小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題大全(太全了)

小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題以下主要研究30類(lèi)典型應(yīng)用題：1、歸一問(wèn)題2、歸總問(wèn)題3、和差問(wèn)題4、和倍問(wèn)題5、差倍問(wèn)題6、倍比問(wèn)題7、相遇問(wèn)題8、追及問(wèn)題9、植樹(shù)問(wèn)題10、年齡問(wèn)題11、行船問(wèn)題12、列車(chē)問(wèn)題13、時(shí)鐘問(wèn)題14、盈虧問(wèn)題15、工程問(wèn)題16、正反比例問(wèn)題17、按比例分配18、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題19、“牛吃草〞問(wèn)題20、雞兔同籠問(wèn)題21、方陣問(wèn)題22、商品利潤(rùn)問(wèn)題23、存款利率問(wèn)題24、溶液濃度問(wèn)題25、構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題26、幻方問(wèn)題27、抽屜原那么問(wèn)題28、公約公倍問(wèn)題29、最值問(wèn)題30、列方程問(wèn)題1歸一問(wèn)題【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少〔即單一量〕，然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類(lèi)應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量另一總量÷〔總量÷份數(shù)〕＝所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例1買(mǎi)5支鉛筆要0.6元錢(qián)，買(mǎi)同樣的鉛筆16支，需要多少錢(qián)？解〔1〕買(mǎi)1支鉛筆多少錢(qián)？0.6÷5＝0.12〔元〕〔2〕買(mǎi)16支鉛筆需要多少錢(qián)？0.12×16＝1.92〔元〕列成綜合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92〔元〕答：需要1.92元。例23臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？解〔1〕1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？90÷3÷3＝10〔公頃〕〔2〕5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？10×5×6＝300〔公頃〕列成綜合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300〔公頃〕答：5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地300公頃。例35輛汽車(chē)4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車(chē)運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？解〔1〕1輛汽車(chē)1次能運(yùn)多少?lài)嶄摬模?00÷5÷4＝5〔噸〕〔2〕7輛汽車(chē)1次能運(yùn)多少?lài)嶄摬模?×7＝35〔噸〕〔3〕105噸鋼材7輛汽車(chē)需要運(yùn)幾次？105÷35＝3〔次〕列成綜合算式105÷〔100÷5÷4×7〕＝3〔次〕答：需要運(yùn)3次。2歸總問(wèn)題【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量〞，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量〞是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)〔幾天〕的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。【數(shù)量關(guān)系】1份數(shù)量×份數(shù)＝總量總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1服裝廠(chǎng)原來(lái)做一套衣服用布3.2米，改良裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來(lái)做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解〔1〕這批布總共有多少米？3.2×791＝2531.2〔米〕〔2〕現(xiàn)在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904〔套〕列成綜合算式3.2×791÷2.8＝904〔套〕答：現(xiàn)在可以做904套。例2小華每天讀24頁(yè)書(shū)，12天讀完了《紅巖》一書(shū)。小明每天讀36頁(yè)書(shū)，幾天可以讀完《紅巖》？解〔1〕《紅巖》這本書(shū)總共多少頁(yè)？24×12＝288〔頁(yè)〕〔2〕小明幾天可以讀完《紅巖》？288÷36＝8〔天〕列成綜合算式24×12÷36＝8〔天〕答：小明8天可以讀完《紅巖》。例3食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜，原方案每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來(lái)根據(jù)大家的意見(jiàn)，每天比原方案多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？解〔1〕這批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500〔千克〕〔2〕這批蔬菜可以吃多少天？1500÷〔50＋10〕＝25〔天〕列成綜合算式50×30÷〔50＋10〕＝1500÷60＝25〔天〕答：這批蔬菜可以吃25天。3和差問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類(lèi)應(yīng)用題叫和差問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)＝〔和＋差〕÷2小數(shù)＝〔和－差〕÷2【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例1甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解甲班人數(shù)＝〔98＋6〕÷2＝52〔人〕乙班人數(shù)＝〔98－6〕÷2＝46〔人〕答：甲班有52人，乙班有46人。例2長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為18厘米，長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的面積。解長(zhǎng)＝〔18＋2〕÷2＝10〔厘米〕寬＝〔18－2〕÷2＝8〔厘米〕長(zhǎng)方形的面積＝10×8＝80〔平方厘米〕答：長(zhǎng)方形的面積為80平方厘米。例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多〔32－30〕＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量＝〔22＋2〕÷2＝12〔千克〕丙袋化肥重量＝〔22－2〕÷2＝10〔千克〕乙袋化肥重量＝32－12＝20〔千克〕答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例4甲乙兩車(chē)原來(lái)共裝蘋(píng)果97筐，從甲車(chē)取下14筐放到乙車(chē)上，結(jié)果甲車(chē)比乙車(chē)還多3筐，兩車(chē)原來(lái)各裝蘋(píng)果多少筐？解“從甲車(chē)取下14筐放到乙車(chē)上，結(jié)果甲車(chē)比乙車(chē)還多3筐〞，這說(shuō)明甲車(chē)是大數(shù)，乙車(chē)是小數(shù)，甲與乙的差是〔14×2＋3〕，甲與乙的和是97，因此甲車(chē)筐數(shù)＝〔97＋14×2＋3〕÷2＝64〔筐〕乙車(chē)筐數(shù)＝97－64＝33〔筐〕答：甲車(chē)原來(lái)裝蘋(píng)果64筐，乙車(chē)原來(lái)裝蘋(píng)果33筐。4和倍問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍〔或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾〕，要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類(lèi)應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】總和÷〔幾倍＋1〕＝較小的數(shù)總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1果園里有杏樹(shù)和桃樹(shù)共248棵，桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？解〔1〕杏樹(shù)有多少棵？248÷〔3＋1〕＝62〔棵〕〔2〕桃樹(shù)有多少棵？62×3＝186〔棵〕答：杏樹(shù)有62棵，桃樹(shù)有186棵。例2東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫(kù)各存糧多少?lài)崳拷狻?〕西庫(kù)存糧數(shù)＝480÷〔1.4＋1〕＝200〔噸〕〔2〕東庫(kù)存糧數(shù)＝480－200＝280〔噸〕答：東庫(kù)存糧280噸，西庫(kù)存糧200噸。例3甲站原有車(chē)52輛，乙站原有車(chē)32輛，假設(shè)每天從甲站開(kāi)往乙站28輛，從乙站開(kāi)往甲站24輛，幾天后乙站車(chē)輛數(shù)是甲站的2倍？解每天從甲站開(kāi)往乙站28輛，從乙站開(kāi)往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開(kāi)往乙站〔28－24〕輛。把幾天以后甲站的車(chē)輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車(chē)輛數(shù)就是2倍量，兩站的車(chē)輛總數(shù)〔52＋32〕就相當(dāng)于〔2＋1〕倍，那么，幾天以后甲站的車(chē)輛數(shù)減少為〔52＋32〕÷〔2＋1〕＝28〔輛〕所求天數(shù)為〔52－28〕÷〔28－24〕＝6〔天〕答：6天以后乙站車(chē)輛數(shù)是甲站的2倍。例4甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。因?yàn)橐冶燃椎?倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；又因?yàn)楸燃椎?倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；這時(shí)〔170＋4－6〕就相當(dāng)于〔1＋2＋3〕倍。