2024屆蘇州大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆蘇州大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，則（）．A． B． C． D．2．已知是兩條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．已知β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），sin（α+β）＝，則cosβ＝（）A． B． C． D．或4．設(shè)某曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與該曲線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為等線(xiàn)段的中點(diǎn)，則（）A．6 B．10 C．12 D．145．甲、乙兩人在相同的條件下各打靶6次，每次打靶的情況如圖所示（虛線(xiàn)為甲的折線(xiàn)圖），則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．甲、乙兩人打靶的平均環(huán)數(shù)相等B．甲的環(huán)數(shù)的中位數(shù)比乙的大C．甲的環(huán)數(shù)的眾數(shù)比乙的大D．甲打靶的成績(jī)比乙的更穩(wěn)定6．若平面平面，直線(xiàn)，直線(xiàn)，則關(guān)于直線(xiàn)、的位置關(guān)系的說(shuō)法正確的是()A． B．、異面 C． D．、沒(méi)有公共點(diǎn)7．直線(xiàn)的傾斜角為A． B． C． D．8．已知是兩條不同直線(xiàn)，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A．若則 B．若則C．若則 D．若則9．如圖所示，等邊的邊長(zhǎng)為2、為的中點(diǎn)，且也是等邊三角形，若以點(diǎn)為中心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后到達(dá)的位置，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的取值范圍是（)A． B． C． D．10．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底的是（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓：，若對(duì)于圓：上任意一點(diǎn)，在圓上總存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．12．某工廠甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件，為了了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車(chē)間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n=.13．某小區(qū)擬對(duì)如圖一直角△ABC區(qū)域進(jìn)行改造，在三角形各邊上選一點(diǎn)連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀．已知,則面積最小值為_(kāi)___14．已知圓，直線(xiàn)l被圓所截得的弦的中點(diǎn)為.則直線(xiàn)l的方程是________（用一般式直線(xiàn)方程表示）.15．已知數(shù)列滿(mǎn)足，若對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.16．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為_(kāi)_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．正四面體是側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等的正三棱錐，它的對(duì)棱互相垂直.有一個(gè)如圖所示的正四面體，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，CD的中點(diǎn).（1）求證：面EFG；（2）求異面直線(xiàn)EG與AC所成角的大小.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，且，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若為的中點(diǎn)，求證：平面．19．已知數(shù)列滿(mǎn)足=(1)若求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若==對(duì)一切恒成立求實(shí)數(shù)取值范圍.20．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量若C是AB所在直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，求C的坐標(biāo)．若，當(dāng)，求的值．21．某地合作農(nóng)場(chǎng)的果園進(jìn)入盛果期，果農(nóng)利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道銷(xiāo)售蘋(píng)果，蘋(píng)果單果直徑不同則單價(jià)不同，為了更好的銷(xiāo)售，現(xiàn)從該合作農(nóng)場(chǎng)果園的蘋(píng)果樹(shù)上隨機(jī)摘下了50個(gè)蘋(píng)果測(cè)量其直徑，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其單果直徑分布在區(qū)間內(nèi)（單位：)，統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ)按分層抽樣的方法從單果直徑落在，的蘋(píng)果中隨機(jī)抽取6個(gè)，則從，的蘋(píng)果中各抽取幾個(gè)？（Ⅱ)從（Ⅰ)中選出的6個(gè)蘋(píng)果中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這兩個(gè)蘋(píng)果單果直徑均在內(nèi)的概率；（Ⅲ)以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率，若該合作農(nóng)場(chǎng)的果園有20萬(wàn)個(gè)蘋(píng)果約5萬(wàn)千克待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：方案：所有蘋(píng)果均以5.5元/千克收購(gòu)；方案：按蘋(píng)果單果直徑大小分3類(lèi)裝箱收購(gòu)，每箱裝25個(gè)蘋(píng)果，定價(jià)收購(gòu)方式為：?jiǎn)喂睆皆趦?nèi)按35元/箱收購(gòu)，在內(nèi)按45元/箱收購(gòu)，在內(nèi)按55元/箱收購(gòu).包裝箱與分揀裝箱費(fèi)用為5元/箱（該費(fèi)用由合作農(nóng)場(chǎng)承擔(dān)).請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該合作農(nóng)場(chǎng)推薦收益最好的方案.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

