江蘇省蘇北四市2024屆數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

江蘇省蘇北四市2024屆數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．2．在正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．4．已知某7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時這8個數(shù)的方差為（）A． B．3 C． D．45．已知向量，，，的夾角為45°，若，則（）A． B． C．2 D．36．下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．出租車車費與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量D．人的身高與體重7．已知平面向量的夾角為，且，則()A． B． C． D．8．中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行數(shù)里，請公仔細(xì)算相還”.其意思為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，請問從第幾天開始，走的路程少于30里（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知直線l過點且與直線垂直，則l的方程是（）A． B．C． D．10．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．記，則函數(shù)的最小值為__________．12．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項公式______.13．在中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為______.14．在四面體ABCD中，平面ABC，，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．15．已知，若，則______.16．如果，，則的值為________（用分?jǐn)?shù)形式表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某中學(xué)從高三男生中隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到下側(cè)的頻率分布表.組號分組頻率第1組[160，165）0.05第2組0.35第3組0.3第4組0.2第5組0.1合計1.00（Ⅰ）為了能對學(xué)生的體能做進(jìn)一步了解，該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行體能測試，問第3，4，5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進(jìn)行測試；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進(jìn)行引體向上測試，求第3組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率；（Ⅲ）試估計該中學(xué)高三年級男生身高的中位數(shù)位于第幾組中，并說明理由.18．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，三點滿足.(1)求證：三點共線；(2)已知的最小值為，求實數(shù)的值.19．已知函數(shù)，其中數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．（1）若，，分別寫出數(shù)列和數(shù)列的通項公式；（2）若是奇函數(shù)，且，求；（3）若函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，且當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，求的最小值．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.21．下表是某地一家超市在2018年一月份某一周內(nèi)周2到周6的時間與每天獲得的利潤（單位：萬元）的有關(guān)數(shù)據(jù)．星期星期2星期3星期4星期5星期6利潤23569（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求線性回歸直線方程；（2）估計星期日獲得的利潤為多少萬元．參考公式：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當(dāng)平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型．2、C【解題分析】

由題，連接，設(shè)其交平面于點易知平面，即（或其補角）為與平面所成的角，再利用等體積法求得AO的長度，即可求得的長度，可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)正方體的邊長為1，如圖，連接，設(shè)其交平面于點，則易知，，又，所以平面，即得平面.在三棱錐中，由等體積法知，，即，解得，所以.連接，則（或其補角）為與平面所成的角.在中，.故選C.【題目點撥】本題考查了立體幾何中線面角的求法，作出線面角是解題的關(guān)鍵，求高的長度會用到等體積法，屬于中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及特殊位置即可利用排除法選出正確答案．【題目詳解】因為函數(shù)定義域為，關(guān)于原點對稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除A，C；又因為，故排除B．故選：D．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)圖象的識別，涉及余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

由平均數(shù)公式求得原有7個數(shù)的和，可得新的8個數(shù)的平均數(shù)，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【題目詳解】因為7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，由平均數(shù)和方差的計算公式可得，.故選：C.【題目點撥】本題考查均值與方差的概念，掌握均值與方差的計算公式是解題關(guān)鍵．5、C【解題分析】

利用向量乘法公式得到答案.【題目詳解】向量，，，的夾角為45°故答案選C【題目點撥】本題考查了向量的運算，意在考查學(xué)生的計算能力.6、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的概念來進(jìn)行判斷。【題目詳解】對于A選項，出租車車費實行分段收費，與出租車行駛里程成分段函數(shù)關(guān)系；對于B選項，商品房的銷售總價等于商品房單位面積售價乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價與商品房建筑面積之間是一次函數(shù)關(guān)系；對于C選項，鐵塊的質(zhì)量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量是一次函數(shù)關(guān)系；對于D選項，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯(lián)系，因人而異，D選項中兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系。故選：D?！绢}目點撥】本題考查函數(shù)概念的理解，充分理解兩個變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學(xué)生對這些概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。7、B【解題分析】

將模平方后利用數(shù)量積的定義計算其結(jié)果，然后開根號得出的值．【題目詳解】，因此，，故選B．【題目點撥】本題考查利用平面向量的數(shù)量積來求平面向量的模，通常利用平方法結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義來進(jìn)行求解，考查計算能力，屬于中等題．8、B【解題分析】

由題意知，本題考查等比數(shù)列問題，此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，由求和公式可得首項，進(jìn)而求得答案．【題目詳解】設(shè)第一天的步數(shù)為，依題意知此人每天的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以，解得，由，，解得,故選B．【題目點撥】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力．9、A【解題分析】

