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河南省鶴壁市浚縣第二高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.某校高二理(1)班學(xué)習(xí)興趣小組為了調(diào)查學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例,設(shè)計(jì)了如下調(diào)查方法:(1)在本校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生,并編號(hào)1,2,3,…,100;(2)在箱內(nèi)放置了兩個(gè)黃球和三個(gè)紅球,讓抽取到的100名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球,記住其顏色并放回;(3)請(qǐng)下列兩類(lèi)學(xué)生站出來(lái),一是摸到黃球且編號(hào)數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生,二是摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生。若共有32名學(xué)生站出來(lái),那么請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是()A.80% B.85% C.90% D.92%2.已知,,則的最大值為()A.9 B.3 C.1 D.273.連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)正面向上與反面向上各一次的概率是(
)A. B. C. D.4.已知:平面內(nèi)不再同一條直線(xiàn)上的四點(diǎn)、、、滿(mǎn)足,若,則()A.1 B.2 C. D.5.直線(xiàn)在軸上的截距為,在軸上的截距為,則()A. B. C. D.6.已知一個(gè)幾何體是由半徑為2的球挖去一個(gè)三棱錐得到(三棱錐的頂點(diǎn)均在球面上).若該幾何體的三視圖如圖所示(側(cè)視圖中的四邊形為菱形),則該三棱錐的體積為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,是等比數(shù)列,,,則下列說(shuō)法正確的是()A. B.C. D.與的大小不確定8.若,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.9.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是A. B. C. D.10.“”是“直線(xiàn)(m+1)x+3my+2=0與直線(xiàn)(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若首項(xiàng)為,公比為()的等比數(shù)列滿(mǎn)足,則的取值范圍是________.12.若,則的值為_(kāi)______.13.已知等比數(shù)列中,,,則該等比數(shù)列的公比的值是______.14.設(shè),,,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式=.15.若數(shù)列滿(mǎn)足,且對(duì)于任意的,都有,則___;數(shù)列前10項(xiàng)的和____.16.已知數(shù)列為等比數(shù)列,,,則數(shù)列的公比為_(kāi)_________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期為π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.18.等差數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.已知數(shù)列滿(mǎn)足,且(,且).(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:.20.已知等差數(shù)列中,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,且;(1)求它的通項(xiàng).(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】
先分別計(jì)算號(hào)數(shù)為奇數(shù)的概率、摸到黃球的概率、摸到紅球的概率,從而可得摸到黃球且號(hào)數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生,進(jìn)而可得摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生人數(shù),由此可得估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例.【題目詳解】解:由題意,號(hào)數(shù)為奇數(shù)的概率為0.5,摸到黃球的概率為,摸到紅球的概率為那么按概率計(jì)算摸到黃球且號(hào)數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生有個(gè)共有32名學(xué)生站出來(lái),則有12個(gè)摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生,不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生有:,喜歡數(shù)學(xué)課的有80個(gè),估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是:.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】
由已知,可利用柯西不等式,構(gòu)造柯西不等式,即可求解.【題目詳解】由已知,可知,,利用柯西不等式,可構(gòu)造得,即,所以的最大值為3,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了柯西不等式的應(yīng)用,其中解答中熟記柯西不等式,合理構(gòu)造柯西不等式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.3、C【解題分析】
利用列舉法求得基本事件的總數(shù),利用古典概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【題目詳解】由題意,連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,基本事件包含:(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面),共有4中情況,出現(xiàn)正面向上與反面向上各一次,包含基本事件:(正面,反面),(反面,正面),共2種,所以的概率為,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題,其中解答中熟練利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】
根據(jù)向量的加法原理對(duì)已知表示式轉(zhuǎn)化為所需向量的運(yùn)算對(duì)照向量的系數(shù)求解.【題目詳解】根據(jù)向量的加法原理得所以,,解得且故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】
令求,利用求.【題目詳解】令,由得:,所以令,由得:,所以,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線(xiàn)的截距問(wèn)題,直線(xiàn)方程,令解出,得到直線(xiàn)的縱截距.令解出,得到直線(xiàn)的橫截距.6、C【解題分析】由三視圖可知,三棱錐的體積為7、A【解題分析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,結(jié)合題中條件得出且,將、、、用與表示,利用因式分解思想以及基本不等式可得出與的不等關(guān)系,并結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得出與的大小關(guān)系.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由于等差數(shù)列是公差不為零,則,從而,且,得,,,即,另一方面,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,因此,,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于將等比中的項(xiàng)利用首項(xiàng)和公比表示,并進(jìn)行因式分解,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.8、B【解題分析】
