2024屆山西省芮城市數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

2024屆山西省芮城市數(shù)學(xué)高一下期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)向量，滿足，，則（）A．1 B．2 C．3 D．52．已知是圓的一條弦，，則()A． B． C． D．與圓的半徑有關(guān)3．設(shè)a，b，c表示三條不同的直線，M表示平面，給出下列四個(gè)命題：其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）①若a//M，b//M，則a//b；②若b?M，a//b，則a//M；③若a⊥c，b⊥c，則a//b；④若a//c，b//c，則a//b.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．5．在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．6．某文體局為了解“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期間“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程（單位：公里）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)7．兩圓和的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切8．對(duì)于復(fù)數(shù)，定義映射.若復(fù)數(shù)在映射作用下對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限9．若數(shù)列的前n項(xiàng)的和，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A． B．C． D．10．一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過(guò)球心作一個(gè)截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（）A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．兩圓，相切，則實(shí)數(shù)＝______.12．設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿足.則______.13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，若將數(shù)列中的項(xiàng)從小到大按如下方式分組：第一組：，第二組：，第三組：，…，則2018位于第________組.14．已知三棱錐的底面是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于，則其外接球的體積為______.15．一艘輪船按照北偏西30°的方向以每小時(shí)21海里的速度航行，一個(gè)燈塔M原來(lái)在輪船的北偏東30°的方向，經(jīng)過(guò)40分鐘后，測(cè)得燈塔在輪船的北偏東75°的方向，則燈塔和輪船原來(lái)的距離是_____海里．16．_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知橢圓（常數(shù)），點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是右頂點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．⑴若與重合，求的焦點(diǎn)坐標(biāo)；⑵若，求的最大值與最小值；⑶若的最小值為，求的取值范圍．18．無(wú)窮數(shù)列滿足：為正整數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).（1）若，求和的值；（2）已知命題存在正整數(shù)，使得，判斷命題的真假并說(shuō)明理由；（3）若對(duì)任意正整數(shù)，都有恒成立，求的值.19．駐馬店市政府委托市電視臺(tái)進(jìn)行“創(chuàng)建森林城市”知識(shí)問(wèn)答活動(dòng),市電視臺(tái)隨機(jī)對(duì)該市15～65歲的人群抽取了n人,繪制出如圖1所示的頻率分布直方圖,回答問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示.（1）分別求出a,b,x,y的值；（2）從第二、三、四、五組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取7人,則從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)各抽取多少人?（3）在(2)的條件下,電視臺(tái)決定在所抽取的7人中隨機(jī)選2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng),求所抽取的人中第二組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率.20．如圖，等腰梯形中，，，，取中點(diǎn)，連接，把三角形沿折起，使得點(diǎn)在底面上的射影落在上，設(shè)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．已知為等差數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

將等式進(jìn)行平方，相加即可得到結(jié)論．【題目詳解】∵||，||，∴分別平方得2?10，2?6，兩式相減得4?10﹣6＝4，即?1，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的基本運(yùn)算，利用平方進(jìn)行相加是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．2、C【解題分析】

由數(shù)量積的幾何意義，利用外心的幾何特征計(jì)算即可得解.【題目詳解】是圓的一條弦,易知在方向上的投影恰好為，所以=||||==2.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算，利用定義求解要確定模長(zhǎng)及夾角，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

由空間直線的位置關(guān)系及空間直線與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可得解.【題目詳解】解：對(duì)于①，若a//M，b//M，則a//b或與相交或與異面，即①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若b?M，a//b，則a//M或a?M，即②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若a⊥c，b⊥c，則a//b或與相交或與異面，即③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若a//c，b//c，由空間直線平行的傳遞性可得a//b，即④正確，即正確命題的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間直線的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【題目詳解】由角函數(shù)的周期公式，可得函數(shù)的周期，又由絕對(duì)值的周期減半，即為最小正周期為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的計(jì)算，其中解答中熟記余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

連接、，可證四邊形為平行四邊形，得，得（或補(bǔ)角）就是異面直線與所成角，由正方體的性質(zhì)即可得到答案．【題目詳解】連接、，如下圖：在正方體中，且；四邊形為平行四邊形，則；（或補(bǔ)角）就是異面直線與所成角；又在正方體中，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角的大小為；故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查正方體中異面直線所成角的大小，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

