高考高中數(shù)學(xué)必考80個(gè)考點(diǎn)詳解總結(jié)

高考高中數(shù)學(xué)必考80個(gè)考點(diǎn)詳解總結(jié)

?【集合】摩根定律

在命題邏輯中，若P、0是兩命題，則P與0的“且”與“或”關(guān)系存在下面的

邏輯：

非（尸且0）=（非尸）或（非0）

非（P或0）=（非P）且（非。）

?【函數(shù)】三次函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)

函數(shù)/（x）=ax3+〃x2+cx+d=0的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)而滿足r（xo）=O,其中易求

bbb

出X。二一丁，即對(duì)稱中心坐標(biāo)為（-?,/（一?））

JU3a3a

【函數(shù)】指數(shù)變種型對(duì)稱性質(zhì)

解析

函數(shù)，（x）=r-的對(duì)稱中心為（log/,；：；—）,（加，。，"。）。

a+m2m

記憶口訣：橫下對(duì)，縱半分。

?【函數(shù)】抽象函數(shù)周期

1.f（x+a）+f（x+h）=c（c為常數(shù)目"Wb）

T=2\b-a\

2.f（x+a）?f（x+b）=c（c為常數(shù)目。工方）

T=2\h-a\

【函數(shù)】抽象函數(shù)的對(duì)稱性

1.7（X）滿足/（Q+x）=/S-x）則可以推出

/（幻關(guān)于直線X=3上2成軸對(duì)稱。

2

2.7（X）滿足，3+X）+/S-X）=C則可以推出

/（X）關(guān)于點(diǎn)（竽,成中心對(duì)稱。

【函數(shù)】對(duì)稱變周期性質(zhì)

口訣：兩次對(duì)稱成周期，兩軸兩心二倍差，一軸一心四倍差。

1.如果/(X)關(guān)于X=4對(duì)稱，且關(guān)于x=6對(duì)稱，則/(x)有周期性，

且T=2|b-a|

2.如果f(x)關(guān)于(*0)對(duì)稱，目關(guān)于(b,0)對(duì)稱，則人刈有周期性,

且T=2|b-a|

3.如果/(x)關(guān)于x=?對(duì)稱，且關(guān)于(b,0)對(duì)稱，則/(x)有周期性，

日T=4|b—a|

【三角函數(shù)】積化和差公式

解析

記憶口訣：異性為正弦，和差+號(hào)連，同性為余弦，差和一+連。

..ccos(a-0)—cos(a+0)

sin(Z-sinp=----------------------------

2

°cos(a-B)+cos(a+B)

cosacosp=-----------------------------

2

.csin(a+0)+sin(a-0)

sincz-cosp=---------------------------

/2

【三角函數(shù)】和差化積公式奇葩口訣

.解析

帥:sin哥:cos

..Q、.a+Pa-/3帥+帥=帥哥

sin?+sinp=2sin-------cos--------

"22

sina-sin6=2cos-+--sin—~~—帥一帥=哥帥

上22

ca+Ba-B

cosa+cospn=2cos-------cos--------哥十哥=哥哥

“22

cosa-cos13=-2sinsin———

“22哥一哥=負(fù)嫂嫂

【三角函數(shù)】萬(wàn)能公式

sin6=-----%cos0=-------g-tan6-=一）

1+tan"—1+t<in~一1—tan

222

（加方）/I

,+,an：L/一

輔肋勾股定理記憶：

斜鄰邊一加減方。/（勾股求）

?【三角函數(shù)】配湊角的方法

a=?一夕）+夕=（Q+夕）一夕仁憶9旦一(%叫

a+pa-p_/3+a(5-a222―

a-

2+2~2工")一~)

222”

2a=(a+p)+(a-0

a-/3=(a-Y)+(y-p)

n兀，兀、

—+a=——(——ct)

424

【解三角形】直角三角形的射影定理

若三角形。為直角三角形，且NA8C=W,

則AC2=ABAD

BC-=ABBD

CD2=ADBD

111

CD1-4C?+BC?

