專題04 一元二次方程的應(yīng)用（八大類型）（題型專練）（解析版）

專題04一元二次方程的應(yīng)用（八大類型）【題型1一元二次方程應(yīng)用-變化率】【題型2一元二次方程應(yīng)用-傳染問題】【題型3一元二次方程應(yīng)用-分支問題】【題型4一元二次方程應(yīng)用-比賽問題及遷移運(yùn)用】【題型5一元二次方程應(yīng)用-銷售問題】【題型6一元二次方程應(yīng)用-每每問題】【題型7一元二次方程應(yīng)用-幾何面積問題】【題型8一元二次方程應(yīng)用-幾何動(dòng)態(tài)問題】【題型1一元二次方程應(yīng)用-變化率】1．（2023春?鄞州區(qū)期中）某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，價(jià)格由100元降為64元．已知兩次降價(jià)的百分率都是x，則x滿足的方程是（）A．64（1﹣2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝64 C．64（1﹣x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝64【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得100（1﹣x）2＝64，故選：B．2．（2023?東莞市校級一模）某旅游景點(diǎn)8月份共接待游客25萬人次，10月份共接待游客64萬人次，設(shè)游客每月的平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．25（1+x）2＝64 B．25（1+x2）＝64 C．64（1﹣x）2＝25 D．64（1﹣x2）＝25【答案】A【解答】解：設(shè)游客每月的平均增長率為x，依題意，得：25（1+x）2＝64．故選：A．3.（2021·松北期末）某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個(gè)，第三季度生產(chǎn)零件196萬個(gè)．設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196【答案】C【解答】一般增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示八、九月份的產(chǎn)量：八、九月份的產(chǎn)量分別為50（1+x）、50（1+x）2，從而根據(jù)題意得出方程：50+50（1+x）+50（1+x2）=196．故答案為：C．4．（2023?沭陽縣模擬）某商品原價(jià)每件75元，兩次降價(jià)后每件48元，則平均每次的降價(jià)百分率是．【答案】20%．【解答】解：設(shè)平均每次的降價(jià)百分率是x，依題意得：75（1﹣x）2＝48，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意，舍去），∴平均每次的降價(jià)百分率為20%．故答案為：20%．5.（2022秋?確山縣期中）2022年是中國共產(chǎn)黨建黨101周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動(dòng)，某市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要的活動(dòng)基地．據(jù)了解，今年8月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人，10月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人．（1）求這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率；（2）按照這個(gè)增長率，預(yù)計(jì)11月份的參觀人數(shù)能否突破13.5萬人？【解答】解：（1）設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率為x，依題意得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．答：這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長率為10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（萬人）．13.31＜13.5，∴11月份的參觀人數(shù)不能突破13.5萬人．答：11月份的參觀人數(shù)不能突破13.5萬人．6.（2022春?沂源縣校級月考）受益于國家支持新能源汽車發(fā)展等多重利好因素，我市某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤逐年提高．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2016年利潤為2億元，2018年利潤為2.88億元．（1）求該企業(yè)從2016年到2018年利潤的年平均增長率．（2）若2019年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2019年的利潤能否超過3.4億元？【答案】（1）20%（2）能超過3.4億元【解答】解：（1）設(shè)該企業(yè)從2016年到2018年利潤的年平均增長率為x，依題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該企業(yè)從2016年到2018年利潤的年平均增長率為20%．（2）2.88×（1+20%）＝3.456（億元），∵3.456億元＞3.4億元，∴若2019年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業(yè)2019年的利潤能超過3.4億元．【題型2一元二次方程應(yīng)用-分支問題】7．（2022秋?青川縣期末）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在開展野外項(xiàng)目實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)枝干又長出同樣數(shù)目的小分枝，主干、枝干和小分枝的總數(shù)是31，則這種植物每個(gè)枝干長出的小分支個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，主干是1，設(shè)長出的枝干有x枝，∴1+x+x2＝31，即x2+x﹣30＝0，解方程得，x1＝5，x2＝﹣6（舍去），∴這種植物每個(gè)枝干長出的小分枝個(gè)數(shù)5．