專題45 構(gòu)造平行四邊形問(wèn)題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問(wèn)題專題訓(xùn)練

專題45構(gòu)造平行四邊形問(wèn)題【規(guī)律總結(jié)】平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅巍匦?、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用。2.由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：(1)平行四邊形對(duì)角相等；(2)平行四邊形對(duì)邊相等；(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分．3.除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【典例分析】例1．（2019·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，則長(zhǎng)（）．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】求BE的長(zhǎng)，可轉(zhuǎn)化為，EF已知，只需求出BF的長(zhǎng)即可，延長(zhǎng)AD，使，連接BG，CG，判定四邊形ABGC為平行四邊形，在DG上取一點(diǎn)H，使，判斷四邊形BECI為平行四邊形，求證即可求解．【詳解】延長(zhǎng)AD，使，連接BG，CG，∵，，∴四邊形ABGC為平行四邊形，∴，在DG上取一點(diǎn)H，使，連接并延長(zhǎng)交于，

∵，∴四邊形BECI為平行四邊形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)即定理，以及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，學(xué)會(huì)運(yùn)用輔助線作圖以及熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)即定理，以及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的定理是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2020·浙江寧波市·八年級(jí)期中）如圖，已知△ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BF=4CF，四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積是_____．【答案】8【分析】連接EC，過(guò)A作AM∥BC交FE的延長(zhǎng)線于M，求出平行四邊形ACFM，根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出△BDE的面積和△CDE的面積相等，△ADE的面積和△AME的面積相等，推出陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，求出CF×hCF的值即可．【詳解】連接DE、EC，過(guò)A作AM∥BC交FE的延長(zhǎng)線于M，∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴DE∥CF，EF∥CD，∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，∴四邊形ACFM是平行四邊形，∵△BDE邊DE上的高和△CDE的邊DE上的高相同，∴△BDE的面積和△CDE的面積相等，同理△ADE的面積和△AME的面積相等，即陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，是×CF×hCF，∵△ABC的面積是24，BC＝3CF∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，∴CF×hCF＝16，∴陰影部分的面積是×16＝8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，同底等高三角形面積的關(guān)系，解題中注意陰影部分面積的求法，根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇正確的求法是解題的關(guān)鍵．例3．（2020·四川成都市·雙流中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)是正方形中延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交線段于．（1）若，求的大小．（2）求證：．（3）若正方形的邊長(zhǎng)為1，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）25°；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）【分析】（1）由正方形性質(zhì)得到∠DBP的度數(shù)，利用外角性質(zhì)得到∠GEB的度數(shù)，再由直角三角形兩銳角互余，即可得到∠GBE的度數(shù)；（2）連接CE，證△ECF與△EPC，可得EC的平方與EF和EP的關(guān)系，再根據(jù)正方形性質(zhì)得到EA=EC，即可得到結(jié)論；（3）利用三角函數(shù)值求出DM的長(zhǎng)，再利用△ABG和△ABP相似求出AG長(zhǎng)，證明四邊形ACPD是平行四邊形可得∠DPA與∠GAH相等，則它們的三角函數(shù)值相等，通過(guò)∠GAH的正切值即可得到HG的長(zhǎng)；【詳解】（1）∵四邊形是正方形，是正方形的對(duì)角線，∴，∵中，∴，∵，∴；（2）如圖所示，連接，∵四邊形是正方形，∴關(guān)于對(duì)稱，即，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（3）∵正方形的邊長(zhǎng)為1，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，連接，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，過(guò)點(diǎn)作于，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)值、平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線，確定相似三角形是解題的關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·寧夏中考真題）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為13，對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別是邊、的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，則（）A．13 B．10 C．12 D．5【答案】B【分析】連接對(duì)角線BD，交AC于點(diǎn)O，求證四邊形BDEG是平行四邊形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，BD=2OD，即可求出EG．【詳解】連接BD，交AC于點(diǎn)O，由題意知：菱形ABCD的邊長(zhǎng)為13，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC的中點(diǎn)，∴AB=BC=CD=DA=13，EFBD，∵AC、BD是菱形的對(duì)角線，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵ABCD，EFBD∴DEBG，BDEG在四邊形BDEG中，∵DEBG，BDEG∴四邊形BDEG是平行四邊形∴BD=EG在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12∴OD=OB=5∴BD=EG=10故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2020·眉山市東坡區(qū)東坡中學(xué)八年級(jí)期中）在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG//BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t為()s時(shí)，以A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？（）A．2 B．3 C．6 D．2或6【答案】D【分析】分別從當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)與當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)去分析，由當(dāng)AE=CF時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案．【詳解】①當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：AE=tcm，BF=2tcm，則CF=BC-BF=6-2t（cm），∵AG∥BC，∴當(dāng)AE=CF時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，即t=6-2t，解得：t=2；②當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：AE=tcm，BF=2tcm，則CF=BF-BC=2t-6（cm），∵AG∥BC，∴當(dāng)AE=CF時(shí)，四邊形AEFC是平行四邊形，即t=2t-6，解得：t=6；綜上可得：當(dāng)t=2或6s時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定．此題難度適中，注意掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．二、填空題3．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在梯形中，，對(duì)角線，且，則梯形的中位線的長(zhǎng)為_(kāi)________.【答案】5【解析】【詳解】解：過(guò)C作CE∥BD交AB的延長(zhǎng)線于E，