BC

?【解三角形】任意三角形射影定理

在三角形/8C中，a6c分別為N4N&NC的對(duì)邊，則任意一邊可由另兩邊及兩

角余弦值表示。

a=hcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

?【解三角形】恒等式拓展

解析

在三角形力8c中，q,b,c分別為N4,/B,NC的對(duì)邊

..■AABC

1sinA+sinn+sinC=4cos—cos—cos一

222

A.B.C

2.cosA+cos8+cosC=1+4sin—sin—sin—

222

3sin2A+sin2B+siifC=2+2cosAcosBcosC

4.cos2A+cos2B+cos2C=1-2COSACOSBCOSC

5.sin2A-sin2B=sin(A-B)sin(A+B)

6.tanA+tan5+tanC=tanA-tan5-tanC

【解三角形】中線定理

三角形一條中線兩側(cè)對(duì)應(yīng)邊平方和等于底邊一半的平方與該邊中線平方的和的2倍。

三角形ABC中，點(diǎn)。為8c邊中

點(diǎn)的，貝UAB2+AC2=2BO2+24￡>2或

AD-=1(2AB、2AC2-BC2)

【解三角形】角分線定理

三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。

中，力。為角的平分線

cuA6BD

則一=——

人」ACDC

【解三角形】相關(guān)圓半徑

設(shè)S為三角形面積，a、b、c為三角形三邊長(zhǎng)

2S

內(nèi)切圓半徑：r=

a+6+c

_abcabc

外接圓半徑：A=----=---------=--------=---------

452sin42sin/?2sinC

歐拉不等式：若三角形外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,則當(dāng)且僅當(dāng)正

三角形時(shí)等號(hào)成立。

【解三角形】三角不等式

在三角形Z6C中，a,b,c分別為N/.N8,NC的對(duì)邊

1.a2+b2+c2>2abcosC+2accosB+2bccosA

2.sinA>sinB=cos2A>cos28

3.在銳角三角形中

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

--111

tanA+tan3+tanC>-------1----------1--------

tanAtanBtanC

【解三角形】平行四邊形中的定值

平行四邊形對(duì)角線平方之和等于四條邊平方之和。

AC2+BD1=AB2+BC2+CD2+DA2=2AB2+1BC2

AD

BC

【解三角形】三角形面積公式（1）

公式—：S=%h?=；嘰=%%（底乘高公式）

公式二：S=—absinC=—acsinB--bcsinA（兩邊一夾角公式）

222

八——c?2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB

公式-'S=----------=-----------=-----------

2sin(8+C)2sin(A+C)2sin(A+8)

公式四：5=Jp（p-〃）（p-b）（p-c）;〃=++（海倫一秦九韶公式，三邊公式）

公式五：S=翳；R是三角形外接圓半徑（外接圓公式）

【解三角形】三角形面積公式（2）

公式六：5=27?2sinAsinBsinC（另一個(gè)外接同公式，$=警正弦定理打開(kāi)版）

4-A

公式七：S=；r（a+b+c）；，?是三角形內(nèi)切圓半徑（內(nèi)切圓公式）

公式八：S=7?r（sinA+sinB4-sinC）；〃是三角形內(nèi)切圓半徑，R是三角形外接圓半

徑（內(nèi)切圓外接圓混合版公式）

ARC

公式九：S=4/?r（cos-cos—cos—）;，?是三角形內(nèi)切圓半徑，R是三角形外接圓半

222

徑（另一個(gè)內(nèi)切圓外接圓混合版公式）

【解三角形】三角形面積公式(3)

公式十：S=!(c2sin2B+〃sin2C)(兩角對(duì)邊公式)

4

公式十一：S=j(c22sinBcosB+fo22sinCcosC)(上式的二倍角展開(kāi)式)

4

公式十二：S=^-(a2+-c2)tanC(C*90°)(三邊正切公式)

4

公式十三：5=p(p-a)tany；p=^(a+h+c)(另一個(gè)三邊正切公式)

