1角的平分線的性質(zhì) 省賽一等獎(jiǎng)

12.3

角平分線的性質(zhì)（1）第十二章全等三角形一、情境導(dǎo)入

在學(xué)直角三角形全等的條件時(shí)做過這樣一個(gè)題：在∠AOB的兩邊OA和OB上分別取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC與NC交于C點(diǎn)．求證：∠MOC=∠NOC．

通過證明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可證明∠MOC=∠NOC，所以射線OC就是∠AOB的平分線．受這個(gè)題的啟示，我們能不能這樣做：在已知∠AOB的兩邊上分別截取OM=ON，再分別過M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC與NC交于C點(diǎn)，連接OC，那么OC就是∠AOB的平分線了．思考：這個(gè)方案可行嗎？

右圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC．將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線．你能說明它的道理嗎？1.議一議

要說明AC是∠DAC的平分線，其實(shí)就是證明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分別在△CAD和△CAB中，那么證明這兩個(gè)三角形全等就可以了．在△ABC和△ADC中二、探索新知所以△ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射線AC就是∠DAB的平分線．

作已知角的平分線的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線．作法：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．（2）分別以M、N為圓心，大于1/2MN的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C．（3）作射線OC，射線OC即為所求．討論：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1/2MN的長”這個(gè)條件行嗎？2．第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？總結(jié)：1．去掉“大于1/2MN的長”這個(gè)條件，所作的兩弧可能沒有交點(diǎn)，所以就找不到角的平分線．

2．若分別以M、N為圓心，大于1/2MN的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點(diǎn)可能在∠AOB的內(nèi)部，也可能在∠AOB的外部，而我們要找的是∠AOB內(nèi)部的交點(diǎn)，否則兩弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了．

3．角的平分線是一條射線．它不是線段，也不是直線，所以第二步中的兩個(gè)限制缺一不可．

4．這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明．按以下步驟折紙

1.在準(zhǔn)備好的三角形的每個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)好字母；A、B、C。把角A對(duì)折，使得這個(gè)角的兩邊重合。

2.在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)C，

3.過點(diǎn)C折OA邊的垂線，得到新的折痕CD，其中，點(diǎn)D是折痕與OA的交點(diǎn)，即垂足。

4.將紙打開，新的折痕與OB邊交點(diǎn)為E。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．如圖，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC.求證：OE=OD.2.做一做三、掌握新知分析：從實(shí)踐中可以看出，第一條折痕是∠AOB的平分線OC，第二次折疊形成的兩條折痕PD、PE是角的平分線上一點(diǎn)到∠AOB兩邊的距離，這兩個(gè)距離相等．

例

OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E求證：PD=PE．證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中，

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE四、鞏固練習(xí)答案：1．提示：作∠AOB的平分線交MN于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即為P點(diǎn)．1.本節(jié)課要掌握：

（1）學(xué)生自行小結(jié)角平分線性質(zhì)及其逆定理，和它們