故選：B．8．（2022秋?澄海區(qū)期末）某?！吧镅袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外研學(xué)實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支．若主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)是多少？【答案】9．【解答】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)是x，根據(jù)題意，可得1+x+x2＝91，整理得x2+x﹣90＝0，解得x1＝9，x2＝﹣10（不合題意，舍去），答：這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)是9．【題型3一元二次方程應(yīng)用-傳染問題】9．（2022春?南譙區(qū)校級期中）新冠肺炎病毒是一種傳染性極強(qiáng)的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床以發(fā)熱、乏力、干咳為主要表現(xiàn)．在“新冠肺炎”疫情初期，有1人感染了“新冠肺炎病毒”，如若得不到有效控制，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人感染了“新冠肺炎病毒”，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了（）A．12人 B．13人 C．14人 D．15人【答案】B【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)題意，得x+1+（x+1）x＝196，解得：x＝13或x＝﹣15（舍去），答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了13個(gè)人．故選：B．10．（2023?興慶區(qū)校級一模）有一個(gè)人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個(gè)人患流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，可到方程為（）A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．（1+x）2＝81【答案】D【解答】解：x+1+（x+1）x＝81，整理得（1+x）2＝81．故選：D．11．（2022秋?沈丘縣月考）若有2個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有50人患了流感（這2個(gè)人在第二輪傳染中仍有傳染性），則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染人．【答案】4．【解答】2解：設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x人，依題意得2+2x+x（2+2x）＝50，∴x＝4或x＝﹣6（不合題意，舍去）．所以，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了4個(gè)人，故答案為：4．12．（2023?城關(guān)區(qū)一模）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)平均一人傳染了x人，x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．平均一人傳染12人．故答案為：12．13.（2022秋?天河區(qū)校級期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗(yàn)，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人患新冠肺炎，求每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人？【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，則第一輪中有x人被傳染，第二輪中有x（1+x）人被感染，根據(jù)題意得：1+x+x（1+x）＝196，整理得：（1+x）2＝196，解得：x1＝13，x2＝﹣15（不符合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了13個(gè)人14．（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有144個(gè)人患了流感．（1）每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少個(gè)人患流感？【答案】（1）11人；（2）1728人．【解答】解：（1）設(shè)平均一人傳染了x人，x+1+（x+1）x＝144，x1＝11或x2＝﹣13（舍去）．答：平均一人傳染11人．（2）經(jīng)過三輪傳染后患上流感的人數(shù)為：144+11×144＝1728（人），答：經(jīng)過三輪傳染后患上流感的人數(shù)為1728人．【題型4一元二次方程應(yīng)用-比賽問題及遷移運(yùn)用】15．（2023?東莞市二模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：設(shè)共有x支隊(duì)人伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊(duì)伍參加比寒，故選：D．16.（2021秋?虎林市校級期末）2021年虎林市教育局組織開展了全市中學(xué)生籃球聯(lián)賽，比賽采用單循環(huán)賽制（每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽），共進(jìn)行了66場比賽，則參加比賽的隊(duì)伍數(shù)量是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解答】解：設(shè)參加比賽的隊(duì)伍有x支，依題意得：x（x﹣1）＝66，整理得：x2﹣x﹣132＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合題意，舍去）．故選：C．17.（2022?黑龍江模擬）某校八年級組織籃球賽，若每兩班之間賽一場，共進(jìn)行了28場，則該校八年級有（）個(gè)班級．