專題2.4 勾股定理的應用（壓軸題專項講練）（浙教版）（原卷版）

專題2.4勾股定理的應用【典例1】吳老師在與同學進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設計了以下三個問題，請你根據下列所給的條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路徑長．（1）如圖1，正方體的棱長為5cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿正方體表面爬到點C1處；（2）如圖2，長方體底面是邊長為5cm的正方形，高為6cm，一只螞蟻欲從長方體底面上的點A沿長方體表而爬到點C1處；（3）如圖3，是一個底面周長為10cm，高為5cm的圓柱體，一只螞蟻欲從圓柱體底面上的點A沿圓柱體側面爬到點C處．【思路點撥】（1）根據正方體的側面展開圖，利用勾股定理求出AC1的長即可得答案；（2）分橫向展開和豎向展開兩種情況，分別利用勾股定理求出AC1的長，比較即可得答案；（3）畫出圓柱側面展開圖，利用勾股定理求出AC的長即可得答案．【解題過程】（1）正方體的側面展開圖如圖所示：AC1為螞蟻需要爬行的最短路徑長，∵正方體的棱長為5cm，∴AC=10，CC1=5，∴AC1=AC2+C∴螞蟻需要爬行的最短路徑長為55cm（2）分兩種情況：①如圖，當橫向展開時：AC=10，CC1=6，∴AC1=AC2+C②如圖，當豎向展開時：AD=11，DC1=5，∴AC1=AD2+D∵234＜146∴螞蟻需要爬行的最短路徑長為234cm（3）圓柱側面展開圖如圖所示：∵圓柱底面周長為10cm，高為5cm，∴BC=5，AB=5，∴AC=AB2+BC∴螞蟻需要爬行的最短路徑長為52cm1．（2023春·八年級課時練習）如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得DB的長0.5米，則梯子頂端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．12．（2023春·八年級課時練習）如圖，高速公路上有A,B兩點相距10?km，C,D為兩村莊，已知DA=4?km，CB=6?km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務站E，使得C,D兩村莊到E站的距離相等，則EB的長是(A．4?km B．5?km C．6?km D．20?km3．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B在棱上且離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是（

）A．25 B．529 C．105+5 D．4．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．動點P滿足S△PAB＝13S矩形ABCD，則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為（A．29 B．34 C．41 D．525．（2023春·八年級課時練習）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點160米處有一所學校A，當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為36千米/時，則對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離是___米；重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間是____秒．6．（2023春·八年級課時練習）如圖，一艘輪船航行到B處時，測得小島A在船的北偏東60°的方向上，輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行100海里到達C處時，測得小島A在船的北偏東30°的方向上，AD⊥BC于點D，則AD的長為______海里．7．（2023秋·河南南陽·八年級?？计谀┰赗t△ABC中，∠C=90°,BC=8cm,AC=4cm，在射線BC上一動點D，從點B出發(fā)，以1厘米每秒的速度勻速運動，若點D運動t秒時，以A、D、B為頂點的三角形恰為等腰三角形，則所用時間t8．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，垂足為D，已知BD=1,?AD=CD=2,?BC上方有一動點P，且點P到A,D兩點的距離相等，則9．（2022春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，連接DF、CF，則DF+CF的最小值等于______．10．（2022·廣東深圳·深圳市寶安第一外國語學校?？既＃┠痴n題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．解法：作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為___________；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值___________；（3）代數應用：求代數式x2+1+11．（2022秋·八年級課時練習）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．12．（2023春·八年級課時練習）如圖，A，B兩個村莊在河CD的同側，兩村莊的距離為a千米，a2=13，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，（1）在圖上作出向A，B兩村鋪設水管所用材料最省時的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）（2）經預算，修建水廠需20萬元，鋪設水管的所有費用平均每千米為3萬元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元．13．（2022春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形ABCD為某街心公園的平面圖，經測量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度數；（2）若BA為公園的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點D處安裝一個監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路BA的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長度為多少？14．（2022秋·四川內江·八年級?？茧A段練習）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），然后在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處，AB=22+12=5，BC=10，（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：______．（2）思維拓展：若△ABC三邊的長分別為5a、22a、17aa>0，請利用圖②（3）探索創(chuàng)新：若△ABC三邊的長分別為m2+16n2、9m2+4n2（4）直接寫出當x為何值時，函數y=x15．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，一條河流的BD段長為12km，在B點的正北方4km處有一村莊A，在D點的正南方2km處有一村莊E，計劃在BD上建一座橋C，使得橋C到A村和E村的距離和最?。埜鶕陨闲畔ⅲ卮鹣铝袉栴}：（1）將橋C建在何處時，可以使得橋C到A村和E村的距離和最??？請在圖中畫出此時C點的位置；（2）小明發(fā)現(xiàn)：設BC=x，則CD=12-x，則AC+CE=x2+（3）結合（1）（2）問，請直接寫出下列代數式的最小值：①x2+9+②2x-2216．（2023秋·河北秦皇島·九年級校聯(lián)考期末）在我市某海域內有三個港口P、Q、M．港口M在港口P北偏東60°方向上，港口Q在港口P北偏西60°方向上．一艘船以每小時20海里的速度沿北偏東30°的方向駛離P港口5小時后到達H點位置處，此時發(fā)現(xiàn)船艙漏水，海水以每小時36噸的速度滲入船內．當船艙滲入的海水總量超過100噸時，船將沉入海中．同時在H處測得港口M在H處的南偏東（1）此船在H處距離哪個港口最近？為什么？（2）此船在H處至少應以怎樣的航行速度駛向最近的港口?？?，才能保證船在抵達港口前不會沉沒？并指出此時船的航行方向．17．（2023春·全國·八年級專題練習）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．【知識運用】（1）如圖，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為米．（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，現(xiàn)要在AB上建造一個供應站P，使得PC=PD，請用尺規(guī)作圖在圖中作出P點的位置并求出AP的距離．（3）【知識遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，則代數式x2+25+(9-x)218．（2022秋·江蘇·八年級期末）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）如圖①，正方體的棱長為2cm，A是正方體的頂點，P為棱BC的中點．螞蟻從點A爬行到點P的最短路徑的長為cm（結果保留根號）．（2）如圖②，四棱錐的底面四邊形ABCD是正方形，O是四棱錐的頂點，四棱錐的四個側面是全等的等腰三角形，側棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P為側棱OC的中點．圖③所示的四棱錐的側面展開圖中