∵AB∥CD，CE∥BD，

∴四邊形DBEC是平行四邊形，

∴CE=BD，BE=CD

∵等腰梯形ABCD中，AC=BD∴CE=AC

∵AC⊥BD，CE∥BD，

∴CE⊥AC

∴△ACE是等腰直角三角形，

∵AC=，

∴AE=AC=10，∴AB+CD=AB+BE=10，

∴梯形的中位線=AE=5，

故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線定理，牢記定理是解答本題的重點(diǎn)，難點(diǎn)是題目中的輔助線的做法．三、解答題4．（2020·浙江溫州市·實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，在?ABCD中，BD＝6，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，動(dòng)點(diǎn)E在邊上，，動(dòng)點(diǎn)F在射線BD上，BF＝5x．（1）若點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在x的值，使得以P，D，E，F(xiàn)頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)E作交DG的于點(diǎn)H連接FH，把△DHF沿FH翻折得到△D'HF，當(dāng)D'F與△DBG的一邊平行時(shí)，HG的長(zhǎng)．（直接寫(xiě)出答案）【答案】（1）滿足條件的x的值為或2；（2）滿足條件的GH的值為或或．【分析】（1）分兩種情形：如圖1﹣1中，當(dāng)點(diǎn)F在線段BD上時(shí)，即0≤x≤1.2時(shí)，四邊形PEDF是平行四邊形，如圖1﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，即x＞1.2時(shí)，四邊形DPEF是平行四邊形，分別構(gòu)建方程求解即可．（2）分三種情形：如圖2﹣1中，當(dāng)D′F∥DG時(shí)，如圖2﹣2中，當(dāng)FD′∥BC時(shí)，設(shè)HD′交BD于R．如圖2﹣3中，當(dāng)FD′∥DG時(shí)，四邊形FDHD′是菱形，分別構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖1﹣1中，當(dāng)點(diǎn)F在線段BD上時(shí)，即0≤x≤1.2時(shí)，四邊形PEDF是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)E作EJ⊥CG于J．由題意，DF＝PE＝6﹣5x，CE＝x，∵AB∥CD，∴∠ECJ＝∠ABC＝45°，∴EJ＝CJ＝x，∵PE∥BD，∴∠EPJ＝∠DBC＝30°，∴PE＝2EJ，∴6﹣5x＝2x，∴x＝．如圖1﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，即x＞1.2時(shí)，四邊形DPEF是平行四邊形，同法可得，DF＝PE＝2EJ，∴5x﹣6＝2x，∴x＝2，綜上所述，滿足條件的x的值為或2．（2）如圖2﹣1中，當(dāng)D′F∥DG時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥BG于T．∵∠ECT＝45°，EC＝x，∠ETC＝90°，∴ET＝CT＝x，∵EH⊥DG，DG⊥BG，∴∠ETG＝∠EHG＝∠HGT＝90°，∴四邊形ETGH是矩形，∴HG＝ET＝x，由題意，DF=D′F，D′F∥DH，∠BDH=60°，∴∠D′HG=∠FD′H=60°，∴FD//D′H∴四邊形DFD′H是菱形，∴DF＝DH＝3﹣x，∴6﹣5x＝3﹣x，∴x＝．如圖2﹣2中，當(dāng)FD′∥BC時(shí)，設(shè)HD′交BD于R．∵FD′∥BC，∴∠D′FR＝∠DBC＝30°，∵∠D′＝∠BDG＝60°，∴∠DRH＝90°，∴DR＝DH＝（3﹣x）．RH＝DR＝（3﹣x），∵RD′＝D′H﹣RH＝3﹣x﹣（3﹣x），∴FR＝D′R＝[3﹣x﹣（3﹣x）]，∵FR+DF＝DR，∴[3﹣x﹣（3﹣x）]+6﹣5x＝（3﹣x），∴x＝．如圖2﹣3中，當(dāng)FD′∥DG時(shí)，∠BDG=60°，∴∠DFD′=60°，∠HDF=120°，由折疊可知，DF=D′F，∠FD′H=120°，∴DF//HD′∴四邊形FDHD′是菱形，∴DH＝DF，∴3﹣x＝5x﹣6，∴x＝，綜上所述，滿足條件的GH的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定、解直角三角形、翻折變化等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分類討論，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬中考?jí)狠S題5．