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解答】解：設(shè)該校八年級有x個(gè)班級，依題意得：x（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合題意，舍去）．故選：A．18．（2023?惠東縣一模）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場，則本次比賽共有參賽隊(duì)伍（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】C【解答】解：設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊(duì)伍參加比賽．故選：C．19．（2022秋?于洪區(qū)期末）一次會議上，每兩個(gè)參加會議的人都相互握了一次手．有人統(tǒng)計(jì)一共握了66次手，這次會議到會的人數(shù)有多少人（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解答】解：設(shè)參加會議有x人，依題意得，x（x﹣1）＝66，整理，得x2﹣x﹣132＝0解得x1＝12，x2＝﹣11，（舍去）則參加這次會議的有12人．故選：C．20．（2022秋?南平期中）生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，那么全組有（）名同學(xué)．A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【解答】解：設(shè)全組有x名同學(xué)，則每名同學(xué)所贈的標(biāo)本為：（x﹣1）件，那么x名同學(xué)共贈：x（x﹣1）件，則x（x﹣1）＝182，整理得：x2﹣x﹣182＝0，解得x1＝﹣13（不合題意舍去），x2＝14．故全組共有14名同學(xué)．故選：C．21．（2022秋?和平區(qū)期末）一次會議上，每兩個(gè)參加會議的人都相互握了一次手，經(jīng)統(tǒng)計(jì)所有人一共握了10次手，則這次會議到會的人數(shù)是人．【答案】5．【解答】解：設(shè)這次會議到會的人數(shù)是x人，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝10，整理得：x2﹣x﹣20＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合題意，舍去），∴這次會議到會的人數(shù)是5人．故答案為：5．22．（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）卡塔爾足球世界杯小組賽，每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽，小組賽共進(jìn)行了6場比賽，則該小組有支球隊(duì)．【答案】4．【解答】解：設(shè)該小組有x支球隊(duì)，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝6，整理得：x2﹣x﹣12＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣3（不符合題意，舍去），∴該小組有4支球隊(duì)．故答案為：4．23．（2023春?安徽月考）網(wǎng)課期間小夏寫了封保護(hù)眼睛的倡議書，用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，設(shè)計(jì)了如下轉(zhuǎn)發(fā)規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，然后邀請x個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請x個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，已知經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共157人參與了此次活動(dòng)，則x為人．【答案】12．【解答】解：依題意，得：1+x+x2＝157，解得：x1＝12，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．故答案為：12．24．（2022秋?蔚縣校級期末）一個(gè)小組有若干人，新年互送賀卡一張，共送賀卡72張，共有人．【答案】9．【解答】解：設(shè)該小組共有x人，則每人需送出（x﹣1）張賀卡，依題意得：x（x﹣1）＝72，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合題意，舍去），∴該小組共有9人．故答案為：9．25．（2022秋?白云區(qū)期末）一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽兩場），共要比賽90場，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？【答案】共有10支隊(duì)參加比賽．【解答】解：設(shè)有x隊(duì)參加比賽．依題意，得x（x﹣1）＝90，（x﹣10）（x+9）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．答：共有10支隊(duì)參加比賽．【題型5一元二次方程應(yīng)用-銷售問題】26．（2023春?鹽都區(qū)月考）某商店分別花20000元和30000元先后兩次以相同的進(jìn)價(jià)購進(jìn)某種商品，且第二次的數(shù)量比第一次多500千克．（1）該商品的進(jìn)價(jià)是多少？（2）已知該商品每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣10x+500，若想銷售該商品每天獲利2000元，該商店需將商品的售價(jià)定為多少？【答案】（1）該商品的進(jìn)價(jià)是20元；（2）該商店需將商品的售價(jià)定為30元或40元．【解答】解：（1）設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)是m元，依題意得：500m＝30000﹣20000，解得：m＝20．答：該商品的進(jìn)價(jià)是20元．（2）依題意得：（x﹣20）（﹣10x+500）＝2000，整理得：x2﹣70x+1200＝0，解得：x1＝30，x2＝40．