根據(jù)折線圖中11個(gè)月的數(shù)據(jù)分布，數(shù)據(jù)從小到大排列中間的數(shù)可得中位數(shù)，根據(jù)數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)可判斷BCD.【題目詳解】由折線圖知，月跑步平均里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C錯(cuò).本題選擇D選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了識(shí)別折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

由圓的方程可得兩圓圓心坐標(biāo)和半徑；根據(jù)圓心距和半徑之間的關(guān)系，即可判斷出兩圓的位置關(guān)系.【題目詳解】由圓的方程可知，兩圓圓心分別為：和；半徑分別為：，則圓心距：兩圓位置關(guān)系為：相交本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定；關(guān)鍵是明確兩圓位置關(guān)系的判定是根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的長(zhǎng)度關(guān)系確定.8、A【解題分析】，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在第四象限.9、D【解題分析】試題分析：根據(jù)前n項(xiàng)和與其通項(xiàng)公式的關(guān)系式，an=當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（3n-2）-（3n-1-2）=2?3n-1．當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，不滿足上式；所以an=，故答案為an=，選D.考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)列的求和公式，解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況注意公式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是借助公式an=，將前n項(xiàng)和與其通項(xiàng)公式聯(lián)系起來(lái)得到其通項(xiàng)公式的值．10、A【解題分析】

分別當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)面時(shí)，當(dāng)截面過(guò)正方體的兩條相交的體對(duì)角線時(shí)，當(dāng)截面既不過(guò)體對(duì)角線也不平行于任一側(cè)面時(shí)，進(jìn)行判定，即可求解.【題目詳解】由題意，當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)面時(shí)得③；當(dāng)截面過(guò)正方體的兩條相交的體對(duì)角線時(shí)得④；當(dāng)截面既不過(guò)正方體體對(duì)角線也不平行于任一側(cè)面時(shí)可能得①；無(wú)論如何都不能得②.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正方體與球的組合體的截面問(wèn)題，其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0,±2【解題分析】

根據(jù)題意，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析兩圓的圓心與半徑，分兩圓外切與內(nèi)切兩種情況討論，求出a的值，綜合即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意：圓的圓心為（0，0），半徑為1，圓的圓心為（﹣4，a），半徑為5，若兩圓相切，分2種情況討論：當(dāng)兩圓外切時(shí)，有（﹣4）2+a2=（1+5）2，解可得a=±2，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有（﹣4）2+a2=（1﹣5）2，解可得a=0，綜合可得：實(shí)數(shù)a的值為0或±2；故答案為0或±2．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系的判定方法．12、4【解題分析】

解法1有題設(shè)及余弦定理得.故.解法2如圖4，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.則，.由題設(shè)得.又，聯(lián)立解得，.故.解法3由射影定理得.又，與上式聯(lián)立解得，.故.13、1【解題分析】

根據(jù)題意可分析第一組、第二組、第三組、…中的數(shù)的個(gè)數(shù)及最后的數(shù)，從中尋找規(guī)律使問(wèn)題得到解決．【題目詳解】根據(jù)題意:第一組有2＝1×2個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為4；第二組有4＝2×2個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為12，即2×（2+4）；第三組有6＝2×3個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為24，即2×（2+4+6）；…∴第n組有2n個(gè)數(shù)，其中最后一個(gè)數(shù)為2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴當(dāng)n＝31時(shí)，第31組的最后一個(gè)數(shù)為2×31×1＝1984，∴當(dāng)n＝1時(shí)，第1組的最后一個(gè)數(shù)為2×1×33＝2112，∴2018位于第1組．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查觀察與分析問(wèn)題的能力，考查歸納法的應(yīng)用，從有限項(xiàng)得到一般規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，屬于中檔題．14、【解題分析】

先判斷球心在上，再利用勾股定理得到半徑，最后計(jì)算體積.【題目詳解】三棱錐的底面是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于為中點(diǎn)，為外心，連接，平面球心在上設(shè)半徑為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐外接球的體積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.15、【解題分析】