那么，甲數(shù)＝〔170＋4－6〕÷〔1＋2＋3〕＝28乙數(shù)＝28×2－4＝52丙數(shù)＝28×3＋6＝90答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。5差倍問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍〔或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾〕，要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類(lèi)應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差÷〔幾倍－1〕＝較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1果園里桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，而且桃樹(shù)比杏樹(shù)多124棵。求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？解〔1〕杏樹(shù)有多少棵？124÷〔3－1〕＝62〔棵〕〔2〕桃樹(shù)有多少棵？62×3＝186〔棵〕答：果園里杏樹(shù)是62棵，桃樹(shù)是186棵。例2爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解〔1〕兒子年齡＝27÷〔4－1〕＝9〔歲〕〔2〕爸爸年齡＝9×4＝36〔歲〕答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理方法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬(wàn)元，又知本月盈利比上月盈利多30萬(wàn)元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？解如果把上月盈利作為1倍量，那么〔30－12〕萬(wàn)元就相當(dāng)于上月盈利的〔2－1〕倍，因此上月盈利＝〔30－12〕÷〔2－1〕＝18〔萬(wàn)元〕本月盈利＝18＋30＝48〔萬(wàn)元〕答：上月盈利是18萬(wàn)元，本月盈利是48萬(wàn)元。例4糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問(wèn)幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來(lái)的數(shù)量差〔138－94〕。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，那么幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，〔138－94〕就相當(dāng)于〔3－1〕倍，因此剩下的小麥數(shù)量＝〔138－94〕÷〔3－1〕＝22〔噸〕運(yùn)出的小麥數(shù)量＝94－22＝72〔噸〕運(yùn)糧的天數(shù)＝72÷9＝8〔天〕答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6倍比問(wèn)題【含義】有兩個(gè)的同類(lèi)量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的假設(shè)干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類(lèi)應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】總量÷一個(gè)數(shù)量＝倍數(shù)另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解〔1〕3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37〔倍〕〔2〕可以榨油多少千克？40×37＝1480〔千克〕列成綜合算式40×〔3700÷100〕＝1480〔千克〕答：可以榨油1480千克。例2今年植樹(shù)節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹(shù)400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹(shù)多少棵？解〔1〕48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160〔倍〕〔2〕共植樹(shù)多少棵？400×160＝64000〔棵〕列成綜合算式400×〔48000÷300〕＝64000〔棵〕答：全縣48000名師生共植樹(shù)64000棵。例3鳳翔縣今年蘋(píng)果大豐收，田家莊一戶(hù)人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解〔1〕800畝是4畝的幾倍？800÷4＝200〔倍〕〔2〕800畝收入多少元？11111×200＝2222200〔元〕〔3〕16000畝是800畝的幾倍？16000÷800＝20〔倍〕〔4〕16000畝收入多少元？2222200×20＝44444000〔元〕答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。7相遇問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類(lèi)應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間＝總路程÷〔甲速＋乙速〕總路程＝〔甲速＋乙速〕×相遇時(shí)間【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開(kāi)出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開(kāi)出的船每小時(shí)行28千米，從上海開(kāi)出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩船相遇？解392÷〔28＋21〕＝8〔小時(shí)〕答：經(jīng)過(guò)8小時(shí)兩船相遇。例2小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí)間？解“第二次相遇〞可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2相遇時(shí)間＝〔400×2〕÷〔5＋3〕＝100〔秒〕答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。例3甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車(chē)相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。解“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇〞是正確理解此題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過(guò)了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說(shuō)甲比乙多走的路程是〔3×2〕千米，因此，相遇時(shí)間＝〔3×2〕÷〔15－13〕＝3〔小時(shí)〕兩地距離＝〔15＋13〕×3＝84〔千米〕答：兩地距離是84千米。8追及問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)〔或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)〕作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類(lèi)應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】追及時(shí)間＝追及路程÷〔快速－慢速〕追及路程＝〔快速－慢速〕×追及時(shí)間【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解〔1〕劣馬先走12天能走多少千米？75×12＝900〔千米〕〔2〕好馬幾天追上劣馬？900÷〔120－75〕＝20〔天〕列成綜合算式75×12÷〔120－75〕＝900÷45＝20〔天〕答：好馬20天能追上劣馬。例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了〔500－200〕米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，那么跑500米用［40×〔500÷200〕］秒，所以小亮的速度是〔500－200〕÷［40×〔500÷200〕］＝300÷100＝3〔米〕答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開(kāi)始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開(kāi)始從乙地追擊。甲乙兩地相距60千米，問(wèn)解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？解敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是〔22－16〕小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是［10×〔22－16〕］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知追及時(shí)間＝［10×〔22－16〕＋60］÷〔30－10〕＝120÷20＝6〔小時(shí)〕答：解放軍在6小時(shí)后可以追上敵人。例4一輛客車(chē)從甲站開(kāi)往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車(chē)同時(shí)從乙站開(kāi)往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車(chē)在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解這道題可以由相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解決。從題中可知客車(chē)落后于貨車(chē)〔16×2〕千米，客車(chē)追上貨車(chē)的時(shí)間就是前面所說(shuō)的相遇時(shí)間，這個(gè)時(shí)間為16×2÷〔48－40〕＝4〔小時(shí)〕所以?xún)烧鹃g的距離為〔48＋40〕×4＝352〔千米〕列成綜合算式〔48＋40〕×［16×2÷〔48－40〕］＝88×4＝352〔千米〕答：甲乙兩站的距離是352千米。例5兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門(mén)口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問(wèn)他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？