答：該商店需將商品的售價(jià)定為30元或40元．27．（2023?中山市一模）某超市以每千克40元的價(jià)格購進(jìn)菠蘿蜜，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷售，為了讓顧客得到實(shí)惠．現(xiàn)決定降價(jià)銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價(jià)x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實(shí)惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；（2）這種干果每千克應(yīng)降價(jià)12元．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案為：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）根據(jù)題意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要讓顧客獲得更大實(shí)惠，∴x＝12．答：這種干果每千克應(yīng)降價(jià)12元．28．（2022秋?九龍坡區(qū)期末）某圖書店在2022年國慶節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，某課外閱讀書進(jìn)貨價(jià)為每本8元，標(biāo)價(jià)為每本15元．（1）該圖書店舉行了國慶大回饋活動(dòng)，連續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)的百分率相同，最后以每本9.6元的價(jià)格售出，求圖書店每次降價(jià)的百分率；（2）在九月底該書店老板去進(jìn)貨該書500本，按照（1）兩次降價(jià)后的價(jià)格在國慶節(jié)全部售出；國慶節(jié)后老板去進(jìn)貨發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨價(jià)上漲了a%，進(jìn)貨量比九月底增加3a%，以標(biāo)價(jià)的八折全部售出后，比國慶節(jié)的總利潤多1200元，求a%的值．【答案】（1）20%；（2）．【解答】解：（1）設(shè)圖書店每次降價(jià)的百分率為x，由題意得：15（1﹣x）2＝9.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意舍去），答：圖書店每次降價(jià)的百分率為20%；（2）國慶節(jié)的總利潤為：500×（9.6﹣8）＝800（元），國慶節(jié)后的進(jìn)貨量為：500（1+3a%）本，進(jìn)貨價(jià)為：8×（1+a%）售價(jià)為：15×0.8＝12（元），由題意得：500（1+3a%）[12﹣8（1+a%）]＝800+1200，解得：a%＝或a%＝0（不符合題意舍去），∴a%＝，答：a%的值為．29．（2022秋?平遙縣期末）某商店通過網(wǎng)絡(luò)在一源頭廠家進(jìn)一種季節(jié)性小家電，由于疫情影響以及市場競爭，該廠家不得不逐年下調(diào)出廠價(jià)；（1）2019年這個(gè)小家電出廠價(jià)是每臺62.5元，到2021年同期該品牌小家電出廠價(jià)下調(diào)為40元，若每年下調(diào)幅度相同，請你計(jì)算該小家電出廠價(jià)平均每年下調(diào)的百分率；（2）若明年商場計(jì)劃按每臺40元購一批該品牌小家電，經(jīng)市場預(yù)測，銷售定價(jià)為50元時(shí)，每月可售出500臺，銷售定價(jià)每增加1元，銷售量將減少10臺．因受庫存的影響，每月進(jìn)貨臺數(shù)不得超過300臺；商家若希望月獲利8750元，則應(yīng)進(jìn)貨多少臺？銷售定價(jià)多少元？【答案】（1）20%；（2）該商品每臺的銷售定價(jià)為75元，應(yīng)進(jìn)貨250臺．【解答】解：（1）設(shè)該小家電出廠價(jià)平均每年下調(diào)的百分率為x，根據(jù)題意得：62.5（1﹣x）2＝40，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意，舍去）．答：該小家電出廠價(jià)平均每年下調(diào)的百分率為20%；（2）設(shè)該商品每臺的銷售定價(jià)為y元，則每臺的銷售利潤為（y﹣40）元，每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）臺，根據(jù)題意得：（y﹣40）（1000﹣10y）＝8750，解得：y1＝65，y2＝75，當(dāng)y＝65時(shí)，1000﹣10y＝1000﹣10×65＝350＞300，不符合題意，舍去；當(dāng)y＝75時(shí)，1000﹣10y＝1000﹣10×75＝250＜300，符合題意．答：該商品每臺的銷售定價(jià)為75元，應(yīng)進(jìn)貨250臺．30．（2023?桂林一模）小王計(jì)劃經(jīng)營某種時(shí)尚產(chǎn)品的專賣店，已知該產(chǎn)品的進(jìn)貨價(jià)為70元/件，售價(jià)不能低于80元/件，專賣店每月有800元的固定成本開支，根據(jù)市場調(diào)研，產(chǎn)品的銷售量y（件）隨著產(chǎn)品的售價(jià)x（元/件）的變化而變化，銷售量y與售價(jià)x之間的部分對應(yīng)關(guān)系如表：售價(jià)x（元/件）80828486…銷售量y（件）500490480470…（1）求銷售量y（件）與售價(jià)x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）小王預(yù)計(jì)每月盈利8200元，為盡可能讓利于顧客，則該產(chǎn)品的售價(jià)每件應(yīng)定為多少元？【答案】（1）y＝﹣5x+900；（2）90元．【解答】解：（1）由銷售量y與售價(jià)x之間的部分對應(yīng)關(guān)系可設(shè)y＝kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)），將x＝80，y＝500和x＝82，y＝490代入，得，解得，∴銷售量y（件）與售價(jià)x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+900；（2）根據(jù)題意，得（x﹣70）（﹣5x+900）﹣800＝8200，解得x1＝160，x2＝90，∵售價(jià)不能低于80元/件，且盡可能讓利于顧客，∴x＝90，答：該產(chǎn)品的售價(jià)每件應(yīng)定為90元．