【解三角形】三角形面積公式（4）

公式十四：$=不祠］珂-（刀.硝2（向量版公式）

公式十五：S=；k%-X%|；麗=（x”y）,版（坐標(biāo)版公式）

公式十六：S=一占）（以一片）-（馬一凡）（y?-M1；&X|,%）,B（X2以），C*3，乃）

（三點(diǎn)坐標(biāo)公式）

3,1

公式十七：5=1X,y21；/4（^,y,）,B（x2,y2）,C（x3,y3）；p=-（a+b+c）

X3%1

（三點(diǎn)坐標(biāo)行列式公式）

?【平面向量】?jī)蛇厰?shù)量積性質(zhì)

——a2+b2-

在△NBC中，角4B,。所對(duì)的邊分別是a,b,ct則CBCA=———

?【平面向量】三角形四心“點(diǎn)”性質(zhì)

解析

（1）況+礪+反=000是重心（中線交點(diǎn)）

（2）OAOB=OBOC=OCOAO是垂心（高線交點(diǎn)）

（3）aOA+bOB+cOC=0^O是內(nèi)心（角分線交點(diǎn)）一內(nèi)切圓圓心

（4）|dA|=|^B|=|（9c|?6＞是外心（中垂線交點(diǎn)）一外接圓圓心

【平面向量】三角形四心“線”性質(zhì)

。是平面上一定點(diǎn)，/8。是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足如下條件時(shí)，點(diǎn)P

軌跡一定通過(guò)三角形/8C的四心之一：

（I）OP=OA+Z（AB+AC）點(diǎn)P軌跡經(jīng)過(guò)的重心；

⑵OP=OA+點(diǎn)P粉跡經(jīng)過(guò)△48C的內(nèi)心;

OP=OA^AB^)

（3）++I點(diǎn)P軌跡經(jīng)過(guò)△/8C的垂心;

IAB|cosZB|AC|cosZC

—OB+OCABAC

（4）OP=-----+A(j=j----------+i=----------)點(diǎn)P軌,跡經(jīng)過(guò)△/8C的外心

2IAB|cosZB|4C|cosZC

（5）OP=OA+L：NB+裊)點(diǎn)P軌跡經(jīng)過(guò)△/8C的重心

?【平面向量】外心全心向量關(guān)系

已知△Z8C,。為其外心，〃為其垂心，則OH=OA+OB+OC

A

C

B

【數(shù)列】等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和求解公式

1.在已知等差數(shù)列通項(xiàng)公式例的前提下，可將含“項(xiàng)系數(shù)拆成兩半，一步寫出前

n項(xiàng)和S,的公式。=A+Bn

A

BB

t22

S.=(A+3"+“

2.在已知等差數(shù)列前〃項(xiàng)和S”的前提下，可將含〃的一次項(xiàng)系數(shù)先拆分出一個(gè)含

2

有〃2項(xiàng)的系數(shù)，一步寫出通項(xiàng)公式an.Sn=Cn+Dn

C-DAD

?【數(shù)列】等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和最值問(wèn)題

等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S"可寫成與〃有關(guān)的一個(gè)二次函數(shù).

即S.=g〃2+（q-g）〃=H〃2+3〃,則S“的最值可由An2+Bn的對(duì)稱軸間接確

定，可得〃（對(duì)稱軸）=!-3，即S,取最值時(shí)，〃的值一定是距離〃（對(duì)稱軸）

2a

最近的正整數(shù)。

?【數(shù)列】等差三項(xiàng)等比性質(zhì)

曦國(guó)ifc

等差數(shù)列｛%｝中"和，若品，見(jiàn)，與成等比數(shù)歹%則會(huì)=耳。

【數(shù)列】一次不動(dòng)點(diǎn)遞推性質(zhì)

不動(dòng)點(diǎn)：方程的〃*)=X根稱為函數(shù)/(X)的不動(dòng)點(diǎn)

利用遞推數(shù)列/1X)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系a?=f(an.y)所確定的數(shù)列化為等

比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.