解要求距離，速度，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間〔從出發(fā)到相遇〕內(nèi)哥哥比妹妹多走〔180×2〕米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧摺?0－60〕米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為180×2÷〔90－60〕＝12〔分鐘〕家離學(xué)校的距離為90×12－180＝900〔米〕答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。例6孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來(lái)算了一下，如果孫亮從家一開(kāi)始就跑步，可比原來(lái)步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到〔10－5〕分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說(shuō)明后段路程跑比走少用了〔10－5〕分鐘。如果從家一開(kāi)始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－〔10－5〕］分鐘。所以步行1千米所用時(shí)間為1÷［9－〔10－5〕］＝0.25〔小時(shí)〕＝15〔分鐘〕跑步1千米所用時(shí)間為15－［9－〔10－5〕］＝11〔分鐘〕跑步速度為每小時(shí)1÷11／60＝5.5〔千米〕答：孫亮跑步速度為每小時(shí)5.5千米。9植樹(shù)問(wèn)題【含義】按相等的距離植樹(shù)，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類(lèi)應(yīng)用題叫做植樹(shù)問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】線(xiàn)形植樹(shù)棵數(shù)＝距離÷棵距＋1環(huán)形植樹(shù)棵數(shù)＝距離÷棵距方形植樹(shù)棵數(shù)＝距離÷棵距－4三角形植樹(shù)棵數(shù)＝距離÷棵距－3面積植樹(shù)棵數(shù)＝面積÷〔棵距×行距〕【解題思路和方法】先弄清楚植樹(shù)問(wèn)題的類(lèi)型，然后可以利用公式。例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解136÷2＋1＝68＋1＝69〔棵〕答：一共要栽69棵垂柳。例2一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹(shù)，一共能栽多少棵白楊樹(shù)？解400÷4＝100〔棵〕答：一共能栽100棵白楊樹(shù)。例3一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？解220×4÷8－4＝110－4＝106〔個(gè)〕答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。例4給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是60厘米和40厘米，問(wèn)至少需要多少塊地板磚？解96÷〔0.6×0.4〕＝96÷0.24＝400〔塊〕答：至少需要400塊地板磚。例5一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，假設(shè)每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解〔1〕橋的一邊有多少個(gè)電桿？500÷50＋1＝11〔個(gè)〕〔2〕橋的兩邊有多少個(gè)電桿？11×2＝22〔個(gè)〕〔3〕大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44〔盞〕答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。10年齡問(wèn)題【含義】這類(lèi)問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變〞這個(gè)特點(diǎn)?！窘忸}思路和方法】可以利用“差倍問(wèn)題〞的解題思路和方法。兩個(gè)數(shù)的差÷〔幾倍－1〕＝較小的數(shù)例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解35÷5＝7〔倍〕〔35+1〕÷〔5+1〕＝6〔倍〕答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解〔1〕母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30〔歲〕〔2〕幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷〔4－1〕－7＝3〔年〕列成綜合算式〔37－7〕÷〔4－1〕－7＝3〔年〕答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例33年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加〔3×2〕歲，今年二人的年齡和為49＋3×2＝55〔歲〕把今年兒子年齡作為1倍量，那么今年父子年齡和相當(dāng)于〔4＋1〕倍，因此，今年兒子年齡為55÷〔4＋1〕＝11〔歲〕今年父親年齡為11×4＝44〔歲〕答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。例4甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲〞。乙對(duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)將來(lái)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲〞。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？〔可用方程解〕解這里涉及到三個(gè)年份：過(guò)去某一年、今年、將來(lái)某一年。列表分析：

過(guò)去某一年今年將來(lái)某一年甲□歲△歲61歲乙4歲□歲△歲表中兩個(gè)“□〞表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)“△〞表示同一個(gè)數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差，因此二人年齡差為〔61－4〕÷3＝19〔歲〕甲今年的歲數(shù)為△＝61－19＝42〔歲〕乙今年的歲數(shù)為□＝42－19＝23〔歲〕答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。11行船問(wèn)題【含義】行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類(lèi)問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)系】〔順?biāo)俣龋嫠俣取场?＝船速〔順?biāo)俣龋嫠俣取场?＝水速順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟?【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？解由條件知，順?biāo)伲酱伲伲?20÷8，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)320÷8－15＝25〔千米〕船的逆水速為25－15＝10〔千米〕船逆水行這段路程的時(shí)間為320÷10＝32〔小時(shí)〕答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。例2甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？解由題意得甲船速＋水速＝360÷10＝36甲船速－水速＝360÷18＝20可見(jiàn)〔36－20〕相當(dāng)于水速的2倍，所以，水速為每小時(shí)〔36－20〕÷2＝8〔千米〕又因?yàn)?，乙船速－水速?60÷15，所以，乙船速為360÷15＋8＝32〔千米〕乙船順?biāo)贋?2＋8＝40〔千米〕所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要360÷40＝9〔小時(shí)〕答：乙船返回原地需要9小時(shí)。例3一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？解這道題可以按照流水問(wèn)題來(lái)解答。〔1〕兩城相距多少千米？〔576－24〕×3＝1656〔千米〕〔2〕順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？1656÷〔576＋24〕＝2.76〔小時(shí)〕列成綜合算式［〔576－24〕×3］÷〔576＋24〕＝2.76〔小時(shí)〕答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時(shí)。12列車(chē)問(wèn)題【含義】這是與列車(chē)行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車(chē)車(chē)身的長(zhǎng)度。【數(shù)量關(guān)系】火車(chē)過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間＝〔車(chē)長(zhǎng)＋橋長(zhǎng)〕÷車(chē)速火車(chē)追及：追及時(shí)間＝〔甲車(chē)長(zhǎng)＋乙車(chē)長(zhǎng)＋距離〕÷〔甲車(chē)速－乙車(chē)速〕火車(chē)相遇：相遇時(shí)間＝〔甲車(chē)長(zhǎng)＋乙車(chē)長(zhǎng)＋距離〕÷〔甲車(chē)速＋乙車(chē)速〕【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車(chē)以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋，從車(chē)頭開(kāi)上橋到車(chē)尾離開(kāi)橋共需要3分鐘。這列火車(chē)長(zhǎng)多少米？解火車(chē)3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車(chē)車(chē)身長(zhǎng)度的和?！?〕火車(chē)3分鐘行多少米？900×3＝2700〔米〕〔2〕這列火車(chē)長(zhǎng)多少米？2700－2400＝300〔米〕列成綜合算式900×3－2400＝300〔米〕答：這列火車(chē)長(zhǎng)300米。例2一列長(zhǎng)200米的火車(chē)以每秒8米的速度通過(guò)一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長(zhǎng)度是多少米？解火車(chē)過(guò)橋所用的時(shí)間是2分5秒＝125秒，所走的路程是〔8×125〕米，這段路程就是〔200米＋橋長(zhǎng)〕，所以，橋長(zhǎng)為8×125－200＝800〔米〕答：大橋的長(zhǎng)度是800米。