專題1.6立體幾何的最值、范圍問題（強(qiáng)化訓(xùn)練）（解析版）

專題1.6立體幾何的最值、范圍問題題型一數(shù)量積的最值范圍范圍題型二面積、體積的最值范圍問題題型三夾角的最值范圍問題題型四距離的最值范圍問題題型一 數(shù)量積的最值范圍范圍1．在長方體中，，，，，分別是棱，，上的點(diǎn)，且，，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面平行，則的最小值為（

）A． B．17 C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面MPN的法向量，設(shè)出，根據(jù)求出，計(jì)算出，得到最小值.【詳解】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面MPN的法向量為，則，令，則，故，設(shè)，則，因?yàn)橹本€與平面平行，所以，，因?yàn)?，所以，故，故?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：A2．已知正四棱柱中，底面邊長，，是長方體表面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點(diǎn)，將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，則，當(dāng)為側(cè)面中點(diǎn)時(shí)，；的最大值為體對(duì)角線的一半，又，，即的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的向量數(shù)量積問題的求解，解題關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化法將問題轉(zhuǎn)化為向量模長最值的求解問題，進(jìn)而通過確定向量模長的最值來確定數(shù)量積的取值范圍.3．（多選）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長是2，則的取值可為（

）A．-1 B．0 C． D．5【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，令正方體內(nèi)切球的球心為，利用空間向量數(shù)量積將化為的函數(shù)，即可求出其范圍作答.【詳解】令正方體內(nèi)切球的球心為，為球的直徑，則，，則，而點(diǎn)在正方體表面上移動(dòng)，則當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)為內(nèi)切球與正方體表面相切的切點(diǎn)時(shí)，，于是得，所以的取值范圍為，選項(xiàng)B、C滿足，A、D不滿足．故選：BC4．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且平面ACD，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG，則，，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面，由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG.易得，，因?yàn)槠矫?，平面，，，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以H為線段FG上的點(diǎn).由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因?yàn)?，所以平面，?因?yàn)?，所以?.因?yàn)椋?故選：B.5．（多選）如圖，已知正方體的棱長為2，分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若直線與平面平行，則三棱錐的體積為B．若直線與平面平行，則直線上存在唯一的點(diǎn)，使得與始終垂直C．若，則的最小值為D．若，則的最大值為【答案】ABC【分析】取棱的中點(diǎn)，連接，進(jìn)而證明平面平面得的軌跡即為線段，再討論AB選項(xiàng)即可得判斷；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在平面內(nèi)的圓弧，再分別討論CD選項(xiàng)即可.【詳解】解：取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槔獾闹悬c(diǎn)，分別是棱的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以，直線與平面平行，的軌跡即為線段，故對(duì)于A選項(xiàng)，，三棱錐的體積為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，要使得與始終垂直，則面，故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以且，解得，即，所以，直線上存在唯一的點(diǎn)（中點(diǎn)），使得與始終垂直，故B正確；當(dāng)時(shí)，所以，解得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在平面內(nèi)的圓弧，對(duì)于C選項(xiàng)，由于，故的最小值為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC6．一個(gè)長方體的棱長分別為，是該長方體外接球的一條直徑，點(diǎn)是長方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】建立合適直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，則，將看作長方體表面上點(diǎn)到距離的平方，通過分析幾何體的性質(zhì)可得距離的最值，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)镸N是長方體外接球的一條直徑，且長方體的棱長分別為1、1、，所以，以方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，設(shè)，所以，而可看作長方體表面上點(diǎn)到距離的平方，由長方體的對(duì)稱性可知，此點(diǎn)為長方體各個(gè)面的面對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，距離最短，當(dāng)此點(diǎn)取面對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)此點(diǎn)取面對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)此點(diǎn)取面對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，，故，又，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P在ABCD平面內(nèi)，即所求的范圍是.故答案為：7．已知P是棱長為1的正方體內(nèi)（含正方體表面）一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的值為；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大值為．【答案】/1.52【分析】空1：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得到，計(jì)算即可.空2：利用向量點(diǎn)乘的幾何意義，轉(zhuǎn)化為投影最值問題，即可得到答案.【詳解】空1：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，為中點(diǎn)，,所以，，所以，空2：因?yàn)?，是向量在上的投影，所以?dāng)在位置時(shí)，投影最大，的最大值為:故答案為：；8．已知球O是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點(diǎn)P為正四面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，以及正四面體中內(nèi)切球球心到頂點(diǎn)的距離，從而可得，再根據(jù)即可求解.【詳解】如圖所示，在邊長為1的正四面體中，設(shè)四面體內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，取中點(diǎn)為，則,,所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P為正四面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?因?yàn)闉榍騉的一條直徑，所以,所以，因?yàn)?，所以，所以，故答案?.題型二 面積、體積的最值范圍問題9．如圖，已知四棱錐中，正三角形的邊長為2，平面，且，則四棱錐的體積的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接可得，設(shè)，取的中點(diǎn)，可得，由，利用基本不等式可得答案.【詳解】連接，因?yàn)槠矫?，且，所以，且，設(shè)，則，在直角三角形中可得，所以，可得，，，取的中點(diǎn)，連接，可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí)四棱錐的體積的最大值為.故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵點(diǎn)是求出，考查了顯示的空間想象能力、運(yùn)算能力.10．已知三棱錐中，，，，三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得即為三棱錐外接球的直徑，設(shè)的中點(diǎn)為，則即為球心，設(shè)，，即可得到，利用基本不等式求出面積最大值，再由可得此時(shí)平面，即可求出錐體的體積最大值.【詳解】設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，解得，又，，即為直角三角形，則外接圓的直徑即為直角三角形的斜邊，且，即外接圓的半徑，所以為外接球中的大圓，即為三棱錐外接球的直徑，設(shè)的中點(diǎn)為，則即為球心，設(shè)，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，此時(shí)，且，又，則且，所以，則且，，平面，所以平面，所以，所以，即三棱錐體積的最大值為.故選：D11．已知底面為矩形的直四棱柱高為4，體積為16，各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)底面矩形的長為、寬為，外接球的半徑為，依題意可得，且，利用重要不等式求出的最小值，即可求出球的體積的最小值.【詳解】設(shè)底面矩形的長為、寬為，外接球的半徑為，則，即，又長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即外接球的半徑最小值為，所以這個(gè)球的體積的最小值為.故選：A12．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個(gè)球狀零件，則該零件表面積的最大值為.【答案】【分析】運(yùn)用扇形的弧長公式可求得圓錐半徑，結(jié)合等面積法可求得三角形的內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求得圓錐內(nèi)切球的表面積.【詳解】由題意知，該圓錐的母線長為，設(shè)圓錐底面圓半徑為，高為，如圖所示，由得，，所以.圓錐內(nèi)切球的半徑等于內(nèi)切圓的半徑，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，半徑為，由得，，解得.所以該球狀零件表面積的最大值為.故答案為：.