（2020·哈爾濱市第十七中學(xué)校八年級(jí)月考）已知，菱形中，，、分別是邊和上的點(diǎn)，且．（1）求證：（2）如圖2，在延長(zhǎng)線上，且，求證：（3）如圖3，在（2）的條件下，，，是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）7【分析】（1）連接AC，如圖1，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC，而∠B=60°，則可判定△ABC為等邊三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF，然后利用ASA可證明△AEB≌△AFC，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，利用平行線的性質(zhì)求得△FHC是等邊三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF，從而問(wèn)題得解；（3）過(guò)點(diǎn)B作BK∥FC，交HF于點(diǎn)K，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行求得四邊形KBAF是平行四邊形，從而求得，F(xiàn)K=16，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥FH，然后利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求得MF=,，從而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）連接AC，如圖1，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB，∴∠BAE+∠EAC=60°，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACP=60°，∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°，∴∠BAE=∠CAP，在△AEB和△APC中，，∴△AEB≌△APC，∴BE=CF∴；（2）過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H∵FH∥AB∴∠H=∠CGH=60°∴△FHC是等邊三角形∴CF=CH=FH又∵△ABC是等邊三角形∴CA=CB∴AF=BH又∵FB=FE∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC在△HBF和△CEF中∴△HBF≌△CEF∴BH=EC∴AF=EC（3）過(guò)點(diǎn)B作BK∥FC，交HF于點(diǎn)K，∵BK∥FC，F(xiàn)H∥AB∴四邊形KBAF是平行四邊形∴KB=AF=EC=6，∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16過(guò)點(diǎn)A作AM⊥FH由（2）可知，∠CFH=60°∴在Rt△AMF中，∠MAF=30°∴MF=,∴KM=16-3=13在Rt△AKM中，∴AO=7．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，及平行四邊形的判定和性質(zhì)，題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關(guān)鍵的突破點(diǎn)．6．（2020·江西九年級(jí)一模）如圖，反比例函數(shù)y＝（x＞0）過(guò)點(diǎn)A（3，4），直線AC與x軸交于點(diǎn)C（6，0），過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)B，（1）求反比例函數(shù)和直線AC的解析式；（2）求△ABC的面積；（3）在平面內(nèi)有點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的所有D點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為：y＝；直線AC的解析式為：y＝﹣x+8；（2）3；（3）符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．【分析】（1）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y＝求得k的值，然后將A，C坐標(biāo)代入直線解析式解答即可；（2）把x=6代入反比例函數(shù)解析式求得相應(yīng)的y的值，即得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而利用三角形面積公式解答即可；

（3）使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平