31．（2022秋?通川區(qū)期末）為了滿足社區(qū)居民強(qiáng)身健體的需要，政府準(zhǔn)備采購若干套健身器材免費(fèi)提供給社區(qū)，經(jīng)過考察了解，飛躍公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇，已知飛躍公司2020年每套A型健身器材的售價(jià)為2.5萬元，2020年每套B型健身器材的售價(jià)為2萬元，2022年每套A型健身器材售價(jià)為1.6萬元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府經(jīng)過招標(biāo)，決定年內(nèi)采購并安裝飛躍公司A，B兩種型號的健身器材共80套，政府采購專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)總計(jì)不超過115.2萬元，并且采購A型器材費(fèi)用不能少于B型器材的費(fèi)用，請求出所需經(jīng)費(fèi)最少的采購方案．【答案】（1）每套A型健身器材年平均下降率為20%；（2）總費(fèi)用最少為180萬元．【解答】解：（1）設(shè)每套A型健身器材年平均下降率為x，根據(jù)題意得：2.5（1﹣x）2＝1.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率為20%；（2）2×（1﹣20%）2＝1.28（萬元）．設(shè)購買B型健身器材m套，則購買A型健身器材（80﹣m）套，根據(jù)題意得：1.6（80﹣m）+1.28m≤115.2，解得：m≥40．∴B型健身器材最少可購買40套，此時(shí)A型需要40套．則：40×2.5+40×2＝180（萬元）．32．（2023?撫州一模）某超市經(jīng)銷一種商品，每千克成本為30元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其每天銷售單價(jià)，銷售量的四組對應(yīng)值如表所示：銷售單價(jià)x（元/千克）40455560銷售量y（千克）80705040（1）求y（千克）與x（元/千克）之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）若商店按銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于60元的價(jià)格銷售，要使銷售該商品每天獲得的利潤為800元，求每天的銷售量應(yīng)為多少千克？【答案】（1）y＝﹣2x+160；（2）80千克．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），將（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x+160．（2）依題意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，整理得：x2﹣110x+2800＝0，解得：x1＝40，x2＝70．又∵商店按銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于60元的價(jià)格銷售，∴x＝40，∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80．答：每天的銷售量應(yīng)為80千克．33．（2022春?萊蕪區(qū)期末）某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)營一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種農(nóng)產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該農(nóng)戶想要每天獲得150元的利潤，又要讓利消費(fèi)者，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？【答案】（1）y＝﹣2x+80；（2）25元．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（20，40），（30，20）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+80．（2）依題意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，整理得：x2﹣60x+875＝0，解得：x1＝25，x2＝35．又∵要讓利消費(fèi)者，∴x＝25．答：銷售價(jià)應(yīng)定為每千克25元．【題型6一元二次方程應(yīng)用-每每問題】34．（2023春?沙坪壩區(qū)校級月考）將進(jìn)貨價(jià)格為38元的商品按單價(jià)45元售出時(shí)，能賣出300個(gè)．已知該商品單價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少5個(gè)．設(shè)這種商品的售價(jià)上漲x元時(shí)，獲得的利潤為2300元，則下列關(guān)系式正確的是（）A．（x﹣38）（300﹣5x）＝2300 B．（x+7）（300+5x）＝2300 C．（x﹣7）（300﹣5x）＝2300 D．（x+7）（300﹣5x）＝2300【答案】D【解答】解：根據(jù)題意可得：（45+x﹣38）（300﹣5x）＝2300，即：（x+7）（300﹣5x）＝2300．故選：D．35.（2021秋?納溪區(qū)期末）某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的價(jià)格是30元/件，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)銷售價(jià)格是40元/件時(shí)，銷售量是600件，當(dāng)銷售單價(jià)每漲1元，就會少售出10件玩具．（1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售價(jià)格為x元/件（x＞40），請你分別用含x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得的利潤w元．（2）在第（1）間的條件下，若商場獲得了10000元的銷售利潤，求該玩具的銷售價(jià)格應(yīng)定為多少元/件．