若/(x)=ar+伙a，OMHl),p是/(X)的不動(dòng)點(diǎn)，M,腐足遞推關(guān)系?！?/(%),(〃>D

則an-p=a(an_l-p)i即｛?！耙籶｝是公比為a的等比數(shù)列.

【數(shù)列】分式1:1不動(dòng)點(diǎn)遞推性質(zhì)

不動(dòng)點(diǎn)：方程的f(x)=x根稱為函數(shù)/(X)的不動(dòng)點(diǎn)

利用遞推數(shù)列fix)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等

比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.

設(shè)f(x)=竺咎(c，O,ad-b*0),{/}滿足遞推關(guān)系為=/(%),(〃>1)

初值條件

a”-P_g-i-P,a-pc

(1)若/(X)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)PM,則一B(這里人)

(2)若/")只有唯一不動(dòng)點(diǎn)P,則-^―=—+(這里攵=二)

Qn-Pan-l-Pa+d

【數(shù)列】分式2:1不動(dòng)點(diǎn)遞推性質(zhì)

不動(dòng)點(diǎn)：方程的f(x)=x根稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)

利用遞推數(shù)列｛X)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系4產(chǎn)叭，,,“)所確定的數(shù)列化為等

比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.

ax"+hx+c

設(shè)函數(shù)/U)=-——L(4H0,eH0)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)項(xiàng),巧,且由〃向=/("“)

ex+f

確定著數(shù)列｛%｝,那么當(dāng)且僅當(dāng)b=0,e=2a時(shí),31土土幺二上產(chǎn)

“〃+2一看un-x2

【不等式】重要不等式

①當(dāng)mn>0時(shí)am+"+bm+n>a"'bn+anhm

當(dāng)mn<0時(shí)an,+n+bm+n<a'"b"+a"bm

②a；+aj+…+屋2(%+…*

n

當(dāng)且僅當(dāng)《=%=???二%時(shí)等號(hào)成立

③當(dāng)〃>0時(shí)+1—VH<—尸<>[n——1

2yh7

④當(dāng)n>l時(shí)---------<-7<-------

nn+\，廣n-1n

【不等式】排序不等式

解析

①排序不等式1（切比雪夫不等式）

順序+…+Q也）〉q+…+&+…+

nnn

逆序（3+…?伍）<[+3+%[+…+4

nnn

②排序不等式2

當(dāng)x,<x2<x3<---<x/?^,<y2<y3<---<x,時(shí)

FM+超%+…+>/⑴y+%⑵％+??.+Xb（〃）y〃

多,消+七一乃+…+玉券

*順序和》亂序和》逆序和

【導(dǎo)數(shù)】洛必達(dá)法則

對(duì)于函數(shù)/(x)和g(x),若/(X)和g(x)在XT。處的極限值均為0或8,則

/(x)f(x)

“力在x-a處極限可以由今W在x7。處極限表示。

外町g(x)

即.若lim/(x)=O且limg(x)=O或lim/(x)=ooBlimg(x)=8

3?JXT4口x-^aFXT4J=Lx->a

(該條件可簡(jiǎn)記為0二或oo一)

0OO

/U)/(x)..廣(x)

InJIiIJhrm----=lim-----=lim-----=

—ag(X)X-g，(x)-ag〃(x)

【導(dǎo)數(shù)】泰勒展開(kāi)對(duì)數(shù)篇

解析

針對(duì)ln(l+x)的7hy/or展開(kāi)公式：ln(l+x)=x-不%2+工。+…+(一］)”—X”

23n

高中階段針對(duì)ln(1+x)的山河”展開(kāi)拓展不等式

1.1—<Inx<x—1

x

2.ln(x+l)<x<^'-1(x>T)

?【導(dǎo)數(shù)】泰勒展開(kāi)指數(shù)篇

針對(duì)e”的Taylor展開(kāi)公式：e'=l+x+1『+!/+...+，*"

23n

高中階段針對(duì)的Taylor展開(kāi)拓展不等式

1.e'>\+x(x>0)

2.eJ>l+x+y(x>0)