.所以選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

根據(jù)空間線(xiàn)、面的位置關(guān)系有關(guān)定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析排除，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線(xiàn)有可能在平面內(nèi)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)平面有可能相交，平行于它們的交線(xiàn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，可能平行，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知D選項(xiàng)正確.故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα和cosα，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【題目詳解】β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β為鈍角，∴cos（α+β），則cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα??，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】由曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等知該曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)，其方程為，分別過(guò)點(diǎn)向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為，由梯形的中位線(xiàn)定理知,所以，故選B.5、C【解題分析】甲：8,6,8,6,9,8，平均數(shù)為7.5，中位數(shù)為8，眾數(shù)為8；乙：4,6,8,7,10,10，平均數(shù)為7.5，中位數(shù)7.5，眾數(shù)為10；所以可知錯(cuò)誤的是C。故選C。6、D【解題分析】

根據(jù)條件知：關(guān)于直線(xiàn)、的位置關(guān)系異面或者平行，故沒(méi)有公共點(diǎn).【題目詳解】若平面平面，直線(xiàn)，直線(xiàn)，則關(guān)于直線(xiàn)、的位置關(guān)系是異面或者平行，所以、沒(méi)有公共點(diǎn).故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線(xiàn)，平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力.7、D【解題分析】

求得直線(xiàn)的斜率，由此求得直線(xiàn)的傾斜角.【題目詳解】依題意，直線(xiàn)的斜率為，對(duì)應(yīng)的傾斜角為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查由直線(xiàn)一般式求斜率和傾斜角，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

A項(xiàng)，可能相交或異面,當(dāng)時(shí)，存在，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，可能相交或垂直,當(dāng)

時(shí)，存在，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，可能相交或垂直,當(dāng)

時(shí)，存在，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)相互平行，故D項(xiàng)正確,故選D.本題主要考查的是對(duì)線(xiàn)，面關(guān)系的理解以及對(duì)空間的想象能力.考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)；直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì).9、D【解題分析】

設(shè)，，則，則，將其展開(kāi)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，化簡(jiǎn)得到，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍.【題目詳解】設(shè)，，則，則，由于，則，則．故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.10、B【解題分析】

以作為基底的向量需要是不共線(xiàn)的向量，可以從向量的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)，，選項(xiàng)中的兩個(gè)向量均共線(xiàn)，得到正確結(jié)果是．【題目詳解】解：可以作為基底的向量需要是不共線(xiàn)的向量，中一個(gè)向量是零向量，兩個(gè)向量共線(xiàn)，不合要求中兩個(gè)向量是，，則故與不共線(xiàn)，故正確；中兩個(gè)向量是，兩個(gè)向量共線(xiàn)，項(xiàng)中的兩個(gè)向量是，兩個(gè)向量共線(xiàn)，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面中兩向量的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由，知為圓的切線(xiàn)，所以?xún)蓤A外離，即圓心距大于兩半徑之和，代入方程即可?！绢}目詳解】由，知為圓的切線(xiàn)，即在圓上任意一點(diǎn)都可以向圓作切線(xiàn)，當(dāng)兩圓外離時(shí)，滿(mǎn)足條件，所以，，即，化簡(jiǎn)，得：，解得：或.【題目點(diǎn)撥】和圓半徑所成夾角為，即是圓的切線(xiàn)，兩圓外離表示圓心距大于兩半徑之和。12、13【解題分析】(解法1)由分層抽樣得，解得n＝13.(解法2)從甲乙丙三個(gè)車(chē)間依次抽取a，b，c個(gè)樣本，則120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.13、【解題分析】