【解答】解：（1）設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x＞40），則y＝600﹣10（x﹣40）＝1000﹣10x，∴w＝（x﹣30）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）依題意得：﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，解得：x1＝50，x2＝80，答：該玩具的銷售價(jià)格應(yīng)定為50元/件或80元/件36.（2022秋?東明縣期末）2022年北京冬季奧運(yùn)會于2月4日至2月20日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會吉祥物為“冰墩墩”．（1）據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年二月份共生產(chǎn)500個(gè)“冰墩墩”，為增大生產(chǎn)量，該工廠平均每月生產(chǎn)量增加20%，則該工廠在四月份能生產(chǎn)多少個(gè)“冰墩墩”？（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可銷售20個(gè)，每個(gè)盈利40元，在每個(gè)降價(jià)幅度不超過10元的情況下，每下降2元，則每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，則每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)多少元？【解答】解：（1）500×（1+20%）2＝500×1.44＝720（個(gè)）．答：該工廠在四月份能生產(chǎn)720個(gè)“冰墩墩”．（2）設(shè)每個(gè)“冰墩墩”降價(jià)x元，則每個(gè)盈利（40﹣x）元，平均每天可售出20+×10＝（20+5x）個(gè)，依題意得：（40﹣x）（20+5x）＝1440，整理得：x2﹣36x+128＝0，解得：x1＝4，x2＝32（不符合題意，舍去）答：每個(gè)“冰墩墩”應(yīng)降價(jià)4元．37．（2022秋?龍崗區(qū)期末）“雙十一”期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A，B兩款保溫杯，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）A款保溫杯B款保溫杯進(jìn)貨價(jià)（元/個(gè)）3528銷售價(jià)（元/個(gè)）5040（1）若該網(wǎng)店用1540元購進(jìn)A，B兩款保溫杯共50個(gè)，求兩款保溫杯分別購進(jìn)的個(gè)數(shù)．（2）“雙十一”后，該網(wǎng)店打算把B款保溫杯降價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售出4個(gè)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售出2個(gè)，則將B款保溫杯的銷售價(jià)定為每個(gè)多少元時(shí)，才能使B款保溫杯平均每天的銷售利潤為96元？【答案】（1）購進(jìn)A款保溫杯20個(gè)，B款保溫杯30個(gè)；（2）將B款保溫杯的銷售價(jià)定為每個(gè)34元或36元時(shí)，才能使B款保溫杯平均每天的銷售利潤為96元．【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)A款保溫杯x個(gè)，B款保溫杯y個(gè)，依題意得：，解得，答：購進(jìn)A款保溫杯20個(gè)，B款保溫杯30個(gè)；（2）設(shè)B款保溫杯的銷售價(jià)定為a元，則每個(gè)的銷售利潤為（a﹣28）元，∵經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售出2個(gè)，∴平均每天可售出個(gè)，依題意得：（a﹣28）（84﹣2a）＝96，即a2﹣70a+1224＝0，∴（a﹣34）（a﹣36）＝0，解得a1＝34，a2＝36，答：將B款保溫杯的銷售價(jià)定為每個(gè)34元或36元時(shí)，才能使B款保溫杯平均每天的銷售利潤為96元．38．（2023春?長沙期中）春節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，每年元旦節(jié)后是購物的高峰期，2023年元月某水果商從農(nóng)戶手中購進(jìn)A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進(jìn)貨價(jià)為28元/件，銷售價(jià)為42元/件，其中B種紅富士蘋果進(jìn)貨價(jià)為22元/件，銷售價(jià)為34元/件．（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）（1）水果店第一次用720元購進(jìn)A、B兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購進(jìn)的件數(shù)；（2）第一次購進(jìn)的紅富士蘋果售完后，該水果店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩種紅富士蘋果共80件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總費(fèi)用不高于2000元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？（3）春節(jié)臨近結(jié)束時(shí)，水果店發(fā)現(xiàn)B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對B種紅富士蘋果調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元？【答案】（1）A中蘋果購進(jìn)10件，B中蘋果購進(jìn)20件．（2）購進(jìn)A種蘋果40件，B中蘋果40件時(shí)，獲得最大銷售利潤為1040元．（3）將銷售價(jià)定為每件27元時(shí)，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元．【解答】解：（1）設(shè)A，B兩種蘋果分別購進(jìn)x件和y件，由題意得：，解得，答：A中蘋果購進(jìn)10件，B中蘋果購進(jìn)20件．