13．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，.記四面體的外接球的球心為，為球表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，四面體體積的最大值為.

【答案】/【分析】根據(jù)題意，由條件可得取最大值時(shí)，由余弦定理即可得到，然后過作，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】

依題可得，四面體的外接球的球心為中點(diǎn)，外接球半徑，要使取到最大值，則，即與球相切時(shí)，所以,在中，，∴，∴，∴，過作，垂足為，所以點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，又，∴四面體體積的最大值為.故答案為：.14．一個(gè)圓錐母線與底面所成的角為，體積為，過圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐，則所得截面面積的最大值為．【答案】8【分析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，過圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐所得截面為，根據(jù)，圓錐體積為，求出，再用表示截面面積，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，過圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐所得截面為，為的中點(diǎn)，則，，，

則圓錐的體積為，由題意得，解得，，，，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)，時(shí)，取得最大值為.故答案為：.15．如圖，在斜三棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近A的三等分點(diǎn)，為上靠近的三等分點(diǎn)．

(1)證明：平面//平面．(2)若平面，，與平面的距離為，，，三棱錐的體積為，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，當(dāng)為多少時(shí)，三棱錐的體積取得最大值？并求出最大值．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)16【分析】（1）根據(jù)線面、面面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可知平面，進(jìn)而可得，結(jié)合錐體的體積公式運(yùn)算求解；（3）整理得，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.【詳解】（1）由題意可得：，//，則為平行四邊形，可得//，且平面，平面，所以//平面，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，又因?yàn)椋?/，則為平行四邊形，可得//，，且//，，則//，，可得為平行四邊形，則//，故//，且平面，平面，所以//平面，，平面，所以平面//平面.（2）因?yàn)槠矫?，平面，則，且//平面，則，可得，且//，則平面，平面，可得，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?/平面，則平面，平面，則，設(shè)，因?yàn)?/，則，即，所以三棱錐的體積為.