例3一列長(zhǎng)225米的慢車(chē)以每秒17米的速度行駛，一列長(zhǎng)140米的快車(chē)以每秒22米的速度在后面追趕，求快車(chē)從追上到追過(guò)慢車(chē)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解從追上到追過(guò)，快車(chē)比慢車(chē)要多行〔225＋140〕米，而快車(chē)比慢車(chē)每秒多行〔22－17〕米，因此，所求的時(shí)間為〔225＋140〕÷〔22－17〕＝73〔秒〕答：需要73秒。例4一列長(zhǎng)150米的列車(chē)以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來(lái)，那么，火車(chē)從工人身旁駛過(guò)需要多少時(shí)間？解如果把人看作一列長(zhǎng)度為零的火車(chē)，原題就相當(dāng)于火車(chē)相遇問(wèn)題。150÷〔22＋3〕＝6〔秒〕答：火車(chē)從工人身旁駛過(guò)需要6秒鐘。例5一列火車(chē)穿越一條長(zhǎng)2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過(guò)一條長(zhǎng)1250米的大橋用了58秒。求這列火車(chē)的車(chē)速和車(chē)身長(zhǎng)度各是多少？解車(chē)速和車(chē)長(zhǎng)都沒(méi)有變，但通過(guò)隧道和大橋所用的時(shí)間不同，是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L(zhǎng)?？芍疖?chē)在〔88－58〕秒的時(shí)間內(nèi)行駛了〔2000－1250〕米的路程，因此，火車(chē)的車(chē)速為每秒〔2000－1250〕÷〔88－58〕＝25〔米〕進(jìn)而可知，車(chē)長(zhǎng)和橋長(zhǎng)的和為〔25×58〕米，因此，車(chē)長(zhǎng)為25×58－1250＝200〔米〕答：這列火車(chē)的車(chē)速是每秒25米，車(chē)身長(zhǎng)200米。13時(shí)鐘問(wèn)題【含義】就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線(xiàn)、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問(wèn)題可與追及問(wèn)題相類(lèi)比。【數(shù)量關(guān)系】分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算?！窘忸}思路和方法】變通為“追及問(wèn)題〞后可以直接利用公式。例1從時(shí)針指向4點(diǎn)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走〔1－1/12〕＝11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時(shí)針的時(shí)間為20÷〔1－1/12〕≈22〔分〕答：再經(jīng)過(guò)22分鐘時(shí)針正好與分針重合。例2四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格〔包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況〕。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后〔5×4〕格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走〔5×4－15〕格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走〔5×4＋15〕格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走〔1－1/12〕格就可以求出二針成直角的時(shí)間?！?×4－15〕÷〔1－1/12〕≈6〔分〕〔5×4＋15〕÷〔1－1/12〕≈38〔分〕答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。例3六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？解六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后〔5×6〕格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問(wèn)題?！?×6〕÷〔1－1/12〕≈33〔分〕答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。14盈虧問(wèn)題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余〔盈〕，一次缺乏〔虧〕，或兩次都有余，或兩次都缺乏，求人數(shù)或物品數(shù)，這類(lèi)應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，那么有：參加分配總?cè)藬?shù)＝〔盈＋虧〕÷分配差如果兩次都盈或都虧，那么有：參加分配總?cè)藬?shù)＝〔大盈－小盈〕÷分配差參加分配總?cè)藬?shù)＝〔大虧－小虧〕÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1給幼兒園小朋友分蘋(píng)果，假設(shè)每人分3個(gè)就余11個(gè)；假設(shè)每人分4個(gè)就少1個(gè)。問(wèn)有多少小朋友？有多少個(gè)蘋(píng)果？解按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝〔盈＋虧〕÷分配差〞的數(shù)量關(guān)系：〔1〕有小朋友多少人？〔11＋1〕÷〔4－3〕＝12〔人〕〔2〕有多少個(gè)蘋(píng)果？3×12＋11＝47〔個(gè)〕答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋(píng)果。例2修一條公路，如果每天修260米，修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng)8天；如果每天修300米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng)4天。這條路全長(zhǎng)多少米？解題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)〞，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝〔大虧－小虧〕÷分配差〞的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為〔260×8－300×4〕÷〔300－260〕＝22〔天〕這條路全長(zhǎng)為300×〔22＋4〕＝7800〔米〕答：這條路全長(zhǎng)7800米。例3學(xué)校組織春游，如果每輛車(chē)坐40人，就余下30人；如果每輛車(chē)坐45人，就剛好坐完。問(wèn)有多少車(chē)？多少人？解此題中的車(chē)輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)〞，于是就有〔1〕有多少車(chē)？〔30－0〕÷〔45－40〕＝6〔輛〕〔2〕有多少人？40×6＋30＝270〔人〕答：有6輛車(chē)，有270人。15工程問(wèn)題【含義】工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類(lèi)問(wèn)題在條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程〞、“一塊土地〞、“一條水渠〞、“一件工作〞等，在解題時(shí)，常常用單位“1〞表示工作總量。【數(shù)量關(guān)系】解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1〞，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)〔它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾〕，進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間＝工作量÷工作效率工作時(shí)間＝總工作量÷〔甲工作效率＋乙工作效率〕【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解題中的“一項(xiàng)工程〞是工作總量，由于沒(méi)有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1〞。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的〔1/10＋1/15〕。由此可以列出算式：1÷〔1/10＋1/15〕＝1÷1/6＝6〔天〕答：兩隊(duì)合做需要6天完成。例2一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解設(shè)總工作量為1，那么甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成〔1/6－1/8〕，二人合做時(shí)每小時(shí)完成〔1/6＋1/8〕。因?yàn)槎撕献鲂枰?÷〔1/6＋1/8〕］小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以〔1〕每小時(shí)甲比乙多做多少零件？24÷［1÷〔1/6＋1/8〕］＝7〔個(gè)〕〔2〕這批零件共有多少個(gè)？7÷〔1/6－1/8〕＝168〔個(gè)〕答：這批零件共有168個(gè)。解二上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成總工作量的4－3/4＋3＝1/7所以，這批零件共有24÷1/7＝168〔個(gè)〕例3一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？解必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來(lái)方便，因此，我們?cè)O(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，那么甲乙丙三人的工作效率分別是60÷12＝560÷10＝660÷15＝4因此余下的工作量由乙丙合做還需要〔60－5×2〕÷〔6＋4〕＝5〔小時(shí)〕答：還需要5小時(shí)才能完成。也可以用〔1-1/12*2〕/〔1/10+1/15〕例4一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部裝有假設(shè)干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)翻開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿(mǎn)水池；當(dāng)翻開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿(mǎn)水池；現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿(mǎn)，至少要翻開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管？