利用不等式的性質(zhì),進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】因?yàn)?,故由均值不等式可知:;因?yàn)?,故;因?yàn)?,故;綜上所述:.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查均值不等式及利用不等式性質(zhì)比較大小.9、C【解題分析】分析:先確定不超過(guò)30的素?cái)?shù),再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法,最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解:不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個(gè),隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),共有種方法,因?yàn)?,所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的有3種方法,故概率為,選C.點(diǎn)睛:古典概型中基本事件數(shù)的探求方法:(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目,常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法:適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題,通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法:適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.10、B【解題分析】試題分析:當(dāng)時(shí),直線(xiàn)為和直線(xiàn),斜率之積等于,所以垂直;當(dāng)兩直線(xiàn)垂直時(shí),,解得:或,根據(jù)充分條件必要條件概念知,“”是“直線(xiàn)(m+1)x+3my+2=0與直線(xiàn)(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的充分不必要條件,故選B.考點(diǎn):1、充分條件、必要條件;2、兩條直線(xiàn)垂直的關(guān)系.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】
由題意可得且,即且,,化簡(jiǎn)可得由不等式的性質(zhì)可得的取值范圍.【題目詳解】解:,故有且,化簡(jiǎn)可得且即故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列極限以及不等式的性質(zhì),屬于中檔題.12、【解題分析】
把已知等式展開(kāi)利用二倍角余弦公式及兩角和的余弦公式,整理后兩邊平方求解.【題目詳解】解:由,得,,則,兩邊平方得:,即.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,考查倍角公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.13、【解題分析】
根據(jù)等比通項(xiàng)公式即可求解【題目詳解】故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列公比的求解,屬于基礎(chǔ)題14、2n+1【解題分析】由條件得,且,所以數(shù)列是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,則.15、,【解題分析】試題分析:由得由得,所以數(shù)列為等比數(shù)列,因此考點(diǎn):等比數(shù)列通項(xiàng)與和項(xiàng)16、【解題分析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,由可求出的值.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,,因此,數(shù)列的公比為,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列公比的計(jì)算,在等比數(shù)列的問(wèn)題中,通常將數(shù)列中的項(xiàng)用首項(xiàng)和公比表示,建立方程組來(lái)求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)().【解題分析】試題分析:(Ⅰ)運(yùn)用兩角和的正弦公式對(duì)f(x)化簡(jiǎn)整理,由周期公式求ω的值;(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間對(duì)應(yīng)求解即可.試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?,所以的最小正周期.依題意,,解得.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().由,得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為().【考點(diǎn)】?jī)山呛偷恼夜?、周期公式、三角函?shù)的單調(diào)性.【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的單調(diào)性:1.三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定,一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式,然后通過(guò)同解變形或利用數(shù)形結(jié)合方法求解.關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法;2.利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小,必須先看兩角是否同屬于這一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),不屬于的,可先化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).若不是同名三角函數(shù),則應(yīng)考慮化為同名三角函數(shù)或用差值法(例如與0比較,與1比較等)求解.18、(1);(2).【解題分析】
(1)根據(jù)等差數(shù)列公式得到方程組,計(jì)算得到答案.(2)先求出,再利用裂項(xiàng)求和求得.【題目詳解】(1)等差數(shù)列中,,解得:(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)求和,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式的靈活運(yùn)用及計(jì)算能力.19、(1)詳見(jiàn)解析;(2);(3)詳見(jiàn)解析.【解題分析】
(1)用定義證明得到答案.(2)推出(3)利用錯(cuò)位相減法和分組求和法得到,再證明不等式.【題目詳解】解:(1)由,得,即.∴數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.(2)∵數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,∴,∴.(3).∴,∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的證明,分組求和法,錯(cuò)位相減法,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.20、(1)(2)【解題分析】
(1)先設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題中條件求出公差,即可得出通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)前項(xiàng)和公式,即可求出結(jié)果.【題目詳解】(1)依題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?,所以,又,所以公差,所以.?)由(1)知,,所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列,熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.2
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