（3）由（2）可知，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值.16．如圖，四邊形是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，是圓柱的母線，，是上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求圓柱的側(cè)面積；(2)求四棱錐的體積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圓柱底面半徑為r，進(jìn)而求出結(jié)果；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出，再利用體積公式求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖：

連接BD，在中，，，，由余弦定理，得，所以，設(shè)圓柱底面半徑為r，由正弦定理，得，所以，故圓柱的側(cè)面積；（2）由（1）知，中，，，由余弦定理，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)椋?，所以四棱錐的體積，，故四棱錐的體積的最大值為.題型三 夾角的最值范圍問題17．（多選）如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)且時(shí)，有B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，直線和所成的角的取值為D．當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值范圍是【答案】ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算得到，從而得到，進(jìn)而判斷出選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，利用條件確點(diǎn)的位置，再利用等體法即可判斷選項(xiàng)的正誤；對(duì)于選項(xiàng)C，利用空間直角坐標(biāo)系，將線線角轉(zhuǎn)化成兩向量所成角來求解，設(shè)，從而得到，再利用的取值范圍即可求出結(jié)果，從而判斷出選項(xiàng)的正誤；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)條件，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，取中點(diǎn)點(diǎn)，從而得到為與平面所成的角，進(jìn)而可求出的最大值和最小值.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)且時(shí)，為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，又，所以，所以，所以選項(xiàng)A正確．

選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，為的上的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)?，又易知，到平面的距離為，所以，所以選項(xiàng)B正確．選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，為線段的上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，又，，，，所以，又，由，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以直線與所成角的范圍為，所以選項(xiàng)C不正確．選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，則為的上的動(dòng)點(diǎn)，如圖2，取中點(diǎn)點(diǎn)，，又三棱柱為正三棱柱，所以平面，則為與平面所成的角，在中，為定值，又,所以與平面所成的最大角為，此時(shí)，最小角為，此時(shí)．所以選項(xiàng)D正確．

故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于利用平面向量基本定理和向量的幾何運(yùn)算確定各個(gè)選項(xiàng)中點(diǎn)的位置，再利用向量法或幾何法來處理.18．（多選）如圖，在棱長為1的正方體中，為面對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列選項(xiàng)中正確的有（

）

A．三棱錐的體積為定值B．線段上存在點(diǎn)，使平面C．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，二面角的余弦值為D．設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用等體積法判斷；對(duì)于B、C、D三個(gè)選項(xiàng)可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槿忮F的體積，易得平面平面，平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐體積為定值，故A正確．對(duì)于B，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，，，，設(shè)，所以，，設(shè)平面，，，則，取，則，則，要使平面，即，，此時(shí)，故B正確.

對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，設(shè)平面，，，則，取，則，則，設(shè)平面，設(shè)二面角所成角為，所以，因?yàn)闉殇J二面角，，所以，故C不正確；

對(duì)于D，，，設(shè)平面，設(shè)直線與平面所成角為，，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，所以D正確故選：ABD.19．（多選）在正四棱錐中，，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最小值是B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，與所成角可能為D．當(dāng)時(shí)，與平面所成角正弦值的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)向量關(guān)系可得為正方形內(nèi)的點(diǎn)(包括邊界)，設(shè)，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)結(jié)合條件可得判斷A，根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合條件可判斷B，根據(jù)線面角的求法結(jié)合條件可判斷C，利用坐標(biāo)法表示出線面角，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可判斷D.【詳解】由，可得，其中，，所以為正方形內(nèi)的點(diǎn)(包括邊界)，在正四棱錐中，，，設(shè)，連接，則平面，，對(duì)A，由題可知，當(dāng)重合時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，即，故在線段上，因?yàn)?，所以三角形的面積為定值，而三棱錐的高為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故在線段上，由題可知平面，故平面，所以為在平面內(nèi)的射影，，而在中，，所以，，故與所成角不可能為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故在線段上，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)與平面所成角為，所以，設(shè)，，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)向量關(guān)系結(jié)合條件得到點(diǎn)的位置，然后結(jié)合條件利用立體幾何知識(shí)解決即得.20．（多選）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A． B．平面可能經(jīng)過頂點(diǎn)C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，用向量表示空間中的垂直關(guān)系，求點(diǎn)到平面的距離，以及空間角的計(jì)算，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解．【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,0,,,0,,,1,,,1,,,1,,,0,,,0,,，1，，,1,，設(shè),,，則,,，,；設(shè),0,，則,0,,,，所以，1，，，，，，所以，即，A正確；因?yàn)?1,,,,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,，則，即，令，則，，所以,,，又因?yàn)?1,，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離不能為0，即平面不過點(diǎn)，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以的最小值為，C正確；因?yàn)?,，,,，，設(shè)，，，，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，，當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．

