福建省永春三中2024屆高一數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

福建省永春三中2024屆高一數(shù)學第二學期期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則的形狀一定是()A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．在空間四邊形中，，，，分別是，的中點，，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．3．已知在中，為線段上一點，且，若，則（）A． B． C． D．4．已知基本單位向量，，則的值為（）A．1 B．5 C．7 D．255．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為()A． B． C． D．6．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．107．在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則公比等于（）A．1

或

2 B．?1

或

?2 C．1

或

?2 D．?1

或

28．設(shè)函數(shù)，則是()A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α0≤α≤π的始邊為x軸的非負半軸，終邊與單位圓的交點為A，將OA繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)π2至OB，過點B作x軸的垂線，垂足為Q．記線段BQ的長為y，則函數(shù)A． B．C． D．10．在正方體中，、分別是棱和的中點，為上底面的中心，則直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖,圓錐型容器內(nèi)盛有水,水深,水面直徑放入一個鐵球后,水恰好把鐵球淹沒,則該鐵球的體積為________12．在中，已知，則下列四個不等式中，正確的不等式的序號為____________①②③④13．設(shè)，，為三條不同的直線，，為兩個不同的平面，下列命題中正確的是______．(1)若，，，則；(2)若，，，則；(3)若，，，，則；(4)若，，,則．14．已知，，若，則______15．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________．16．已知，，則______，______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）任意向軸上這一區(qū)間內(nèi)投擲一個點，則該點落在區(qū)間內(nèi)的概率是多少？（2）已知向量，，若，分別表示一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足的概率.18．使用支付寶和微信支付已經(jīng)成為廣大消費者最主要的消費支付方式，某超市通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)一周內(nèi)超市每天的凈利潤(萬元)與每天使用支付寶和微信支付的人數(shù)(千人)具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到最近一周的7組數(shù)據(jù)如下表，并依此作為決策依據(jù).(1)作出散點圖，并求出回歸方程(，精確到)；(2)超市為了刺激周一消費，擬在周一開展使用支付寶和微信支付隨機抽獎活動，總獎金7萬元.根據(jù)市場調(diào)查，抽獎活動能使使用支付寶和微信支付消費人數(shù)增加7千人，試決策超市是否有必要開展抽獎活動？(3)超市管理層決定:從周一到周日，若第二天的凈利潤比前一天增長超過兩成，則對全體員工進行獎勵，在(Ⅱ)的決策下，求全體員工連續(xù)兩天獲得獎勵的概率.參考數(shù)據(jù):，，，.參考公式：，，.19．已知A、B兩地的距離是100km，按交通法規(guī)定，A、B兩地之間的公路車速x應(yīng)限制在60~120km/h，假設(shè)汽油的價格是7元/L，汽車的耗油率為，司機每小時的工資是70元（設(shè)汽車為勻速行駛），那么最經(jīng)濟的車速是多少？如果不考慮其他費用，這次行車的總費用是多少？20．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，分別是，的中點.(1)求證:平面平面；(2)求證:平面.21．已知圓，為坐標原點，動點在圓外，過點作圓的切線，設(shè)切點為.（1）若點運動到處，求此時切線的方程；（2）求滿足的點的軌跡方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

利用平方化倍角公式和邊化角公式化簡得到，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理化簡得到，即可確定的形狀．【題目詳解】化簡得即即是直角三角形故選A【題目點撥】本題考查了平方化倍角公式和正弦定理的邊化角公式，在化簡時，將邊化為角，使邊角混雜變統(tǒng)一，還有三角形內(nèi)角和定理的運用，這一點往往容易忽略．2、D【解題分析】

平移兩條異面直線到相交，根據(jù)余弦定理求解.【題目詳解】如圖所示：設(shè)的中點為，連接，所以，則是所成的角或其補角，又根據(jù)余弦定理得：，所以，異面直線與所成角的為，故選D.【題目點撥】本題考查異面直線所成的角和余弦定理.注意異面直線所成的角的取值范圍是.3、C【解題分析】

首先，由已知條件可知，再有，這樣可用表示出．【題目詳解】∵，∴，，∴，∴．故選C．【題目點撥】本題考查平面向量基本定理，解題時用向量加減法表示出，然后用基底表示即可．4、B【解題分析】

計算出向量的坐標，再利用向量的求模公式計算出的值.【題目詳解】由題意可得，因此，，故選B.【題目點撥】本題考查向量模的計算，解題的關(guān)鍵就是求出向量的坐標，并利用坐標求出向量的模，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)和方差的公式，可推導出，，，的平均數(shù)和方差．【題目詳解】因為，所以，所以的平均數(shù)為；因為，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查平均數(shù)與方差的公式計算，考查對概念的理解與應(yīng)用，考查基本運算求解能力.6、A【解題分析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點滿足，由拋物線定義可知，當且僅當（或）時，取等號.點睛:對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線定義，到定點的距離要想到轉(zhuǎn)化到準線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點掌握.考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以.7、C【解題分析】

設(shè)出基本量，利用等比數(shù)列的通項公式，再利用等差數(shù)列的中項關(guān)系，即可列出相應(yīng)方程求解【題目詳解】等比數(shù)列中，設(shè)首項為，公比為，成等差數(shù)列，，即，或答案選C【題目點撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列求基本量的問題，屬于基礎(chǔ)題8、D【解題分析】函數(shù)，化簡可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函數(shù)．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期為π的偶函數(shù)．故選D．9、B【解題分析】BQ=|y點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．(2)由實際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題求解，要注意實際問題中的定義域問題．10、A【解題分析】

