甘肅省武威第八中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

甘肅省武威第八中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列的通項(xiàng)為，我們把使乘積為整數(shù)的叫做“優(yōu)數(shù)”，則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為（）A．1024 B．2012 C．2026 D．20362．過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程是（）A． B．或C．或 D．或3．若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．或 B．C．或 D．4．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．5．趙爽是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱(chēng)“趙爽弦圖”，如圖，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取-點(diǎn)，這一點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為，則勾與股的比為（）A． B． C． D．6．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和是（）A．290 B． C． D．7．已知滿(mǎn)足，且，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()A． B． C． D．8．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．讀下面的程序框圖，若輸入的值為-5，則輸出的結(jié)果是（）A．-1 B．0 C．1 D．210．如圖，在正方體中，已知，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角等于（）A．90° B．60°C．45° D．30°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．水平放置的的斜二測(cè)直觀(guān)圖如圖所示，已知，，則邊上的中線(xiàn)的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi)_____．12．過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)l：垂直的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____.（請(qǐng)用一般式表示）13．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)為，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____14．已知圓及點(diǎn)，若滿(mǎn)足：存在圓C上的兩點(diǎn)P和Q，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.15．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，，則________．16．如果，，則的值為_(kāi)_______（用分?jǐn)?shù)形式表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若.（1)求角；（2）若，則周長(zhǎng)的取值范圍.18．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.19．已知三棱錐中，，.若平面分別與棱相交于點(diǎn)且平面.求證:（1）；（2）.20．在等差數(shù)列{}中，=3，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，=1，公比為q,且b2+S2=12，．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{}滿(mǎn)足，求{}的前n項(xiàng)和．21．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且求若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得的范圍，再用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求和.【題目詳解】根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，令，則可得令，解得則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為：故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義問(wèn)題，本質(zhì)是考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式.2、D【解題分析】

先由題意得到圓的圓心坐標(biāo)，與半徑，設(shè)所求直線(xiàn)方程為，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，由題意，易知所求切線(xiàn)斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線(xiàn)方程為，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直線(xiàn)方程分別為：或，整理得或.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式即可求解，屬于常考題型.3、A【解題分析】

根據(jù)題意，原題等價(jià)于，再討論即可得到結(jié)論．【題目詳解】由題，故函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于即當(dāng)時(shí)，，,符合題意；當(dāng)，時(shí)，令，滿(mǎn)足解得,綜上的取值范圍是或故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．4、A【解題分析】

根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，可得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的加法法則的應(yīng)用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

分別求解出小正方形和大正方形的面積，可知面積比為，從而構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【題目詳解】由圖形可知，小正方形邊長(zhǎng)為小正方形面積為：，又大正方形面積為：，即：解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型中的面積型的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用概率構(gòu)造出關(guān)于所求量的方程.6、C【解題分析】

由得為等差數(shù)列，求得，得利用裂項(xiàng)相消求解即可【題目詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，整理得，所以是公差為4的等差數(shù)列，又，所以，從而，所以，數(shù)列的前10項(xiàng)的和.故選.【題目點(diǎn)撥】本題考查遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式，裂項(xiàng)相消求和，熟記公式，準(zhǔn)確得是等差數(shù)列是本題關(guān)鍵，是中檔題7、D【解題分析】

首先根據(jù)題意得到，，結(jié)合選項(xiàng)即可找到答案.【題目詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.8、B【解題分析】

不難發(fā)現(xiàn)從而可得【題目詳解】,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)大?。?、A【解題分析】

直接模擬程序框圖運(yùn)行,即可得出結(jié)論.【題目詳解】模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程如下:輸入,進(jìn)入判斷結(jié)構(gòu),則,,輸出,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖,一般求輸出結(jié)果時(shí),常模擬程序運(yùn)行,列表求解.10、B【解題分析】

連接，可證是異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，求出此角即可．【題目詳解】連接，因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，又正方體中，所以是異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，是等邊三角形，＝60°．所以異面直線(xiàn)與所成的角為60°．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線(xiàn)所成的角，解題時(shí)需根據(jù)定義作出異面直線(xiàn)所成的角，同時(shí)給出證明，然后在三角形中計(jì)算．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用斜二測(cè)直觀(guān)圖的畫(huà)圖規(guī)則，可得為一個(gè)直角三角形，且，得，從而得到邊上的中線(xiàn)的實(shí)際長(zhǎng)度為.【題目詳解】利用斜二測(cè)直觀(guān)圖的畫(huà)圖規(guī)則，平行于軸或在軸上的線(xiàn)段，長(zhǎng)度保持不變；平行于軸或在軸上的線(xiàn)段，長(zhǎng)度減半，利用逆向原則，所以為一個(gè)直角三角形，且，所以，所以邊上的中線(xiàn)的實(shí)際長(zhǎng)度為.【題目點(diǎn)撥】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，考查基本識(shí)圖、作圖能力.12、【解題分析】

與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程可設(shè)為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：與直線(xiàn)l：垂直的直線(xiàn)方程可設(shè)為，又該直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，則，即點(diǎn)且與直線(xiàn)l：垂直的直線(xiàn)方程為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了與已知直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程的求法，屬基礎(chǔ)題.13、【解題分析】由題意可得，解得．

∴等差數(shù)列的前三項(xiàng)為-1，1，1．

則1．

故答案為．14、【解題分析】

設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及兩圓相交的條件求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)，由得，由點(diǎn)在圓上，得，又在圓上，，與有交點(diǎn)，則，解得故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、利用圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.15、18【解題分析】

利用，化簡(jiǎn)得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，利用,即可求解.【題目詳解】,即所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列即所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先求出，可得，再代值計(jì)算即可.【題目詳解】.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、累乘相消法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）利用切化成弦和余弦定理對(duì)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得角的正弦值；（2）利用成正弦定理把邊化成角，從而實(shí)現(xiàn)的周長(zhǎng)用角B的三角函數(shù)進(jìn)行表示，即周長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角形中角，求得函數(shù)值域.【題目詳解】（1）由，得到，又，所以.（2），，設(shè)周長(zhǎng)為，由正弦定理知，由合分比定理知，即，，即.又因?yàn)闉殇J角三角形，所以.，周長(zhǎng).【題目點(diǎn)撥】對(duì)運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，首先要明確變化的量是什么？或者選定什么量為變量？然后，利用函數(shù)與方程思想，把所求的目標(biāo)表示成關(guān)于變量的函數(shù)，再研究函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行問(wèn)題求解.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②聯(lián)立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵，即，，∴，，又∵，，∴.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得線(xiàn)線(xiàn)平行，最后利用平行公理可以證明出；（2）利用線(xiàn)面垂直的判定定理可以證明線(xiàn)面垂直，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可以證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，最后證明出.【題目詳解】證明（1）因?yàn)槠矫?，平面平?平面，所以有,同理可證出,根據(jù)平行公理，可得；（2）因?yàn)?，?平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，線(xiàn)面垂直的判定定理、以及平行公理的應(yīng)用.20、（1），；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列{}中，=1，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，=1，公比為q,且b2+S2=12，，設(shè)出基本元素，得到其通項(xiàng)公式；（2）由于，所以，那么利用裂項(xiàng)求和可以得到結(jié)論.【題目詳解】（1）設(shè)：{}的公差為,因?yàn)?，所以，解?1或=-4（舍）,=1．故，；（2）因?yàn)楣?本題主要是考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，以及數(shù)列求和