新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第1課時余弦定理課件新人教A版必修第二冊

第六章

平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理、正弦定理第1課時余弦定理必備知識?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向1．掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法．2．會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題．借助于向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，體會邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).必備知識?探新知

余弦定理

知識點(diǎn)

1文字語言三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和_______這兩邊與它們的夾角的余弦的積的_____倍符號語言在△ABC中，a2＝______________________，b2＝______________________，c2＝______________________推論

在△ABC中，cosA＝____________，cosB＝____________，

cosC＝____________減去兩b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC[提醒]

(1)利用余弦定理可以解兩類有關(guān)三角形的問題①已知兩邊及其夾角，解三角形；②已知三邊，解三角形．(2)余弦定理和勾股定理的關(guān)系在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，則cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，這說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．練一練：在△ABC中，符合余弦定理的是(

)A．c2＝a2＋b2－2abcosCB．c2＝a2－b2－2bccosAC．b2＝a2－c2－2bccosA[解析]

由余弦定理及其推論知只有A正確．故選A．A解三角形

知識點(diǎn)

2一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的_______.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做___________.元素解三角形想一想：已知三角形內(nèi)角的余弦值求角時，是否存在多解的情況？提示：在已知三角形內(nèi)角的余弦值求角時，由于函數(shù)y＝cosx在(0，π)上單調(diào)遞減，所以角的余弦值與角一一對應(yīng)，故不存在多解的情況．D150°關(guān)鍵能力?攻重難[分析]

(1)由余弦定理可直接求第三邊；(2)先由余弦定理建立方程，從中解出a的長．題|型|探|究題型一已知兩邊及一角解三角形典例1604或5[歸納提升]

已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)若已知角是其中一邊的對角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角．對點(diǎn)練習(xí)?B整理得AC2＋3·AC－40＝0，解得AC＝5或AC＝－8(不合題意，舍去)，所以AC＝5.題型二已知三邊解三角形(2)在△ABC中，a2－(b－c)2＝bc，則A＝(

)A．30° B．60°C．120° D．150°典例2B[歸納提升]

已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求一個角，繼續(xù)用余弦定理求另一個角，進(jìn)而求出第三個角．

(1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，則角B的余弦值是________.(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，則A等于(

)A．90° B．60°C．120° D．150°對點(diǎn)練習(xí)?B[解析]

(1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，(2)因?yàn)?a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，因?yàn)锳∈(0°，180°)，所以A＝60°.題型三判斷三角形的形狀

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，試判斷△ABC的形狀．[分析]

利用余弦定理將已知等式化為邊的關(guān)系．[解析]

已知等式變形為b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC，∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC＝(bcosC＋ccosB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC為直角三角形．典例3[歸納提升]

利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(1)利用余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．

在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷△ABC的形狀．對點(diǎn)練習(xí)?通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展開整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．易|錯|警|示忽略三角形三邊關(guān)系導(dǎo)致出錯

設(shè)2a＋1，a,2a－1為鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．典例4[錯解]

∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三邊，∴2a＋1是三邊長中最長的邊，設(shè)其所對角為θ，∵2a＋1，a,2a－1是鈍角三角形的三邊，[正解]

∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三邊，要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三邊，還需a＋(2a－1)>2a＋1，解得a>2.設(shè)最長邊2a＋1所對的角為θ，∴a的取值范圍是(2,8)．[誤區(qū)警示]

由于余弦定理及公式的變形較多，且涉及平方和開方等運(yùn)算，可能會因不細(xì)心而導(dǎo)致錯誤．在利用余弦定理求出三角形的三邊時，還要判斷一下三邊能否構(gòu)成三角形．

在鈍角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范圍．對點(diǎn)練習(xí)?[解析]

因?yàn)閍，b，c是△ABC的三邊，所以b－a<c<a＋b，所以2－1<t<1＋2＝3，所以1<t<3.又△ABC是鈍角三角形，且C是最大角，所以90°<C<180°.課堂檢測?固雙基1．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于(

)A．60° B．45°C．120° D．30°CBA．一定是銳角三角形

B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形

D．是銳角或直角三角形C[解析]

設(shè)BC＝4t，則AB＝5t(t>0)，由