新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章復(fù)數(shù)7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.2.1復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義課件新人教A版必修第二冊

第七章復(fù)數(shù)7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義必備知識?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則，理解復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).必備知識?探新知

復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則

知識點

1設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＋z2＝____________________，z1－z2＝____________________.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律

知識點

2(1)交換律：__________________；(2)結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝__________________.z1＋z2＝z2＋z1z1＋(z2＋z3)[拓展]

1．對復(fù)數(shù)的加法法則的理解．(1)兩個復(fù)數(shù)相加，類似于兩個多項式相加：實部與實部相加，虛部與虛部相加．很明顯，兩個復(fù)數(shù)的和仍然是一個確定的復(fù)數(shù)．但是兩個虛數(shù)之和不一定是一個虛數(shù)，如(－i)＋i＝0.(2)當(dāng)z1，z2都是實數(shù)時，把它們看作復(fù)數(shù)時的和就是這兩個實數(shù)的和．(3)復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加的情形：各復(fù)數(shù)的實部分別相加，虛部分別相加．2．對復(fù)數(shù)的減法法則的理解．(1)兩個復(fù)數(shù)相減，類似于兩個多項式相減：把z＝a＋bi(a，b∈R)看成關(guān)于“i”的多項式，則復(fù)數(shù)的減法類似于多項式的減法，只需要“合并同類項”就可以了．(2)很明顯，兩個復(fù)數(shù)的差是一個確定的復(fù)數(shù)．但是兩個虛數(shù)之差不一定是一個虛數(shù)，如(3＋2i)－2i＝3.3．運(yùn)算律：實數(shù)加法的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍成立．實數(shù)的移項法則在復(fù)數(shù)中仍然成立．4．運(yùn)算結(jié)果：兩個復(fù)數(shù)的和(差)是唯一確定的復(fù)數(shù)．練一練：1．已知復(fù)數(shù)z1＝5＋3i，z2＝3－7i，則z1＋z2等于(

)A．－4i B．8C．8－4i D．2＋10i[解析]

z1＋z2＝5＋3i＋3－7i＝8－4i.2．已知復(fù)數(shù)z＋3i－3＝3－3i，則z＝(

)A．0 B．6iC．6 D．6－6i[解析]

∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.CD復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

知識點

3A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8iC復(fù)平面內(nèi)兩點間的距離

知識點

4想一想：類比絕對值|x－x0|的幾何意，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？提示：|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點之間的距離.關(guān)鍵能力?攻重難

(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)；(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[分析]

根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求解．題|型|探|究題型一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算典例1[解析]

(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)＝(1＋7－5)＋(2－11－6)i＝3－15i.(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]＝5i－(7＋5i)＝－7.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．[歸納提升]

復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的法則(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算實質(zhì)就是將實部與實部相加減，虛部與虛部相加減之后分別作為結(jié)果的實部與虛部，因此要準(zhǔn)確地提取復(fù)數(shù)的實部與虛部．(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以類比多項式的運(yùn)算(類似于合并同類項)：若有括號，括號優(yōu)先；若無括號，可以從左到右依次進(jìn)行計算．

計算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．[解析]

(1)原式＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.(2)原式＝(－1＋i)＋1＋(1＋i)＝(－1＋1＋1)＋(1＋1)i＝1＋2i.對點練習(xí)?題型二復(fù)數(shù)加、減法及復(fù)數(shù)模的幾何意義

如圖，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為0,3＋2i，－2＋4i，試求：典例2[分析]

要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量的相等直接給出所求的結(jié)論．[歸納提升]

利用復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義解題的技巧及常見結(jié)論(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理．(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中．

已知四邊形ABCD是復(fù)平面上的平行四邊形，頂點A，B，C分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)－5－2i，－4＋5i,2，求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)及對角線AC，BD的長．對點練習(xí)?[解析]

如圖，因為AC與BD的交點M是各自的中點，題型三復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的應(yīng)用

(1)如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(

)典例3A[分析]

涉及復(fù)數(shù)模的最值問題以及點的軌跡問題，均可從兩點間距離公式的復(fù)數(shù)表達(dá)形式入手進(jìn)行分析判斷，然后通過幾何方法進(jìn)行求解．[解析]

(1)設(shè)復(fù)數(shù)－i，i，－1－i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉(zhuǎn)化為：動點Z在線段Z1Z2上移動，求|ZZ3|的最小值，因為|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.[歸納提升]

兩個復(fù)數(shù)差的模的幾何意義(1)|z－z0|表示復(fù)數(shù)z，z0的對應(yīng)點之間的距離，在應(yīng)用時，要把絕對值號內(nèi)變?yōu)閮蓮?fù)數(shù)差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0對應(yīng)的點為圓心，r為半徑的圓．

若本例(2)條件改為已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．[解析]

因為|z|＝1且z∈C，作圖如圖：對點練習(xí)?易|錯|警|示誤解復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義

A，B分別是復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，O是原點，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則三角形AOB一定是(

)A．等腰三角形

B．直角三角形C．等邊三角形

D．等腰直角三角形[錯解]

A典例4B

△ABC的三個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應(yīng)的點是△ABC的(

)A．外心

B．內(nèi)心C．重心

D．垂心[解析]

由復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合條件可知復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點P到△ABC的頂點A、B、C距離相等，∴P為△ABC的外心．對點練習(xí)?A課堂檢測?固雙基1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1－z2＝(

)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i[解析]

∵復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.AA．4＋7i B．1＋3iC．4－4i D．－1＋6iC3．(多選題)下面關(guān)于|(3＋2i)－(1＋i)|的說法表述正確的是(

)A．點(3,2)與點(1,1)之間的距離B．點(3,2)與點(－1，－1)之間的距離C．點(2,1)到原點的距離D．坐標(biāo)為(－2，－1)的向量的模[解析]

由復(fù)數(shù)的幾何意義，知復(fù)數(shù)(3＋2i)，(1＋i)分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(3,2)與點(1,1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示點(3,2)與點(1,1)之間的距離，故A正確；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i，與向量(2,1)一一對應(yīng)，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i，與向量(－2，－1)一一對應(yīng)，故C、D正確．ACD4．如圖在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋2i，－2＋i,0，那么這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(

)A．3＋i B．3－iC．1－3i D．－1＋3iD5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點分別為A，B，若點A與B關(guān)于實軸對稱，且2z1