【直線與圓】定點(diǎn)直線系問(wèn)題

過(guò)平面內(nèi)任意兩條直線AX+4＞，+G=°與&'+約丫+。2=()交點(diǎn)的直線方程可寫

成A(+B,y+C,)+H(A2X+B2y+C,)=0,其中2,〃是不全為零的實(shí)數(shù)。

【直線與圓】角分線斜率

已知人見(jiàn)人為過(guò)原點(diǎn)的直線/11213的斜率,其中4是4和4的夾角平分線

則滿足下述轉(zhuǎn)化關(guān)系:

zE-i+Ja-K&y+困+左了

女1+&

?【直線與圓】四點(diǎn)共圓條件

若4B、C、。是圓錐曲線（二次曲線）上順次四點(diǎn)，則四點(diǎn)共圓（常用相交弦定理）

的一個(gè)充要條件是:直線/C、B。的斜率存在且不等于零，并有kAC+kBD=O

（%AC?kpD分別表示AC和BD的斜率）.

【圓錐曲線】焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式橢圓篇

焦點(diǎn)在X軸上的橢圓

關(guān)于左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=2a+e\xl-x2\

關(guān)于右焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=2a-e\xi-x2\

焦點(diǎn)在》軸上的橢圓

關(guān)于上焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=2a-e\yi-y^

關(guān)于下焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為乙=2。+66+必|

【圓錐曲線】焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式雙曲線篇

若雙曲線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)在雙曲線一支上

焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線

關(guān)于左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=\e\Xl+x2\+2a\

關(guān)于右焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=,k+q-24

焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

關(guān)于上焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=\e\yt+y^-2^

關(guān)于下焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為乙=忖,+必|+2。|

【圓錐曲線】焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式拋物線篇

焦點(diǎn)在X軸上的拋物線

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=p+\xt+x^

y

焦點(diǎn)在y軸上的拋物線

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為L(zhǎng)=p+|y+y21

B(X2,y2)、

【圓錐曲線】焦點(diǎn)弦長(zhǎng)角度公式

1.針對(duì)焦點(diǎn)在X軸上的圓錐曲線，

若。表示焦點(diǎn)弦所在直線傾斜角，則焦點(diǎn)弦心=匚總苑.

2.針對(duì)焦點(diǎn)在y軸上的圓錐曲線，

(1)若。表示焦點(diǎn)弦所在直線傾斜角，則焦點(diǎn)弦L=-

l-esin'ff

(2)若8表示焦點(diǎn)弦所在直線與焦點(diǎn)所在軸傾斜角，則焦點(diǎn)弦乙=「0

1-e-cos-0

\a2橢圓

------C

C

注：p=C-4雙曲線

C

P拋物線焦潮委\FH^p

?【圓錐曲線】圓錐曲線斜率定積定點(diǎn)性質(zhì)

針對(duì)焦點(diǎn)在X軸上的圓錐曲線，若圓錐曲線上有一定點(diǎn)P（x。，打）,過(guò)戶作兩條直

線與圓錐曲線交于不同兩點(diǎn)48。直線48在=4時(shí)，恒過(guò)定點(diǎn)。

①橢圓，直線在恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)（竺士3。，—半二%］且（石與）

yAM~hAxi~hya

②雙曲線，直線"恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)（駕名X。，-竺名方］且讓上

③拋物線，直線恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)（％-與,-%）且4Ho

【圓錐曲線】圓錐曲線斜率定和定點(diǎn)性質(zhì)

