0.280.280.220.090?13|丁

(2)

P{X=51,y=51}0.061

P{X=51|y=51}=

P{Y=51}-0.18-3

尸{X=52,Y=51}

P{X=52\Y=51}=

P{Y=51}

0.055

"Kli"18

尸{X=53,y=51}

P{X=53|y=51}=

P{Y=51}

0.055

"Kii"18

P{X=54,y=51}

P{X=54|y=51}=

P{Y=51}

0.011

-K18-18

尸{X=55,Y=51}

P{X=55|y=51}=

P{Y=51}

0.011

-Kli"18

8月份的訂單數(shù)為51時(shí)，9月份訂單數(shù)的條件

分布律為

x/y=515152535455

p1/35/185/181/181/18

14、已知（X,F）的分布律如表所

示，

X

012

Y

01/41/80

01/30

21/601/8

求：（i）在y=i的條件下，x的條件分

布律；（2）在x=2的條件下，y的條件

分布律.

解：根據(jù)聯(lián)合分布律可得邊緣分布律，如下:

o12P{Y=j}

01/41/803/8

01/301/3

21/601/87/24

P{X="5/1211/241/8-T-

（i）根據(jù)上表，可得

尸{x=o,y=1}

p{x=o|y=i}=

P{Y=1}

(2)

尸{x=i,y=1}

P{X=l|y=1}=

P{Y=1}

1/3,

=——=1

1/3

尸{x=2,y=1}

p{x=2|y=1}=

P{Y=1}-

=工。

1/3

所以，在y=i的條件下,x的條件分布律為

x/y=11o12

p010

(3)根據(jù)上表，可得

尸{x=2,y=0}

P{Y=Q\X=2}=

-P{X=2}-

(4)

J=0

1/8

P{y=l|X=2}=^^l

P{X=2}

」=0

1/8

p

nrAZ-,.V_^_{x=2,y=2}_l/8_1

L\JL-2X-21———I,

P{X=2}1/8

所以，在x=2的條件下，y的條件分布律為

Y/X=2012

P00

15、已知（x,y）的概率密度函數(shù)為

”“H3。x，,0<x<其1.0<它y<x，

求：（1）邊緣概率密度函數(shù)；（2）條件概

率密度函數(shù).

解：（1）

f00

fx（x）=j^f（x,y）dy

IJ3xdy^0<x<1J3x2,0<x<1;

I0,其它I°，其它

p8

4（y）=

3

13xdx^0<j<1-（1-/XO<J<1;

=<Jy

其它其它

（2）當(dāng)Ovxvl時(shí),

/（%,7）

4i%（y1%）=

/x（x）

,O<j<xO<j<x

其它其它

當(dāng)Ovyvl時(shí),

fx\（x\y）=

Yfy（y）

3x

y<x<12%

-2y<x<l

=<1（1J）=x（1-J2）5

其它'°，其它

注：此題求解時(shí)最好畫出聯(lián)合密度函數(shù)不為零

時(shí)的區(qū)域，以便準(zhǔn)確的確定自變量的取值或積

分上下限。

16、設(shè)x與y相互獨(dú)立，其概率分布如

表所示，

X-2-101/2

Pi1/41/31/121/3

Y-1/21-

Pi1/2X4/I

求（x,y）的聯(lián)合概率分布，P{X+Y=1},

p{x+y工0}.

解：由于x與y相互獨(dú)立，故對任意有

P{X=i.Y=j}=P{X=i}P{Y=j},

所以，（x,y）的聯(lián)合概率分布為

-2-101/2

Y

-1/21/81/61/241/6

1/161/121/481/12

31/161/121/481/12

P{X+Y=1}=P{X=-2,Y=3}+P{X=O.Y=1}

---+--=--?

164812

p{x+ywo}=i-p{x+y=0}

=1-(P{X=-l.Y=1}+P{X=1/2,y=-1/2})

17、某旅客到達(dá)火車站的時(shí)間X均勻分

布在早上7：55-8：00,而火車這段時(shí)間

開出的時(shí)間y的密度函數(shù)為

2(5-2)n<VA

4(y)=25'一’一，求此人能

、0,其它

及時(shí)上火車的概率.

解：令7：55?看作時(shí)刻0,以分為單位，故

X~U[0,5],即X的概率密度函數(shù)為

q—,0<x<5

fx(x)=<5，

0,其它

而x與y相互獨(dú)立,故(x,y)的聯(lián)合概率密度函

數(shù)為

f(x,y)=fx(x)fY(y)

,2(5y)

,0<x<5,0<y<5,

125

0,其它

所以，此人能及時(shí)上火車的概率為

尸心*}=JJf(x,y)dxdy

y>x

f5f52(5-j)2

=II---------dydx=—

J。以1253

18、設(shè)x和y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)

變量，X?U(0,l),y~e(l/2).

(i)求x與y的聯(lián)合概率密度；(2)設(shè)

有a的二次方程/+2x〃+y=0,求它有

實(shí)根的概率.

解：因?yàn)閤~u(o,i),所以

[1,0<x<1

A(X)=L；

another

因?yàn)閥~e(l/2：,所以4(y)=j2工

O^other

又x,y相互獨(dú)立，所以

f(x,y)=fx(x)fY(y)

r_i

(1)—e0<x<1,j>0

other

(2)所求概率為

12J1iX

=Jo""Jo-c"'d%=Jo(l_c2)dx

°°2°

=l-^dx

_x^上

e2dx-e2dx]

二1一國①o（l）-①o（O）］?