畫出示意圖，利用正弦定理求解即可.【題目詳解】如圖所示：為燈塔，為輪船，，則在中有：，且海里，則解得：海里.【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是能通過(guò)題意將航海問(wèn)題的示意圖畫出，然后選用正余弦定理去分析問(wèn)題.16、2【解題分析】

利用裂項(xiàng)求和法將化簡(jiǎn)為，再求極限即可.【題目詳解】令...故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列求和中的列項(xiàng)求和，同時(shí)考查了極限的求法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解題分析】解：⑴，橢圓方程為，∴左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為．⑵，橢圓方程為，設(shè)，則∴時(shí)；時(shí)．⑶設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則∵當(dāng)時(shí)，取最小值，且，∴且解得．18、（1），；（2）真命題，證明見解析；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意直接寫出、、的值，可得出結(jié)果；（2）分和兩種情況討論，找出使得等式成立的正整數(shù)，可得知命題為真命題；（3）先證明出“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件，由此可得出，然后利用定義得出，由此可得出的值.【題目詳解】（1）根據(jù)題意知，對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，因此，，，；（2）真命題，證明如下：①當(dāng)時(shí)，則，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，命題為真命題；（3）先證明：“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件.假設(shè)存在，使得“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”.則數(shù)列的前項(xiàng)為，，，，，，后面的項(xiàng)順次為，，，，故對(duì)任意的，，對(duì)任意的，取，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則，令，則，此時(shí)，有，這與矛盾，故若存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立，必有；從而得證.另外：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，故，則.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用，涉及到命題真假的判斷，同時(shí)也考查了數(shù)列新定義問(wèn)題，解題時(shí)要充分從題中數(shù)列的定義出發(fā)，充分利用分類討論思想，綜合性強(qiáng)，屬于難題.19、（1）0.9，0.36，270，90；（2）2人,3人,1人,1人；（3）1121【解題分析】

（1）先計(jì)算出總?cè)藬?shù)為1000人，再根據(jù)公式依次計(jì)算a,b,x,y的值.（2）根據(jù)分層抽樣規(guī)律得到從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)分別抽取:2人,3人,1人,1人（3）排出所有可能和滿足條件的情況，得到概率.【題目詳解】（1）依題和圖表：由0.010×10×n=500.5得：由0.020×10×n=180a得：由0.030×10×n=x0.9得：由0.025×10×n=90b得：由0.015×10×n=y0.6得：故所求a=0.9，b=0.36，x=270，y=90.（2）由以上知:第二、三、四、五組回答正確的人數(shù)分別為:180人,270人,90人,90人用分層抽樣抽取7人,則:從第二組回答正確的人中應(yīng)該抽取:7×180從第三組回答正確的人中應(yīng)該抽?。?×270從第四組回答正確的人中應(yīng)該抽取:7×90從第五組回答正確的人中應(yīng)該抽取:7×90故從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)分別抽取:2人,3人,1人,1人；（3）設(shè)從第二組回答正確的人抽取的2人為:2a,2b，從第三組回答正確的人抽取的3人為:3a,3b,3c從第四組回答正確的人抽取的1人為:4a從第五組回答正確的人抽取的1人為:5a隨機(jī)抽取2人,所有可能的結(jié)果有:(2a,2b)，(2a,3a)，(2a,3b)，(2a,3c)，(2a,4a)，(2a,5a)，(2b,3a)，(2b,3b)，(2b,3c)，(2b,4a)，(2b,5a)，(3a,3b)，(3a,3c)，(3a,4a)，(3a,5a)，(3b,3c)，(3b,4a)，(3b,5a)，(3c,4a)，(3c,5a)，(4a,5a)，共21個(gè)基本事件，其中第二組至少有1人被抽中的有：(2a,2b)，(2a,3a)，(2a,3b)，(2a,3c)，(2a,4a)，(2a,5a)，(2b,3a)，(2b,3b)，(2b,3c)，(2b,4a)，(2b,5a)共這11個(gè)基本事件.故抽取的人中第二組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率為：1121【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率直方圖，分層抽樣，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.20、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、、、、，可知、均為等邊三角形，可證明出平面，從而得出，再證明出四邊形為平行四邊形，可得出，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，從而可得出，再利用線面垂直的判定定理可證明出平面；（2）過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，證明出平面，可得知二面角的平面角