針對(duì)焦點(diǎn)在X軸上的圓錐曲線，若圓錐曲線上有一定點(diǎn)尸（X。,%）,過(guò)戶作兩條直

線與圓錐曲線交于不同兩點(diǎn)48。直線48在原=時(shí)，恒過(guò)定點(diǎn)。

①橢圓,直線"恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)（得'-贊且有。

②雙曲線，直線恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)-學(xué)，珞-%〕且AHO

Aa~A,

③拋物線，直線恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)一生2P且AwO

°A~T~y0

【圓錐曲線】頂點(diǎn)定值子弦定義

設(shè)點(diǎn)P是圓錐曲線的一個(gè)頂點(diǎn)。PA、尸8是該曲線過(guò)頂點(diǎn)尸的兩條弦。

(1)當(dāng)直線刈、PB斜率之積為定值7時(shí)，稱線段48為該曲線頂點(diǎn)尸的關(guān)于定

值2的斜率等積子弦；

(2)當(dāng)直線刈、PB斜率之和為定值2時(shí)，稱線段48為該曲線頂點(diǎn)P的關(guān)于

定值2的斜率等和子弦。

【圓錐曲線】頂點(diǎn)定值子弦性質(zhì)橢圓篇

X2V2

橢圓/+6=1（。＞10）

L2

當(dāng)枚0時(shí)若A=-,橢圓左右頂點(diǎn)的斜率等積子弦都與X軸平行

a

橢圓上下頂點(diǎn)的斜率等積子弦都與y軸平行

若為。勺，橢圓左右、上下頂點(diǎn)的斜率等積子弦所在直線分別過(guò)定點(diǎn)

a

左（一絲3）右（"巖.0）上。，塔警）下。，_塔空

[【。》一"）[b'-a-Z）\b--a-A

橢圓左右、上下頂點(diǎn)的斜率等和子弦所在直線分別過(guò)定點(diǎn)

左卜,?右"熊）上（"T--h]下（&”）

當(dāng)人=。時(shí)橢圓左右頂點(diǎn)的斜率等和子弦都與X軸垂直

橢國(guó)上下頂點(diǎn)的斜率等和子弦都與y軸垂直

【圓錐曲線】頂點(diǎn)定值子弦性質(zhì)雙曲線篇

22

雙曲線方=1（。＞0力＞0）

當(dāng)拄。時(shí)若入=-「，雙曲線左右頂點(diǎn)的斜率等積子弦都與X軸平行

八2

若雙曲線左右頂點(diǎn)的斜率等積子弦所在直線分別過(guò)定點(diǎn)

a

（里一爛,J右陷二空,o]

qI"認(rèn)+"J[〃-"+〃-J

雙曲線左右頂點(diǎn)的斜率等和子弦所在直線分別過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)2=。時(shí)雙曲線的左右頂點(diǎn)的斜率等和子弦都與x軸垂直

【圓錐曲線】頂點(diǎn)定值子弦性質(zhì)拋物線篇

解析

拋物線），=2px,（p>0）

當(dāng)瓦。時(shí)頂點(diǎn)的斜率等積子弦所在直線過(guò)定點(diǎn)（一￥，°）

頂點(diǎn)的斜率等和子弦所在直線過(guò)定點(diǎn)（0，?）

A

當(dāng)人二。時(shí)頂點(diǎn)的斜率等和子弦與拋物線對(duì)稱軸垂直

【圓錐曲線】“留一代一”切線技巧

若點(diǎn)尸（X。，%）在圓錐曲線上，則過(guò)點(diǎn)尸作圖錐曲線的切線方程可由原曲線方程改

寫，改寫方式統(tǒng)稱為“留一代一”

2X+Xo2y+%

X-TXX。y~^yy0

X1y.a、k）%_]

1.橢圓/+乒=1過(guò)點(diǎn)P（x。，）'。）的切線方程為林+官一1

2.雙曲線：■一方=1過(guò)點(diǎn)P（x°,y。）的切線方程為景-華=1

3.拋物線y2=2Px過(guò)點(diǎn)產(chǎn)（?%，%）的切線方程為?。=p（x+x°）

注：焦點(diǎn)在y軸時(shí)，此技巧也成立。

【圓錐曲線】“留一代一”切點(diǎn)弦技巧

若點(diǎn)P(x°,y°)在圓錐曲線外，過(guò)點(diǎn)P做圓錐曲線的兩條切線。切點(diǎn)分別為M、M

則線段被稱為切點(diǎn)弦，線段所在直線方程可由原方程改寫，改寫方式統(tǒng)