設(shè)，然后分別表示，利用正弦定理建立等式用表示，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到的最小值，從而得到面積的最小值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，顯然，，設(shè)，則，且，則，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最小值為，所以面積最小值為，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用三角函數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題的最值，涉及到正弦定理的應(yīng)用，屬于難題.對(duì)于這類(lèi)型題，關(guān)鍵是能夠選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)表示需求的量，從而建立相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解最值.14、【解題分析】

將圓的方程化為標(biāo)椎方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)垂徑定理得到直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，根據(jù)直線(xiàn)的斜率求出直線(xiàn)的斜率，確定出直線(xiàn)的方程即可．【題目詳解】由已知圓的方程可得，所以圓心，半徑為3，由垂徑定理知：直線(xiàn)直線(xiàn)，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)的方程為，即.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.15、【解題分析】

由題若對(duì)于任意的都有，可得解出即可得出．【題目詳解】∵，若對(duì)任意都有，

∴．

∴，

解得．

故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列與函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16、1【解題分析】

由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算S的值并輸出變量i的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【題目詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得

S=1，i=1

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=3，i=2

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=7，i=3

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=15，i=4

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=31，i=5

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=13，i=1

此時(shí)，不滿(mǎn)足條件S<40，退出循環(huán)，輸出i的值為1．

故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解題分析】

（1）連接EF，F(xiàn)G，GE，通過(guò)三角形的中位線(xiàn)可得，進(jìn)而可得面EFG；（2）由題可得為異面直線(xiàn)EG與AC所成角，根據(jù)正四棱錐的特點(diǎn)得到為等腰直角三角形，進(jìn)而可得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）連接EF，F(xiàn)G，GE，如圖，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，，又面EFG，面EFG，面EFG；（2）由（1），則為異面直線(xiàn)EG與AC所成角，AC與BD是正四面體的對(duì)棱，，又，，又，為等腰直角三角形，，即異面直線(xiàn)EG與AC所成角的大小為.【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)面平行的證明，以及異面直線(xiàn)所成的角，通過(guò)直線(xiàn)平行找到異面直線(xiàn)所成角的平面角是關(guān)鍵，本題難度不大.18、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析【解題分析】

（Ⅰ）線(xiàn)線(xiàn)垂直先求線(xiàn)面垂直，即平面，進(jìn)而可得；（Ⅱ）連接D與PC的中點(diǎn)F，只需證明即可．【題目詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．（Ⅱ）證明：取中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且．因?yàn)?，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【題目點(diǎn)撥】此題考查立體幾何證明，線(xiàn)線(xiàn)垂直一般通過(guò)線(xiàn)面垂直證明，線(xiàn)面平行只需在面內(nèi)找到一個(gè)線(xiàn)與已知線(xiàn)平行即可，題目中出現(xiàn)中點(diǎn)一般也要在找其他中點(diǎn)連接，屬于較易題目．19、（1）=；（2）.【解題分析】

（1）由，結(jié)合可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可得所求；（2）由得，利用累加法并結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，化簡(jiǎn)得，再利用數(shù)列的單調(diào)性求出的最大值即可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）由，可得=．∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，∴.（2）由及，得=，∴，∴，又滿(mǎn)足上式，∴．∵對(duì)一切恒成立，即對(duì)一切恒成立，∴對(duì)一切恒成立．又?jǐn)?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，∴，∴，∴實(shí)數(shù)取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，考查了累加法與恒成立問(wèn)題、邏輯推理能力與計(jì)算能力，解決數(shù)列中的恒成立問(wèn)題時(shí)，也常利用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求最值的問(wèn)題求解．20、（1）；（2）或1【解題分析】

由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算得：設(shè)，可得，又因?yàn)?，，?由題意結(jié)合向量加減法與數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)得，所以，運(yùn)算可得解.【題目詳解】，因?yàn)镃是AB所在直線(xiàn)上一點(diǎn)，設(shè)，可得，又因?yàn)?，所以，解得，所以，故答案為且，顯然，所以，，又所以，