（2）設(shè)購進(jìn)A種蘋果m件，則購進(jìn)B種蘋果（80﹣m）件，由題意得：28m+22（80﹣m）≤2000，∴m≤40，設(shè)利潤為w元，則w＝（42﹣28）m+（34﹣22）（80﹣m）＝2m+960，∵2＞0，∴w隨m的增大額增大，∴當(dāng)m＝40時(shí)，w最大值＝2×40+960＝1040．故購進(jìn)A種蘋果40件，B中蘋果40件時(shí)，獲得最大銷售利潤為1040元．（3）設(shè)B種蘋果降價(jià)a元銷售，則每天多銷售2a件，每天利潤為（12﹣a），由題意得：（4+2a）（12﹣a）＝90，解得，a＝3或a＝7，∵為了盡快減少庫存，∴a＝7，34﹣7＝27，答：將銷售價(jià)定為每件27元時(shí)，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元．39．（2023春?北侖區(qū)期中）某超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長率不變．（1）求二、三這兩個(gè)月的月平均增長率；（2）從四月份起，商場決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場獲利4250元？【答案】（1）二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為25%；（2）當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商品獲利4250元．【解答】解：（1）設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為x，根據(jù)題意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝，x2＝﹣（不合題意舍去）．答：二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為25%；（2）設(shè)當(dāng)商品降價(jià)m元時(shí)，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合題意舍去）．答：當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商品獲利4250元．【題型7一元二次方程應(yīng)用-幾何面積問題】40．（2023春?溫州期中）如圖，在長為32米，寬為20米的長方形地面上修筑同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設(shè)小路的寬為x米，則下面所列方程正確的是（）A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100 C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100【答案】B【解答】解：設(shè)道路的寬x米，則32x+20x＝100+x2．32x+20x﹣x2＝100．故選：B．41．（2022春?憑祥市期中）如圖，在長為30m，寬為15m的長方形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），其余部分鋪設(shè)草坪，要使草坪的面積為406m2，則小路的寬度應(yīng)為多少（）A．1 B．1.5 C．2 D．4【答案】A【解答】解：將道路進(jìn)行平移，剩余的草坪為一個(gè)小長方形，設(shè)小路寬為xm，根據(jù)題意，得（30?x）（15?x）＝406．整理得（x﹣1）（x﹣44）＝0．解得x1＝1，x2＝44（不合題意，舍去）．則小路寬為1m，故選：A．42.（2023?兩江新區(qū)一模）如圖，某小區(qū)居民休閑娛樂中心是一塊長方形（長60米，寬40米）場地，被3條寬度相等的綠化帶分為總面積為1750平方米的活動(dòng)場所，如果設(shè)綠化帶的寬度為x米，由題意可列方程為（）A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750 C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750【答案】B【解答】解：∵長方形場地的長為60米，寬為40米，且綠化帶的寬度為x米，∴被分成六塊的活動(dòng)場所可合成長為（60﹣2x）米，寬為（40﹣x）米的長方形．根據(jù)題意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．故選：B．43．（2023春?渦陽縣期中）如圖，長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，現(xiàn)在它的四個(gè)角上剪去邊長為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無蓋的長方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【答案】A【解答】解：∵長方形鐵皮的長為10cm，寬為8cm，且在它的四個(gè)角上剪去邊長為xcm的正方形，∴做成無蓋的長方體盒子的底面是長為（10﹣2x）cm，寬為（8﹣2x）cm的長方形．根據(jù)題意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，整理得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7（不符合題意，舍去），∴x的值為2．故選：A．44．（2023春?永嘉縣校級期中）如圖，在高3m，寬4m的長方形墻面上有一塊長方形裝飾板（圖中陰影部分），裝飾板的上面和左右兩邊都留有寬度為x（m）的空白墻面．若長方形裝飾板的面積為4m2，則以下方程正確的是（）?A．（3﹣x）（4﹣x）＝4 B．（3﹣x）（4﹣2x）＝4 C．（3﹣2x）（4﹣x）＝4 D．（3﹣2x）（4﹣2x）＝4【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得（4﹣2x）（3﹣x）＝4，故選：B．45．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，把一塊長AB為40cm的長方形硬紙板的四角剪去四個(gè)邊長為5cm的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋長方體紙盒．若紙盒的體積是1500cm3，則長方形硬紙板的寬為多少？【答案】長方形硬紙板的寬為20cm．