稱為“留一代一”：

224

1.橢圓0+2=1中線段MN所在直線方程為華+斗=1

22

a-b-ab

22

2.雙曲線.-左=1中線段A/N所在直線方程為華-曄=]

aba2b2

3.拋物線/=2px中線段MN所在直線方程為)/=p(x+x°)

注：焦點(diǎn)在)，軸時(shí)，此技巧也成立。

【圓錐曲線】“左留一右純代”中點(diǎn)弦技巧

“國(guó)ifc

若點(diǎn)?(/，%)在圓錐曲線內(nèi)，則以點(diǎn)P為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦所在直線方程可利用“左留

右純帶”技巧寫出。

2222

1.橢圓%+%=1以點(diǎn)P(x。,%)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為*+*=,+*■

2.雙曲線￡-￡=1以點(diǎn)P(vy)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為史—里=日一日

22

/h.尸(%,%)/修ab

22

3.拋物線y=2〃X以點(diǎn)p(Xo,，o)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為yy0-p(x+x0)=y0-2px0

注：焦點(diǎn)在y軸時(shí)，此技巧也成立。

【圓錐曲線】焦點(diǎn)弦兩焦半徑倒數(shù)和性質(zhì)

對(duì)于橢圓，雙曲線（焦點(diǎn)弦端點(diǎn)在同支）以及拋物線的情況：

112

焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑的倒數(shù)和為常數(shù)兩+兩=1?或焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑的

2

調(diào)和平均等于ep,即

IAf；l1%1

注：其中，p稱為焦準(zhǔn)距，即圓錐曲線焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。

22

橢圓：P=幺-C雙曲線：p=c--拋物線：P=P

?【圓錐曲線】垂直焦點(diǎn)弦倒數(shù)和性質(zhì)

圓錐曲線中相互垂直的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度的倒數(shù)和為常數(shù)。

以焦點(diǎn)在X軸上的橢圓為例，AB.CO是兩個(gè)互相垂直的焦點(diǎn)弦,

I1

則\AB\+\CD\

橢圓

P=雙曲線

[P拋物線

【圓錐曲線】橢圓的“直徑”定值性質(zhì)

林圓上動(dòng)點(diǎn)對(duì)“直徑”端點(diǎn)連線的斜率之積為定值

注：橢圓“直徑”即經(jīng)過(guò)橢圓中心的弦

為經(jīng)過(guò)中心的弦，即橢圓直徑，

點(diǎn)P在橢圓上，則^AP'kpB=kpc,kpD=-~^2

?【圓錐曲線】橢圓中的切線定值性質(zhì)

b2

橢圓任一切線斜率與對(duì)應(yīng)切點(diǎn)和中心連線斜率乘積為定值一/

直線/為橢國(guó)切線，點(diǎn)尸為切點(diǎn)，則

b2

【圓錐曲線】橢圓的中點(diǎn)弦定值性質(zhì)

.匐ifc

b2

橢圓內(nèi)任一弦所在直線斜率與弦中點(diǎn)和中心連線斜率乘積為定值一7

【圓錐曲線】雙曲線的“直徑”定值性質(zhì)

b2

雙曲線上動(dòng)點(diǎn)對(duì)雙曲線“直徑”端點(diǎn)連線的斜率之積為定值7

注：雙曲線“直徑”即經(jīng)過(guò)雙曲線中心的弦。

AB.為經(jīng)過(guò)中心的弦，即雙曲線直

徑。點(diǎn)P在雙曲線上則-kPB=kpc-kPD=^7

?【圓錐曲線】雙曲線的切線定值性質(zhì)

b2

雙曲線任一切線斜率與對(duì)應(yīng)切點(diǎn)和中心連線斜率乘積為定值7

直線/為雙曲線切線，點(diǎn)P為切點(diǎn),

,,b2

則勺￡?=/

【圓錐曲線】雙曲線的中點(diǎn)弦定值性質(zhì)

b2

雙曲線內(nèi)任一弦所在直線斜率與弦中點(diǎn)和中心連線斜率乘積為定值/

為雙曲線內(nèi)任一弦，點(diǎn)“為弦

【圓錐曲線】與直線相切條件

?國(guó)?