解注〔排〕水問(wèn)題是一類(lèi)特殊的工程問(wèn)題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿(mǎn)，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量〔一池水〕。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，那么4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為〔1×4×5〕，2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為〔1×2×15〕，從而可知每小時(shí)的排水量為〔1×2×15－1×4×5〕÷〔15－5〕＝1即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為1×4×5－1×5＝15又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為1×2，所以，2小時(shí)內(nèi)注滿(mǎn)一池水至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？〔15＋1×2〕÷〔1×2〕＝8.5≈9〔個(gè)〕答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。16正反比例問(wèn)題【含義】?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定〔即商一定〕，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用?！緮?shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類(lèi)應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去解決，而且比擬簡(jiǎn)捷。【解題思路和方法】解決這類(lèi)問(wèn)題的重要方法是：把分率〔倍數(shù)〕轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問(wèn)題與前面講過(guò)的倍比問(wèn)題根本類(lèi)似。例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？解由條件知，公路總長(zhǎng)不變。原已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶〔1＋3〕＝1∶4＝3∶12現(xiàn)已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶〔1＋2〕＝1∶3＝4∶12比擬以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份，那么300米相當(dāng)于〔4－3〕份，從而知公路總長(zhǎng)為300÷〔4－3〕×12＝3600〔米〕答：這條公路總長(zhǎng)3600米。例2張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？解做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題那么有28∶4＝91∶X28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3孫亮看《十萬(wàn)個(gè)為什么》這本書(shū)，每天看24頁(yè)，15天看完，如果每天看36頁(yè)，幾天就可以看完？解書(shū)的頁(yè)數(shù)一定，每天看的頁(yè)數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有24∶36＝X∶1536X＝24×15X＝10答：10天就可以看完。例4一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如下圖，求大矩形的面積。A252036B16解由面積÷寬＝長(zhǎng)可知，當(dāng)長(zhǎng)一定時(shí)，面積與寬成正比，所以每一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等，第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。因此，A∶36＝20∶1625∶B＝20∶16解這兩個(gè)比例，得A＝45B＝20所以，大矩形面積為45＋36＋25＋20＋20＋16＝162答：大矩形的面積是162.17按比例分配問(wèn)題【含義】所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成假設(shè)干份。這類(lèi)題的條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各局部占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。【數(shù)量關(guān)系】從條件看，總量和幾個(gè)局部量的比；從問(wèn)題看，求幾個(gè)局部量各是多少?？偡輸?shù)＝比的前后項(xiàng)之和【解題思路和方法】先把各局部量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各局部占總量的幾分之幾〔以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子〕，再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各局部量的值。例1學(xué)校把植樹(shù)560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹(shù)多少棵？解總份數(shù)為47＋48＋45＝140一班植樹(shù)560×47/140＝188〔棵〕二班植樹(shù)560×48/140＝192〔棵〕三班植樹(shù)560×45/140＝180〔棵〕答：一、二、三班分別植樹(shù)188棵、192棵、180棵。例2用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米？解3＋4＋5＝1260×3/12＝15〔厘米〕60×4/12＝20〔厘米〕60×5/12＝25〔厘米〕答：三角形三條邊的長(zhǎng)分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。解如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，那么很容易得到1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶29＋6＋2＝1717×9/17＝917×6/17＝617×2/17＝2答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4某工廠(chǎng)第一、二、三車(chē)間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車(chē)間比第二車(chē)間少80人，三個(gè)車(chē)間共多少人？人數(shù)80人一共多少人？對(duì)應(yīng)的份數(shù)12－88＋12＋21解80÷〔12－8〕×〔8＋12＋21〕＝820〔人〕答：三個(gè)車(chē)間一共820人。18百分?jǐn)?shù)問(wèn)題【含義】百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分，而百分?jǐn)?shù)那么無(wú)需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率〞，也可以表示“量〞，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率〞；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專(zhuān)門(mén)的記號(hào)“%〞。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)〞這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)〞、“標(biāo)準(zhǔn)量〞“比擬量〞三者之間的數(shù)量關(guān)系：百分?jǐn)?shù)＝比擬量÷標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量＝比擬量÷百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】一般有三種根本類(lèi)型：〔1〕求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；〔2〕一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；〔3〕一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。例1倉(cāng)庫(kù)里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解〔1〕用去的占720÷〔720＋6480〕＝10%〔2〕剩下的占6480÷〔720＋6480〕＝90%答：用去了10%，剩下90%。例2紅旗化工廠(chǎng)有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？解此題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比擬量所以〔525－420〕÷525＝0.2＝20%或者1－420÷525＝0.2＝20%答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3紅旗化工廠(chǎng)有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？解此題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比擬量，因此〔525－420〕÷420＝0.25＝25%或者525÷420－1＝0.25＝25%答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4紅旗化工廠(chǎng)有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠(chǎng)職工總數(shù)的百分之幾？解〔1〕男職工占420÷〔420＋525〕＝0.444＝44.4%〔2〕女職工占525÷〔420＋525〕＝0.556＝55.6%答：男職工占全廠(chǎng)職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。