直線2x–3y+1=0的斜率為則直線l的斜率為所以直線l的方程為故選A10、D【解題分析】

由共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實數(shù)的方程，解出即可.【題目詳解】向量，，且，，解得.故選：D.【題目點撥】本題考查利用共線向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)的值，解題時要熟悉共線向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】

利用求解.【題目詳解】，當(dāng)時，等號成立.故答案為：4【題目點撥】本題主要考查絕對值不等式求最值，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、【解題分析】

由題意得出，利用累加法可求出.【題目詳解】數(shù)列滿足，，，，因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用累加法求數(shù)列的通項，解題時要注意累加法對數(shù)列遞推公式的要求，考查計算能力，屬于中等題.13、【解題分析】

在中，延長交于，由重心的性質(zhì)，找到、和的關(guān)系，在和中利用余弦定理分別表示出和，求出，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式和的范圍求解即可.【題目詳解】畫出，連接，并延長交于，因為是的重心，所以為中點，因為，所以，由重心的性質(zhì)，，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，因為，所以，又，所以，在中，由余弦定理和基本不等式，，又，所以，故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查三角形重心的性質(zhì)、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

易得四面體為長方體的一角,再根據(jù)長方體體對角線等于外接球直徑,再利用對角線公式求解即可.【題目詳解】因為四面體中,平面,且,.故四面體是以為一個頂點的長方體一角.設(shè)則因為四面體的外接球的表面積為,設(shè)其半徑為,故.解得.故四面體的體積.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了長方體一角的四面體的外接球有關(guān)問題,需要注意長方體體對角線等于外接球直徑.屬于中檔題.15、【解題分析】

由條件利用正切函數(shù)的單調(diào)性直接求出的值．【題目詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，若，則，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查正切函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

先求出，可得，再代值計算即可.【題目詳解】.故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式、累乘相消法，考查了學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3組【解題分析】分析：（Ⅰ）由分層抽樣方法可得第組：＝人；第組：＝人；第組：＝人；（Ⅱ）利用列舉法可得個人抽取兩人共有中不同的結(jié)果，其中第組的兩位同學(xué)至少有一位同學(xué)被選中的情況有種，利用古典概型概率公式可得結(jié)果；（Ⅲ）由前兩組頻率和為，中位數(shù)可得在第組.詳解：（Ⅰ）因為第3，4，5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組學(xué)生人數(shù)分別為：第3組：＝3人；第4組：＝2人；第5組：＝1人.所以第3，4，5組分別抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）設(shè)第3組3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組2位同學(xué)為B1，B2，第5組1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽兩位同學(xué)的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.共有15種.其中第4組的兩位同學(xué)至少有一位同學(xué)被選中的情況分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12種可能.所以，第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率為0.8.答：第4組中至少有一名學(xué)生被抽中的概率為0.8.（Ⅲ）第3組點睛：本題主要考查分層抽樣以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于難題，利用古典概型概率公式求概率時，找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.18、（1）證明過程見解析；（2）【解題分析】試題分析：（1）只需證得即可。（2）由題意可求得的解析式，利用換元法轉(zhuǎn)換成，討論的單調(diào)性，可知其在上為單調(diào)減函數(shù)，得可解得的值。（1）證明：三點共線.（2），，令，其對稱軸方程為在上是減函數(shù)，。點睛：證明三點共線的方法有兩種：一、求出其中兩點所在直線方程，驗證第三點滿足直線方程即可；二、任取兩點構(gòu)造兩個向量，證明兩向量共線即可。在考試中經(jīng)常采用第二種方法，便于計算。證明四點共線一般采用第一種方法。19、（1），；（2）；（3）1【解題分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式即可求解；(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義得出，化簡得，解方程可得(3)將化成的形式，依題意有，從而得到，因為當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，所以，兩式相減即可求解.【題目詳解】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可得，；（2）因為，所以即，所以又由，得（3）記，則，其中；因為的圖像關(guān)于點對稱，所以①因為當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，所以②②-①得，因為，當(dāng)，時，取得最小值為0【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式的求法、三角函數(shù)的化簡以及正弦型函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查較全面，屬于難題.20、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）兩直線方程聯(lián)立可解得圓心坐標(biāo)，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進(jìn)而得切線方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線：上可設(shè)圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點，使，只需兩圓有公共點即可.【題目詳解】（1）由得圓心，∵圓的半徑為1，∴圓的方程為：，顯然切線的斜率一定存