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【題目詳解】解：先畫出圖形，將平移到，為直線與所成的角，設(shè)正方體的邊長為，，，，，，故選：．【題目點撥】本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

通過將圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后利用放球前后體積等量關(guān)系求得球的體積.【題目詳解】作出相關(guān)圖形，顯然,因此，因此放球前，球O與邊相切于點M，故，則，所以，,所以放球后，而，而，解得.【題目點撥】本題主要考查圓錐體積與球體積的相關(guān)計算，建立體積等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學生的劃歸能力，計算能力和分析能力.12、②③【解題分析】

根據(jù)，分當和兩種情況分類討論，每一類中利用正、余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷，特別注意，當時，.【題目詳解】當時，在上是增函數(shù)，因為，所以，因為在上是減函數(shù)，且，所以，當時，且，因為在上是減函數(shù)，所以，而，所以.故答案為：②③【題目點撥】本題主要考查了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性在三角形中的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.13、(1)【解題分析】

利用線線平行的傳遞性、線面垂直的判定定理判定．【題目詳解】(1)，，，則，正確(2)若，，，則，錯誤(3)若，則不成立，錯誤(4)若，，,則，錯誤【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定定理判定，考查了空間想象能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

根據(jù)向量垂直的坐標表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方關(guān)系即可求出．【題目詳解】由得，，解得，．【題目點撥】本題主要考查了向量垂直的坐標表示以及二倍角公式、平方關(guān)系的應(yīng)用．15、【解題分析】

首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有個交點，再畫出與的圖象，根據(jù)圖象即可得到的取值范圍.【題目詳解】有題知：函數(shù)恰有個零點，等價于函數(shù)與有個交點.當函數(shù)與相切時，即：，，，解得或（舍去）.所以根據(jù)圖象可知：.故答案為：【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的零點問題，同時考查了學生的轉(zhuǎn)化能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.16、【解題分析】

由的值，可求出的值，再判斷角的范圍，可判斷出，進而將平方，可求出答案.【題目詳解】由題意，，因為，所以，即；又因為，所以，即，而，由于，可知，所以，則，即.故答案為：；.【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）幾何概型的計算公式求解即可；（2）求出該骰子先后拋擲兩次的基本事件總數(shù)，根據(jù)數(shù)量積公式得出滿足包含的基本事件個數(shù)，由古典概型概率公式求解即可.【題目詳解】解：（1）由題意可知，任意向這一區(qū)間內(nèi)擲一點，該點落在內(nèi)哪個位置是等可能的.令，則由幾何概型的計算公式可知：.（2）將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，共有個基本事件.由，得滿足包含的基本事件為，，，，，共6種情形，故.【題目點撥】本題主要考查了利用幾何概型概率公式以及古典概型概率公式計算概率，屬于中檔題.18、（1）；（2）見解析；（3）【解題分析】

(1)通過表格描點即可，先計算和，然后通過公式計算出線性回歸方程；（2）先計算活動開展后使用支付寶和微信支付的人數(shù)為(千人)，代入（1）問得到結(jié)果；（3）先判斷周一到周日全體員工只有周二、周三、周四、周日獲得獎勵，從而確定基本事件，再找出連續(xù)兩天獲得獎勵的基本事件，故可計算出全體員工連續(xù)兩天獲得獎勵的概率.【題目詳解】(1)散點圖如圖所示，關(guān)于的回歸方程為(2)活動開展后使用支付寶和微信支付的人數(shù)為(千人)由(1)得，當時，此時超市的凈利潤約為，故超市有必要開展抽獎活動(3)由于，，，，，，故從周一到周日全體員工只有周二、周三、周四、周日獲得獎勵從周一到周日中連續(xù)兩天，基本事件為(周一、周二)，(周二、周三)，(周三、周四)，(周四、周五)，(周五、周六)，(周六、周日)，共6個基本事件連續(xù)兩天獲得獎勵的基本事件為(周二、周三)，(周三、周四)，共2個基本事件故全體員工連續(xù)兩天獲得獎勵的概率為【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程，古典概率的計算，意在考查學生的閱讀理解能力和分析能力，難度不大.19、80,280【解題分析】

將總費用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【題目詳解】設(shè)總費用為則當時等號成立，滿足條件故最經(jīng)濟的車速是，總費用為280【題目點撥】本題考查了函數(shù)表達式，均值不等式，意在考查學生解決問題的能力.20、(1)證明見解析(2)證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)線面垂直的判斷定理得到平面；再由面面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論成立；（2）取的中點，連接，，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論成立.【題目詳解】(1)在三棱柱中，底面，所以.又因為，所以平面；又平面，所以平面平面；(2)取的中點，連接，.因為，，分別是，，的中點，所以，且，.因為，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.【題目點撥】本題主要考查證明面面垂直，以及證明線面平行，熟記線面垂直、面面垂直的判定定理，以及線面平行的判定定理即可，屬于常考題型.21、（1）或；（2）.【解題分析】

解:把圓C的方程化為標準方程為（x＋1）2＋（y－2）2＝4，∴圓心為C（－1,2），半徑