【解答】解：設(shè)長方形硬紙板的寬為xcm，根據(jù)題意，得（40﹣10）×（x﹣10）×5＝1500，解得：x＝20；答：長方形硬紙板的寬為20cm．46．（2022秋?城固縣期末）如圖，現(xiàn)有一塊長11cm，寬7cm的長方形硬紙板，在它的四個(gè)角分別剪去一個(gè)大小完全相同的小正方形，用剩余的部分（圖中陰影部分）做成一個(gè)底面積為21cm2的無蓋長方體盒子，請求出剪去的小正方形的邊長．【答案】剪去的小正方形的邊長為2cm．【解答】解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為xcm，由題意得，（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，解得x＝2（不合題意的值舍去），∴剪去的小正方形的邊長為2cm．47．（2023?政和縣模擬）為培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動(dòng)價(jià)值觀和良好的勞動(dòng)品質(zhì)．某校為此規(guī)劃出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為15米）另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個(gè)區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設(shè)矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為（30﹣3x）米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）矩形ABCD的面積能否為80m2，若能，請求出AB的長；若不能，請說明理由．【答案】（1）（30﹣3x）；（2）矩形ABCD的面積不能為80m2，理由見詳解．【解答】解：（1）∵修建所用木欄總長28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案為：（30﹣3x）；（2）不能，理由如下：由題意得：x（30﹣3x）＝80，整理得：3x2﹣30x+80＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝900﹣4×3×80＝﹣60＜0，∴原方程無解，∴矩形ABCD的面積不能為80m2．48．（2022秋?從化區(qū)期末）某農(nóng)場要建一個(gè)矩形動(dòng)物場，場地的一邊靠墻（墻AB長度不限），另外三邊用木欄圍成，木欄總長20米，設(shè)動(dòng)物場CD邊的長為xm，矩形面積為ym2．（1）矩形面積y＝﹣2x2+20x（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)矩形動(dòng)物場面積為48m2時(shí)，求CD邊的長．（3）能否圍成面積為60m2矩形動(dòng)物場？說明理由．【答案】（1）﹣2x2+20x；（2）4m或6m；（3）不能，理由見解析．【解答】解：（1）根據(jù)題意，y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，故答案為：﹣2x2+20x；（2）根據(jù)題意，得﹣2x2+20x＝48，解得x1＝4，x2＝6，∵墻AB長度不限，∴CD邊的長為4m或6m；（3）不能，理由如下：根據(jù)題意，得﹣2x2+20x＝60，整理，得x2﹣10x+30＝0，∵Δ＝100﹣4×1×30＝﹣20＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，∴不能圍成面積為60m2矩形動(dòng)物場．【題型8一元二次方程應(yīng)用-幾何動(dòng)態(tài)問題】49．（2022秋?舞鋼市期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝21cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，以3cm/s的速度沿AB向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從C出發(fā)，以2cm/s的速度沿著CD向D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止．則EF的長為10cm時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（）A．3s B．s C．3s或s D．2.5s【答案】C【解答】解：過點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，如圖所示．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，AE＝3tcm，CF＝2tcm，EM＝8cm，∴MF＝|AB﹣AE﹣CF|＝|21﹣5t|cm．根據(jù)題意得：82+（21﹣5t）2＝102，整理得：5t2﹣42t+81＝0，解得：t1＝3，t2＝，∴EF的長為10cm時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是3s或s．故選：C．50.（2022?晉中期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，點(diǎn)Q移動(dòng)到C點(diǎn)后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形APQC的面積為9cm2時(shí)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s【答案】A【解答】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒后，能使四邊形APQC的面積為9cm2，則BP為（8﹣t）cm，BQ為2tcm，由三角形的面積計(jì)算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），解得t1＝3，t2＝5（當(dāng)t＝5時(shí)，BQ＝10，不合題意，舍去）．∴動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，能使四邊形APQC的面積為9cm2．故選：A．51.（2022?方城縣期末）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A的方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)