2y-7

①橢圓—+77=1(?>/?>0)與直線Ar+母+C=0(A-8,0)相切的充要條件

ab

是A2a2+B2b2=C2

X2v2

②雙曲線三一令=1(。>0力>0)與直線Ar+By+C=0(A?0)相切的充要條件

是AK—B2b2=0

【圓錐曲線】原點(diǎn)三角形面積最值

X2V2

橢圓—+^=\(a>h>0),存在一直線土+By+C=O與橢圓相交于MN兩點(diǎn),

a~b'

則原點(diǎn)三角形OMN的面積最大值為gab.當(dāng)且僅當(dāng)A2a2+B2b2=2cz時(shí)取得最

值。

【圓錐曲線】焦通徑長(zhǎng)性質(zhì)

焦通徑：經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)做垂直于焦點(diǎn)所在軸的直線與圓錐曲線交于MN兩點(diǎn)，則

稱為焦通徑。

2b2

橢圓、雙曲線通徑長(zhǎng)——拋物線通徑長(zhǎng)2P

【圓錐曲線】焦點(diǎn)三角形面積

1.稠圓焦點(diǎn)三角形面積只和短軸長(zhǎng)與焦點(diǎn)三角形頂角o正切值相關(guān)

已知點(diǎn)尸在橢圓上，且不是長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，耳，鳥(niǎo)分別為橢圓的兩焦點(diǎn)，若N-P8=6

,e

則=h'*tan

2.雙曲線焦點(diǎn)三角形面積只和短軸長(zhǎng)與焦點(diǎn)三角形頂角e正切值相關(guān)

已知點(diǎn)尸在橢圓上，且不是長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)看,人分別為橢圓的西隹占.若/片尸鳥(niǎo)=e

【圓錐曲線】橢圓的相反斜率弦性質(zhì)

若橢圓焦點(diǎn)在X軸上，過(guò)橢圓上一點(diǎn)玳為，為）,作斜率互為相反數(shù)的兩條直線’”也

與橢圓分別交于另外兩點(diǎn)4B,則直線的斜率為定值紈.

a%

Pg,%)&,+&：=°

L今

ay0

【圓錐曲線】雙曲線與漸近線有關(guān)四邊形面積

過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作兩條漸近線的平行線，則這兩條平行線與漸近線圍成的四

邊形面積為y.

【立體幾何】長(zhǎng)方體對(duì)角線相關(guān)結(jié)論

解析

?①長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別是a，B，y

貝I」sin2df+sin2/?+sin2y=2

cos2a+cos2p+cos2y=1

②長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三個(gè)面所成角分別是a，B，y

則sin2a+sin2p+sin2y=1

cos2a+cos2P+cos2y=2

【立體幾何】寫平面標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

①求平面法向量n=(a,h,c)

②任選平面上一點(diǎn)P(mnr)

③寫平面標(biāo)準(zhǔn)方程0(X-，〃)+/?(y-n)+c(z-r)=O

④彳匕簡(jiǎn)ax+by+cz-am-bn-cr=O

【立體幾何】計(jì)算點(diǎn)面距離公式

■-匐?

平面方程Ax+Bv+Cz+￡>=0

點(diǎn)P坐標(biāo)（機(jī),〃/）P(〃?,〃/)

_\Am+Bn+Cr+D\

‘心=JA'B、/

可類比點(diǎn)到直線距離公式。

?【立體幾何】?jī)?nèi)切球半徑公式

盛IJifc

若〃面體有內(nèi)切球，目/為〃面體體積，s為〃面體表面積，則內(nèi)切球半徑

【立體幾何】雙垂面外接球

棱錐有兩個(gè)面互相垂直，也即頂點(diǎn)尸在底面的投影在其中一棱上。

設(shè)這兩個(gè)垂面外接圓半徑分別為八心,交線長(zhǎng)為/,

32

則外接球半徑A滿足/?=<+r2

平面PAB,平面ABC