例5百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的百分率有：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)÷原來(lái)基數(shù)×100%合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%出勤率＝實(shí)際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%出勤率＝實(shí)際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%缺席率＝缺席人數(shù)÷實(shí)有總?cè)藬?shù)×100%發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗(yàn)種子總數(shù)×100%成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%出油率＝油的重量÷油料重量×100%廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%19“牛吃草〞問(wèn)題【含義】“牛吃草〞問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題〞。這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素?！緮?shù)量關(guān)系】草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)【解題思路和方法】解這類(lèi)題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。例1一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問(wèn)多少頭牛5天可以把草吃完？解草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完〞，就是說(shuō)5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話(huà)，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：〔1〕求草每天的生長(zhǎng)量因?yàn)?，一方?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即〔1×10×20〕；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長(zhǎng)量同理1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量由此可知〔20－10〕天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為1×10×20－1×15×10＝50因此，草每天的生長(zhǎng)量為50÷〔20－10〕＝5〔2〕求原有草量原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長(zhǎng)量＝1×15×10－5×10＝100〔3〕求5天內(nèi)草總量5天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長(zhǎng)量＝100＋5×5＝125〔4〕求多少頭牛5天吃完草因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5＝25〔頭〕答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？解這是一道變相的“牛吃草〞問(wèn)題。與上題不同的是，最后一問(wèn)給出了人數(shù)〔相當(dāng)于“牛數(shù)〞〕，求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：〔1〕求每小時(shí)進(jìn)水量因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量所以，〔10－3〕小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為1×5×10－1×12×3＝14因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為14÷〔10－3〕＝2〔2〕求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－2×3＝30〔3〕求17人幾小時(shí)淘完17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為〔17－2〕，所以17人淘完水的時(shí)間是30÷〔17－2〕＝2〔小時(shí)〕答：17人2小時(shí)可以淘完水。20雞兔同籠問(wèn)題【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題?；\子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題：假設(shè)全都是雞，那么有兔數(shù)＝〔實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)〕÷〔4－2〕假設(shè)全都是兔，那么有雞數(shù)＝〔4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)〕÷〔4－2〕第二雞兔同籠問(wèn)題：假設(shè)全都是雞，那么有兔數(shù)＝〔2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差〕÷〔4＋2〕假設(shè)全都是兔，那么有雞數(shù)＝〔4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差〕÷〔4＋2〕【解題思路和方法】解答此類(lèi)題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類(lèi)問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。例1長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？解假設(shè)35只全為兔，那么雞數(shù)＝〔4×35－94〕÷〔4－2〕＝23〔只〕兔數(shù)＝35－23＝12〔只〕也可以先假設(shè)35只全為雞，那么兔數(shù)＝〔94－2×35〕÷〔4－2〕＝12〔只〕雞數(shù)＝35－12＝23〔只〕答：有雞23只，有兔12只。例22畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？解此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠〞問(wèn)題?！懊慨€菠菜施肥〔1÷2〕千克〞與“每只雞有兩個(gè)腳〞相對(duì)應(yīng)，“每畝白菜施肥〔3÷5〕千克〞與“每只兔有4只腳〞相對(duì)應(yīng)，“16畝〞與“雞兔總數(shù)〞相對(duì)應(yīng)，“9千克〞與“雞兔總腳數(shù)〞相對(duì)應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，那么有白菜畝數(shù)＝〔9－1÷2×16〕÷〔3÷5－1÷2〕＝10〔畝〕答：白菜地有10畝。例3李老師用69元給學(xué)校買(mǎi)作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本3.20元，日記本每本0.70元。問(wèn)作業(yè)本和日記本各買(mǎi)了多少本？解此題可以變通為“雞兔同籠〞問(wèn)題。假設(shè)45本全都是日記本，那么有作業(yè)本數(shù)＝〔69－0.70×45〕÷〔3.20－0.70〕＝15〔本〕日記本數(shù)＝45－15＝30〔本〕答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例4〔第二雞兔同籠問(wèn)題〕雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問(wèn)雞與兔各多少只？解假設(shè)100只全都是雞，那么有兔數(shù)＝〔2×100－80〕÷〔4＋2〕＝20〔只〕雞數(shù)＝100－20＝80〔只〕答：有雞80只，有兔20只。例5有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，問(wèn)大小和尚各多少人？解假設(shè)全為大和尚，那么共吃饃〔3×100〕個(gè)，比實(shí)際多吃〔3×100－100〕個(gè)，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕?，因此我們?cè)诒ＷC和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小〞換“大〞，一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃〔3－1/3〕個(gè)。因此，共有小和尚〔3×100－100〕÷〔3－1/3〕＝75〔人〕共有大和尚100－75＝25〔人〕答：共有大和尚25人，有小和尚75人。21方陣問(wèn)題【含義】將假設(shè)干人或物依一定條件排成正方形〔簡(jiǎn)稱(chēng)方陣〕，根據(jù)條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】〔1〕方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：四周人數(shù)＝〔每邊人數(shù)－1〕×4每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1〔2〕方陣總?cè)藬?shù)的求法：實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)空心方陣：總?cè)藬?shù)＝〔外邊人數(shù)〕－〔內(nèi)邊人數(shù)〕內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2〔3〕假設(shè)將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，那么：總?cè)藬?shù)＝〔每邊人數(shù)－層數(shù)〕×層數(shù)×4【解題思路和方法】方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？解22×22＝484〔人〕答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。例2有一個(gè)3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。解10*10－〔10－3×2〕*〔10－3×2〕＝84〔人〕答：全方陣84人。例3有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？解〔1〕中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14〔人〕〔2〕中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6〔人〕〔3〕中空方陣的總?cè)藬?shù)＝14×14－6×6＝160〔人〕答：這隊(duì)學(xué)生共160人。