正余弦定理應(yīng)用

2.必備結(jié)論教材提煉記一記(1)三角形的內(nèi)角和定理:在△ABC中,A+B+C=___,其變式有:A+B=_____,=_______等.(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系:sin(A+B)=_____;cos(A+B)=______;sin=_______;cos=_______.ππ-CsinC-cosC公式變形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa:b:c=sinA:sinB:sinC3.利用正弦定理可以實現(xiàn)邊角互化1、在中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=15，則a=

，b=

，c=

。

(1)若A為直角或鈍角時:思考：已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角,解的個數(shù)。ＡＢＣbaＡＣba已知邊a,b和角Ａ，求其他邊和角．a(chǎn)<bsinA無解a=bsinA一解bsinA<a<b兩解一解a≥bＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab(2)若A為銳角時:例3、已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對角，先判斷三角形是否有解？有解的作出解答。有解：3、4、5、6、8無解：1、2、7判斷滿足下列的三角形的個數(shù):(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o兩解一解兩解無解課內(nèi)練習(xí)：已知在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()A.x>2B.x<2C.2<x<2D.2<x<2【解析】選C.由題設(shè)條件可知x>2且xsin45°<2，所以2<x<2.2.(2014·綿陽模擬)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊分別為a,b，若2asinB=b，則角A=

.【解析】由正弦定理得2sinA·sinB=sinB,又sinB≠0,故sinA=,又0°＜A＜90°，所以A=60°.答案：60°推論：余弦定理三角形面積公式：2.已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,求c及S△ABC整理得：c2-8c+15=0解得：c1=3,c2=5提煉：設(shè)a是最長的邊，則△ABC是鈍角三角形△ABC是銳角三角形△ABC是直角三角形3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB等于()【解析】選D.因為所以所以sinB＝又因為a＞b，A＝60°，所以B＜60°，所以cosB＝在銳角△ABC中，a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊，A=2B”,試求

的取值范圍.【解析】由正弦定理得因為△ABC是銳角三角形，所以所以即，所以所以即的取值范圍是考點2余弦定理的應(yīng)用【典例2】(1)(2014·青島模擬)已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的取值范圍是()A.8＜a<10B.2＜a＜C.2＜a＜10D.＜a＜8(2)(2013·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=()【規(guī)范解答】(1)選B.若a是最大邊，則所以3＜a＜；若3是最大邊，則所以2<a<3；當a=3時符合題意，綜上2＜a＜，故選B.(2)選B.由題設(shè)條件可得?由余弦定理，得所以3.(2014·廈門模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，若acosB+bcosA=csinC,b2+c2-a2=bc，則角B=

.【解析】由b2+c2-a2=bc，得所以A=30°.由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，即sin(A+B)=sinCsinC=sinC，解得sinC=1(sinC=0舍去)，所以C=90°，所以B=60°.答案：60°1.(2014·嘉興模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為滿足(1)求角C.(2)求的取值范圍.【解析】(1)化簡得a2+b2-c2=ab，所以(2)因為A∈（0，），所以所以故的取值范圍為(1,2］.【規(guī)范解答5】正、余弦定理在三角形中的應(yīng)用【典例】(12分)(2013·江西高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+(cosA-sinA)cosB=0.(1)求角B的大小.(2)若a+c=1，求b的取值范圍.【解題】規(guī)范步驟,水到渠成(1)在△ABC中，因為A＋B＋C＝π，所以-cos(A+B)+cosAcosB-①sinAcosB=0，………2分即sinAsinB-sinAcosB=0,因為sinA≠0，所以sinB-cosB=0,……………4分cosB≠0，所以tanB=,又0＜B＜π，所以B＝.……………6分(2)由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB，因為a+c=1,cosB=，所以c=1-a，代入上式整理得

………9分又因為c=1-a，由0＜c＜1得0<a<1③,所以≤b2＜1，即≤b＜1.綜上，b的取值范圍是[，1)④.……12分【典例3】(1)(2013·陜西高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不確定(2)(2013·山東高考)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若B=2A，a=1，b=，則c=()A.2B.2C.D.1【規(guī)范解答】(1)選A.因為bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,即A=，所以三角形ABC是直角三角形.(2)選B.由B=2A,則sinB=sin2A，由正弦定理知即所以cosA=，所以所以C=π－B－A=，所以c2=a2+b2=1+3=4，故c=2.命題角度2:判斷三角形的形狀【典例4】(2013·陜西高考改編)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,且sin2B=sin2C,則△ABC的形狀為()A.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解題提示】由正弦定理對題中的兩個等式分別變形判斷.【規(guī)范解答】選D.因為bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,即A=,又因為sin2B=sin2C,所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,故△ABC為等腰直角三角形.課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練例4(1)若△ABC的面積等于，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積．【思路點撥】

利用余弦定理和三角形面積公式列方程組解方程組得a，b誘導(dǎo)公式、和差角的正弦公式、倍角公式用正弦定理將角化邊列方程組求a，b，進而求三角形面積課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【典例3】(2015·臺州模擬)在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinC=2sin(B+C)cosB.(1)判斷△ABC的形狀.(2)設(shè)向量m=(a+c,b),n=(b+a,c-a),若m∥n,求A.【解題提示】(1)利用A+B+C=π轉(zhuǎn)化角后去掉角C,得角A,B的關(guān)系,可判斷.(2)利用已知轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系,利用余弦定理可解.【規(guī)范解答】(1)在△ABC中,因為sinC=sin(A+B),sinA=sin(B+C),故sinC=sin(A+B)=2sin(B+C)cosB=2sinAcosB,所以sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB.即