21．如圖（1）所示，在中，，，，垂直平分．現(xiàn)將沿折起，使得二面角大小為，得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點(diǎn)記作點(diǎn)）

(1)求點(diǎn)到面的距離；(2)求四棱錐外接球的體積；(3)點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，試確定點(diǎn)的位置．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由已知可證得平面平面，取中點(diǎn)，連接，則有兩兩垂直，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解，（2）連接，則四邊形的外接圓圓心在的中點(diǎn)，外接圓的圓心為的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)圓心分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心，連接，求出其長度可得外接球的半徑，從而可求出外接球的體積，（3）由，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量表示出直線與平面所成角的正弦值，求出其最大值可得答案.【詳解】（1）由，，，得，，因?yàn)榇怪逼椒?，所以，所以為平面與平面的二面角的平面角，所以，，所以為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)樗詾槎娼堑钠矫娼?，所以，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)的一個(gè)法向量為，則，令，則又，所以點(diǎn)到面的距離；（2）連接，由，則四邊形的外接圓圓心在的中點(diǎn)，為正三角形，則外接圓的圓心為的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)圓心分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心，如圖所示，連接，則即球的半徑.在中，，則，在中，，所以由勾股定理得，則球的體積；

（3）設(shè)，由得，所以，得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為（），則所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)直線與平面所成角最大，即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大.

22．如圖，在三棱臺(tái)中側(cè)面為等腰梯形，為中點(diǎn).底面為等腰三角形，為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)記二面角的大小為.①當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.②當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)①，②最大值為【分析】（1）由三棱臺(tái)性質(zhì)及其邊長即可證明平面，利用面面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）①由題意可知即為二面角的平面角，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得，平面的一個(gè)法向量為，把代入可得直線與平面所成角的正弦值為；②當(dāng)時(shí)，，利用的范圍即可求得直線與平面所成角的正弦的最大值為.【詳解】（1）因?yàn)闉榈妊切?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面為等腰梯形，為的中點(diǎn)，所以，又平面，因此平面，平面，所以平面平面（2）在平面內(nèi)，作，由（1）中平面平面，且平面平面，平面，可得平面；以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又因?yàn)?，，所以即為二面角的平面角，所以，在中，，易知，又，可得；所以，；即，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，可令，則，即；①當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線與平面所成角的為，所以，即時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，即，易知，所以；易知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦的最大值為.23．如圖，在三棱錐中，的中點(diǎn)為.

(1)證明：直線平面；(2)若，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明，可得，結(jié)合線面垂直判定定理可證；（2），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量表示出直線與平面所成角的正弦，結(jié)合基本不等式可得，然后可求體積.【詳解】（1）如圖，連接.

因?yàn)椋?又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.又因?yàn)闉楣策?，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）過點(diǎn)作直線平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?，所以，所?設(shè)，則，于是.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得可取.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，直線與平面所成的角最大.此時(shí)三棱錐的體積.故當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，三棱錐的體積為.24．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的動(dòng)點(diǎn)..

(1)證明：；(2)求平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn)D的位置.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，點(diǎn)為靠近的的四等分點(diǎn)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量即可證明；（2）求出平面與平面DEF的法向量即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，又底面，所以，，又因?yàn)椋?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

，，，，，，，，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，?（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面DEF所成的二面角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取得最大值，所以，所以平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時(shí)點(diǎn)為靠近的的四等分點(diǎn).題型四 距離的最值范圍問題25．在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上，則頂點(diǎn)B到平面APC距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，表示出的坐標(biāo)，然后求出平面APC的法向量，表示出點(diǎn)B到平面APC的距離為，即可得到其最大值.【詳解】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，故，又，，于是，設(shè)平面APC的法向量，則有，可取，則點(diǎn)B到平面APC的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B到平面APC的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)B到平面APC的最大距離為，故選:D．26．如圖，已知正方體的棱長為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)，可得動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，∴動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為.故選：D.27．（多選）在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．頂點(diǎn)到平面的最大距離為 B．存在點(diǎn)，使得平面C．的最小值 D．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為鈍角【答案】ABC【分析】對(duì)A，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，分析即可判斷A；對(duì)B，當(dāng)平面，則，則有，求出，即可判斷B；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；對(duì)D，設(shè)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)判斷得符號(hào)即可判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，故，則，，對(duì)于A，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故A正確.當(dāng)平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)