例4一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，假設(shè)正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層，那么缺少9只棋子，問(wèn)有棋子多少個(gè)？解〔1〕縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13〔只〕〔2〕縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝〔13＋1〕÷2＝7〔只〕〔3〕原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40〔只〕答：棋子有40只。例5有一個(gè)三角形樹(shù)林，頂點(diǎn)上有1棵樹(shù)，以下每排的樹(shù)都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹(shù)。這個(gè)樹(shù)林一共有多少棵樹(shù)？解第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15〔棵〕第二種方法：〔5＋1〕×5÷2＝15〔棵〕答：這個(gè)三角形樹(shù)林一共有15棵樹(shù)。22商品利潤(rùn)問(wèn)題【含義】這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，包括本錢(qián)、利潤(rùn)、利潤(rùn)率和虧損、虧損率等方面的問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)利潤(rùn)率＝〔售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)〕÷進(jìn)貨價(jià)×100%售價(jià)＝進(jìn)貨價(jià)×〔1＋利潤(rùn)率〕虧損＝進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)虧損率＝〔進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)〕÷進(jìn)貨價(jià)×100%【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1某商品的平均價(jià)格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價(jià)到二月份的價(jià)格變動(dòng)情況如何？解設(shè)這種商品的原價(jià)為1，那么一月份售價(jià)為〔1＋10%〕，二月份的售價(jià)為〔1＋10%〕×〔1－10%〕，所以二月份售價(jià)比原價(jià)下降了1－〔1＋10%〕×〔1－10%〕＝1%答：二月份比原價(jià)下降了1%。例2某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷(xiāo)售。苗苗買(mǎi)了一件衣服用去52元，衣服原來(lái)按期望盈利30%定價(jià)，那么該店是虧本還是盈利？虧〔盈〕率是多少？解要知虧還是盈，得知實(shí)際售價(jià)52元比本錢(qián)少多少或多多少元，進(jìn)而需知本錢(qián)。因?yàn)?2元是原價(jià)的80%，所以原價(jià)為〔52÷80%〕元；又因?yàn)樵瓋r(jià)是按期望盈利30%定的，所以本錢(qián)為52÷80%÷〔1＋30%〕＝50〔元〕可以看出該店是盈利的，盈利率為〔52－50〕÷50＝4%答：該店是盈利的，盈利率是4%。例3本錢(qián)0.25元的作業(yè)本1200冊(cè)，按期望獲得40%的利潤(rùn)定價(jià)出售，當(dāng)銷(xiāo)售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤(rùn)是預(yù)定的86%。問(wèn)剩下的作業(yè)本出售時(shí)按定價(jià)打了多少折扣？解問(wèn)題是要計(jì)算剩下的作業(yè)本每?jī)?cè)實(shí)際售價(jià)是原定價(jià)的百分之幾。從題意可知，每?jī)?cè)的原定價(jià)是0.25×〔1＋40%〕，所以關(guān)鍵是求出剩下的每?jī)?cè)的實(shí)際售價(jià)，為此要知道剩下的每?jī)?cè)盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實(shí)際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20〔元〕剩下的作業(yè)本每?jī)?cè)盈利7.20÷［1200×〔1－80%〕］＝0.03〔元〕又可知〔0.25＋0.03〕÷［0.25×〔1＋40%〕］＝80%答：剩下的作業(yè)本是按原定價(jià)的八折出售的。例4某種商品，甲店的進(jìn)貨價(jià)比乙店的進(jìn)貨價(jià)廉價(jià)10%，甲店按30%的利潤(rùn)定價(jià)，乙店按20%的利潤(rùn)定價(jià)，結(jié)果乙店的定價(jià)比甲店的定價(jià)貴6元，求乙店的定價(jià)。解設(shè)乙店的進(jìn)貨價(jià)為1，那么甲店的進(jìn)貨價(jià)為1－10%＝0.9甲店定價(jià)為0.9×〔1＋30%〕＝1.17乙店定價(jià)為1×〔1＋20%〕＝1.20由此可得乙店進(jìn)貨價(jià)為6÷〔1.20－1.17〕＝200〔元〕乙店定價(jià)為200×1.2＝240〔元〕答：乙店的定價(jià)是240元。23存款利率問(wèn)題【含義】把錢(qián)存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。【數(shù)量關(guān)系】年〔月〕利率＝利息÷本金÷存款年〔月〕數(shù)×100%利息＝本金×存款年〔月〕數(shù)×年〔月〕利率本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年〔月〕利率×存款年〔月〕數(shù)］【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1李大強(qiáng)存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長(zhǎng)。解因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是〔1488－1200〕元，所以總利率為〔1488－1200〕÷1200又因?yàn)樵吕剩源婵钤聰?shù)為〔1488－1200〕÷1200÷0.8%＝30〔月〕答：李大強(qiáng)的存款期是30月即兩年半。例2銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同時(shí)各存入1萬(wàn)元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時(shí)取出，那么，誰(shuí)的收益多？多多少元？解甲的總利息［10000×7.92%×2＋［10000×〔1＋7.92%×2〕］×8.28%×3＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47〔元〕乙的總利息10000×9%×5＝4500〔元〕4500－4461.47＝38.53〔元〕答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。24溶液濃度問(wèn)題【含義】在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題研究的主要是溶劑〔水或其它液體〕、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度?！緮?shù)量關(guān)系】溶液＝溶劑＋溶質(zhì)濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1爺爺有16%的糖水50克，〔1〕要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？〔2〕假設(shè)要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？解〔1〕需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30〔克〕〔2〕需要加糖多少克？50×〔1－16%〕÷〔1－30%〕－50＝10〔克〕答：〔1〕需要加水30克，〔2〕需要加糖10克。例2要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會(huì)多出600×〔30%－25%〕＝30〔克〕這是因?yàn)?0%的糖水多用了。于是，我們?cè)O(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來(lái)“換掉〞一局部30%的溶液。這樣，每“換掉〞100克，就會(huì)減少糖100×〔30%－15%〕＝15〔克〕所以需要“換掉〞30%的溶液〔即“換上〞15%的溶液〕100×〔30÷15〕＝200〔克〕由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液600－200＝400〔克〕答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一局部鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。解由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會(huì)知所求的濃度。下面列表推算：