19、設(shè)隨機(jī)變量X與y都服從N（O,1）分

布，且x與y相互獨(dú)立，求（x,y）的聯(lián)合

概率密度函數(shù)。

解：據(jù)題意知，由于隨機(jī)變量又與丫都服從

N（O,I）分布，所以x與y的概率密度函數(shù)分別

為

1--

2

fx(x)=/——e,-oo<x<oo,

1上

f(y)=^=e2，-00<J<00,

Y727r

又由于x與y相互獨(dú)立，即

f(x.y)=fx(x)fY(y),

故X的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

%2+y2

f(x,y)=f(x)f(y)=--e2,-00<<00.

xY2%

20、設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且

分別服從二項(xiàng)分布夕5,p）與50,P）,求

證：

X+y?B(n+m,p).

證：據(jù)題意知，X~3(%p),Y

故x與y的分布律分別為

p{x=i}=c：pi(1一p)i,，=o2,n,〃，

jjj

P{Y=j}=cmP(1-Py-j=o,i,2,n,機(jī),

又由于X與Xy相互獨(dú)立，故

P{X-^-Y=k}=P{X=0.Y=k}+P{X=1,Y=k-1}

+P{x=2,y=k-2}+n+P{x=k.Y=0}

kk

^^P{X=i,Y=k-i}=^P{X=i}P{Y=k-i}

i=0i=0

=WC：(I_P)IC7'PI(I_P)〃IJ)

i=0

=pk(l—p)ii￡c：C『=C；pk(l-p)ii,

i=0

k=0,l,2,n,m4-no

21、設(shè)隨機(jī)變量x和y相互獨(dú)立，且

都等可能地取1,2,3為值，求隨機(jī)變量

U=max{X,y}和V=min{X,Y}的聯(lián)合

分布.

解：由題意，x和y的分布律為

x(y)|123

11/31/31/3

可見UNV,下求P{U=i,V=j}

(1)當(dāng)ivj時(shí)，P{U=i,y=j}=0

(2)當(dāng)，=j時(shí),

P{U=i.V=i}=P{U=V}=P{X=Y}

=P{X=i,Y=i}=P{X=i}P{Y=i}=l/9

(3)當(dāng)i>j時(shí)，

P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}-^P{X=j,Y=i}

=2/9

所以得到關(guān)于U,V的聯(lián)合分布律為

u

123

V

1/92/92/9

201/92/9

3001/9

22、設(shè)

(X,y)~U(D),D={(x,j)|0<x<2,0<J<1}

o,x<y

且U=V

nY<2y

V=<'".求U和V的聯(lián)合概

1,X>2Y

率分布.

解：由題意—)=叱

0^other

P{U=Q,V=(i}=P{X<Y,X<2Y}

=P{X<Y}=^f(x,y)dxdy=〕"〕：'=:

p{u=o,v=i}=p{x49>2丫}=尸{。}=0,

P{U=l,V=0}=P{X>Y,X<2Y}=P{Y<X<2Y}

=JJ/(*，yMxdy=,"可：扣=；，

02

P{U=1,V=1}=P{X>Y,X>2Y}=P{X>2Y}

”,2r%/21

=JJf(^y)dxdy=jQdxjo=29

。3

所以，。和V的聯(lián)合概率分布為

U

01

V

01/41/4

101/2

23、設(shè)(X,y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

21)+?I----------------

/(%,))=—e,求Z=，x2+y2

2%

的密度函數(shù)。

解：______

Fz(z)=P{Z<z}=P{"+y2<z}

=ITf(x,y)dxdy

___________

22

當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)z(z)=P{7x+y<z}=0

當(dāng)z>0時(shí)，

22

14+y

——e2dxdy

B⑵二JJ

0<x2+j2<z2171

x=rcos6,y=rsin。f工廠「e&dr=1-e^12

2萬JoJo

f0,z<0

所以弓⑶=<？72，所以

l-ez/2,z>0

0,z<0

/z(Z)=<

z2/2

ze~yz>0

24、設(shè)隨機(jī)變量(X,y)的概率密度為X

(1)問X和Xy是否相互獨(dú)立？(2)求

一、彳(x+y)e—s),x>0,y>0,

f(x9y)=<2

0,其他.

z=x+y的密度函數(shù).

解：⑴

f4-00

/x(x)=]f^.y)dy

J—00

0,x<0

=<poo1X,

[x+y)x

Jo—(x+y)e~dy=—(x+l)e~9x>0

由x、y的對稱性得，

0,j<0

f+00

/y(J)=Jf(x,y)dx=\i

00

J-1-2(j+ik0y>0

因?yàn)?(%4)，/x(x)4(y)，所以x和y不獨(dú)立。

(2)(z)=/(x,z-由的表

fzx)dx,

達(dá)形式知,當(dāng)％>0,丁>0,時(shí)/(x,y)，0,

即當(dāng)%>0*一X>,也即Ovxvz時(shí)，

/(占用，

r8

/z(z)=f(x,z-x)dx

J—00

所以，[0,z<0o

=<Qz]1

f-ze~zdz=-z2e~\z>0

[Jo22

25、設(shè)X和y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且

34

p{x>o,y>0}=-,p(x>o)=p(y>o)=-,

77

求P{max(X,y)N0}.

解：

P{max(X,y)>0}=P{(X>0)u(y>0)}

=p{x>o)+P{y>o)-p{x>oys

443

■"-1-^=-

—I-o

777

26、設(shè)隨機(jī)變量(X,y)的概率密度為

be~(x+y\0<x<l,0<y<+oo

f(x,y)=

0,其它

(1)試確定常數(shù)岳(2)求邊緣概率

密度；（3）求函數(shù)

U=maxX】的分布函數(shù).

解：(1