新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示課件新人教A版必修第二冊

第六章

平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示必備知識?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標?定方向素養(yǎng)目標?定方向1．掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會進行平面向量數(shù)量積的坐標運算．2．能運用坐標表示兩個向量的夾角和模，會利用坐標運算判斷向量垂直．通過推導(dǎo)數(shù)量積的坐標運算及求夾角和模及向量垂直的判斷中體會邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).必備知識?探新知

平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標表示

知識點

1設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).數(shù)量積兩個向量的數(shù)量積等于________________________，即a·b＝________________兩個向量垂直a⊥b?___________________它們對應(yīng)坐標的乘積的和x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0想一想：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知兩向量的坐標，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．[提醒]

對比記憶平行與垂直的條件已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b與a⊥b的坐標表示如下：a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.兩個結(jié)論不能混淆，可以對比學(xué)習(xí)，分別簡記為：縱橫交錯積相等，橫橫縱縱積相反．練一練：1．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是(

)A．{2,3} B．{－1,6}C．{2} D．{6}[解析]

∵a⊥b，∴2(x－5)＋3x＝0，∴x＝2.故選C．C2．設(shè)a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，則(a＋b)·(a－c)等于(

)A．11 B．5C．－14 D．10[解析]

a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)．所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故選A．A平面向量的模與夾角的坐標表示

知識點

2設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則有下表：想一想：若兩個非零向量的夾角θ滿足cosθ>0，則兩向量的夾角θ一定是銳角，對嗎？提示：不對，當(dāng)兩向量同向共線時，cosθ＝1>0，但夾角θ＝0，不是銳角．20關(guān)鍵能力?攻重難

(1)(2023·遼寧朝陽期中)已知a＝(－2,1)，b＝(3,2)，則a·(a＋b)＝(

)A．1 B．2C．3 D．4題|型|探|究題型一數(shù)量積的坐標運算典例1A0[解析]

(1)因為a＝(－2,1)，b＝(3,2)，所以a·(a＋b)＝(－2,1)·(1,3)＝－2＋3＝1.故選A．(3)以A為坐標原點，AB為x軸、AD為y軸建立平面直角坐標系，[歸納提升]

平面向量數(shù)量積坐標運算的兩條途徑進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關(guān)的運算法則和運算性質(zhì)．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積運算；二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計算．

(1)設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝(

)A．12 B．0C．－3 D．－11(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝(

)A．6 B．5C．4 D．3(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，則向量c的坐標為__________________.對點練習(xí)?CC(3,4)或(4,3)[解析]

(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.(2)由題意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.題型二與平面向量模有關(guān)的問題

(1)平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝(

)C．4 D．12(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－1)，則|a－2b|＝______.典例2B[歸納提升]

求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運算：利用|a|2＝a2，將向量模的運算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題．(2)坐標表示下的運算：

(1)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a與b平行，則|a－b|＝______.(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,2)，且a⊥b，則|ma＋b|＝_______.對點練習(xí)?[解析]

(1)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a與b平行，所以2×x＝1×4，所以x＝2，所以b＝(2,4)，所以a－b＝(－1，－2)，10(2)因為向量a＝(1，－2)，b＝(m,2)，且a⊥b，所以1·m－2×2＝0，解得m＝4.所以b＝(4,2)．故ma＋b＝(4，－8)＋(4,2)＝(8，－6)，故答案為10.題型三向量夾角和垂直問題

已知點A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求證：AB⊥AD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標以及矩形ABCD兩對角線所夾銳角的余弦值．典例3[歸納提升]

利用數(shù)量積的坐標運算求兩向量夾角的步驟(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標表示公式求出這兩個向量的數(shù)量積．

(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與a－3b垂直，則k的值為_______.對點練習(xí)?1960°[解析]

(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．a(chǎn)－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b與a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，得k＝19.易|錯|警|示忽視向量共線致誤

已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a與b的夾角θ為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是(

)典例4A[錯解]

∵a與b的夾角θ為銳角，[正解]

∵a與b的夾角θ為銳角，∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a與b方向不同，[誤區(qū)警示]

對于非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，則θ為銳角?cosθ>0，且cosθ≠1?a·b>0，且a≠mb(m>0)；θ為鈍角?cosθ<0，且cosθ≠－1?a·b<0，且a≠mb(m<0)；θ為直角?cosθ＝0?a·b＝0.(1)若點A，B，C三點共線，求實數(shù)x，y滿足的關(guān)系；(2)若x＝1且∠ACB為鈍角，求實數(shù)y的取值范圍．對點練習(xí)?課堂檢測?固雙基1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，則x等于(

)A．3 B．－3[解析]

a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.A2．設(shè)向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．|a|＝|b| B．a(chǎn)·b＝0C．a(chǎn)∥b D．(a－b)⊥b[解析]

a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.D3．設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|2a－b|等于(

)A．4 B．5[解析]

由a∥b得y＋4＝0，D4．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為(

)B5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．[