甲容器乙容器原有鹽水500鹽500×12%＝60水500第一次把甲中一半倒入乙中后鹽水500÷2＝250鹽60÷2＝30鹽水500＋250＝750鹽30第而次把乙中一半倒入甲中后鹽水250＋375＝625鹽30＋15＝45鹽水750÷2＝375鹽30÷2＝15第三次使甲乙中鹽水同樣多鹽水500鹽45－9＝36鹽水500鹽45－36＋15＝24由以上推算可知，乙容器中最后鹽水的百分比濃度為24÷500＝4.8%答：乙容器中最后的百分比濃度是4.8%。25構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題【含義】這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實(shí)生活中常用的數(shù)學(xué)問(wèn)題。所謂“構(gòu)圖〞，就是設(shè)計(jì)出一種圖形；所謂“布數(shù)〞，就是把一定的數(shù)字填入圖中?！皹?gòu)圖布數(shù)〞問(wèn)題的關(guān)鍵是要符合所給的條件?！緮?shù)量關(guān)系】根據(jù)不同題目的要求而定?！窘忸}思路和方法】通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來(lái)構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例1十棵樹(shù)苗子，要栽五行子，每行四棵子，請(qǐng)你想法子。解符合題目要求的圖形應(yīng)是一個(gè)五角星。4×5÷2＝10因?yàn)槲褰切堑?條邊交叉重復(fù)，應(yīng)減去一半。例2九棵樹(shù)苗子，要栽十行子，每行三棵子，請(qǐng)你想法子。解符合題目要求的圖形是兩個(gè)倒立交叉的等腰三角形，一個(gè)三角形的頂點(diǎn)在另一個(gè)三角形底邊的中線(xiàn)上。例3九棵樹(shù)苗子，要栽三行子，每行四棵子，請(qǐng)你想法子。解符合題目要求的圖形是一個(gè)三角形，每邊栽4棵樹(shù)，三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)應(yīng)減去，正好9棵。4×3－3＝9例4把12拆成1到7這七個(gè)數(shù)中三個(gè)不同數(shù)的和，有幾種寫(xiě)法？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種圖形，填入這七個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)只填一處，且每條線(xiàn)上三個(gè)數(shù)的和都等于12。解共有五種寫(xiě)法，即12＝1＋4＋712＝1＋5＋612＝2＋3＋712＝2＋4＋612＝3＋4＋5在這五個(gè)算式中，4出現(xiàn)三次，其余的1、2、3、5、6、7各出現(xiàn)兩次，因此，4應(yīng)位于三條線(xiàn)的交點(diǎn)處，其余數(shù)都位于兩條線(xiàn)的交點(diǎn)處。26幻方問(wèn)題【含義】把n×n個(gè)自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對(duì)角線(xiàn)上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡(jiǎn)單的幻方是三級(jí)幻方。【數(shù)量關(guān)系】每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上各數(shù)的和都相等，這個(gè)“和〞叫做“幻和〞。三級(jí)幻方的幻和＝45÷3＝15五級(jí)幻方的幻和＝325÷5＝65【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對(duì)角線(xiàn)上各數(shù)的和〔即幻和〕，其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。例1把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)填入九個(gè)方格中，使每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上三個(gè)數(shù)的和相等。解幻和的3倍正好等于這九個(gè)數(shù)的和，所以幻和為〔1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9〕÷3＝45÷3＝15九個(gè)數(shù)在這八條線(xiàn)上反復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成幻和時(shí)，每個(gè)數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個(gè)數(shù)要用到四次〔即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對(duì)角線(xiàn)這四條線(xiàn)上〕，四角的四個(gè)數(shù)各用到三次，其余的四個(gè)數(shù)各用到兩次。看來(lái)，用到四次的“中心數(shù)〞地位重要，宜優(yōu)先考慮。設(shè)“中心數(shù)〞為Χ，因?yàn)棣冻霈F(xiàn)在四條線(xiàn)上，而每條線(xiàn)上三個(gè)數(shù)之和等于15，所以〔1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9〕＋〔4－1〕Χ＝15×4即45＋3Χ＝60所以Χ＝5接著用奇偶分析法尋找其余四個(gè)偶數(shù)的位置，它們276951438分別在四個(gè)角，再確定其余四個(gè)奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進(jìn)一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。例2把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個(gè)數(shù)填到九個(gè)方格中，使每行、每列、以及對(duì)角線(xiàn)上的各數(shù)之和都相等。解只有三行，三行用完了所給的9個(gè)數(shù)，所以每行三數(shù)之和為〔2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10〕÷3＝189274685103假設(shè)符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對(duì)角線(xiàn)共8行上的三個(gè)數(shù)之和都等于18，我們看18能寫(xiě)成哪三個(gè)數(shù)之和：最大數(shù)是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3最大數(shù)是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4最大數(shù)是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4最大數(shù)是7：18＝7＋6＋5剛好寫(xiě)成8個(gè)算式。首先確定正中間方格的數(shù)。第二橫行、第二豎行、兩個(gè)斜行都用到正中間方格的數(shù)，共用了四次。觀察上述8個(gè)算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應(yīng)填6。然后確定四個(gè)角的數(shù)。四個(gè)角的數(shù)都用了三次，而上述8個(gè)算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3應(yīng)填在四個(gè)角上。但還應(yīng)兼顧兩條對(duì)角線(xiàn)上三個(gè)數(shù)的和都為18。最后確定其它方格中的數(shù)。如圖。27抽屜原那么問(wèn)題【含義】把3只蘋(píng)果放進(jìn)兩個(gè)抽屜中，會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋(píng)果放進(jìn)一個(gè)抽屜，剩下的一個(gè)放進(jìn)另一個(gè)抽屜；要么把3只蘋(píng)果都放進(jìn)同一個(gè)抽屜中。這兩種情況可用一句話(huà)表示：一定有一個(gè)抽屜中放了2只或2只以上的蘋(píng)果。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原那么問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】根本的抽屜原那么是：如果把n＋1個(gè)物體〔也叫元素〕放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體〔元素〕。抽屜原那么可以推廣為：如果有m個(gè)抽屜，有k×m＋r〔0＜r≤m〕個(gè)元素那么至少有一個(gè)抽屜中要放〔k＋1〕個(gè)或更多的元素。通俗地說(shuō)，如果元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放〔k＋1〕個(gè)或更多的元素。【解題思路和方法】〔1〕改造抽屜，指出元素；〔2〕把元素放入〔或取出〕抽屜；〔3〕說(shuō)明理由，得出結(jié)論。例1育才小學(xué)有367個(gè)2000年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天的？解由于2000年是潤(rùn)年，全年共有366天，可以看作366個(gè)“抽屜〞，把367個(gè)1999年出生的學(xué)生看作367個(gè)“元素〞。367個(gè)“元素〞放進(jìn)366個(gè)“抽屜〞中，至少有一個(gè)“抽屜〞中放有2個(gè)或更多的“元素〞。這說(shuō)明至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天的。例2據(jù)說(shuō)人的頭發(fā)不超過(guò)20萬(wàn)跟，如果陜西省有3645萬(wàn)人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？解人的頭發(fā)不超過(guò)20萬(wàn)根，可看作20萬(wàn)個(gè)“抽屜〞，3645萬(wàn)人可看作3645萬(wàn)個(gè)“元素〞，把3645萬(wàn)個(gè)“元素〞放到20萬(wàn)個(gè)“抽屜〞中，得到3645÷20＝182……5根據(jù)抽屜原那么的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。例3一個(gè)袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個(gè)，白球9個(gè)，黃球8個(gè)，藍(lán)球2個(gè)。某人閉著眼睛從中取出假設(shè)干個(gè)，試問(wèn)他至少要取多少個(gè)球，才能保證至少有4個(gè)球顏色相同？解把四種顏色的球的總數(shù)〔3＋3＋3＋2〕＝11看作11個(gè)“抽屜〞，那么，至少要取〔11＋1〕個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。答；他至少要取12個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。28公約公倍問(wèn)題【含義】需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來(lái)解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來(lái)解答。【解題思路和方法】先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法〞。例1一張硬紙板長(zhǎng)60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成假設(shè)干個(gè)大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問(wèn)正方形的邊長(zhǎng)是多少？解硬紙板的長(zhǎng)和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長(zhǎng)。60和56的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊長(zhǎng)是4厘米。例2甲、乙、丙三輛汽車(chē)在環(huán)形馬路上同向行駛，甲車(chē)行一周要36分鐘，乙車(chē)行一周要30分鐘，丙車(chē)行一周要48分鐘，三輛汽車(chē)同時(shí)從同一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，問(wèn)至少要多少時(shí)間這三輛汽車(chē)才能同時(shí)又在起點(diǎn)相遇