2024屆深圳高級中學數(shù)學高一下期末檢測試題含解析

2024屆深圳高級中學數(shù)學高一下期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列，若，則()A． B． C．4 D．3．一個扇形的弧長與面積都是3，則這個扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．4．若，，與的夾角為，則的值是（）A． B． C． D．5．直線的斜率為（）A． B． C． D．6．如圖：樣本A和B分別取自兩個不同的總體，他們的樣本平均數(shù)分別為和，樣本標準差分別為和，則（）A．B．C．D．7．在正三棱錐中，，則側棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．若不等式的解集是，則的值為（）A．12 B． C． D．109．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，則該三棱柱外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．在等差數(shù)列中，，則的值（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線：與圓交于，兩點，過，分別作的垂線與軸交于，兩點，若，則__________．12．各項均為實數(shù)的等比數(shù)列的前項和為,已知成等差數(shù)列,則數(shù)列的公比為________.13．把數(shù)列的各項排成如圖所示三角形狀，記表示第m行、第n個數(shù)的位置，則在圖中的位置可記為____________．14．在等比數(shù)列{an}中，a115．如圖，曲線上的點與軸的正半軸上的點及原點構成一系列正三角形，，，設正三角形的邊長為（記為），.數(shù)列的通項公式=______.16．在上，滿足的的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的值.18．已知數(shù)列的前項和，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.19．已知點，，均在圓上.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓相交于,兩點，求的長；（3）設過點的直線與圓相交于、兩點，試問：是否存在直線，使得恰好平分的外接圓？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.20．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若點分別在上，且平面，試確定點的位置21．如圖，制圖工程師要用兩個同中心的邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形，由對稱性，圖中8個三角形都是全等的三角形，設.(1)試用表示的面積；(2)求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時的大小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

分析：先確定三角函數(shù)單調減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關系確定的最大值.詳解：因為，所以由得因此，從而的最大值為，選A.點睛：函數(shù)的性質：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.2、D【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項公式求得公比，進而求得的值.【題目詳解】∵，∴.故選：D.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列通項公式，考查運算求解能力，屬于基礎題.3、B【解題分析】

根據(jù)扇形的弧長與面積公式,代入已知條件即可求解.【題目詳解】設扇形的弧長為,面積為,半徑為,圓心角弧度數(shù)為由定義可得,代入解得rad故選:B【題目點撥】本題考查了扇形的弧長與面積公式應用,屬于基礎題.4、C【解題分析】

由題意可得||?||?cos，，再利用二倍角公式求得結果．【題目詳解】由題意可得||?||?cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故選：C．【題目點撥】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角公式的應用屬于基礎題．5、A【解題分析】

化直線方程為斜截式求解．【題目詳解】直線可化為，∴直線的斜率是，故選：A.【題目點撥】本題考查直線方程，將一般方程轉化為斜截式方程即可得直線的斜率，屬于基礎題.6、B【解題分析】

從圖形中可以看出樣本A的數(shù)據(jù)均不大于10，而樣本B的數(shù)據(jù)均不小于10，A中數(shù)據(jù)波動程度較大，B中數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，由此得到結論．【題目詳解】∵樣本A的數(shù)據(jù)均不大于10，而樣本B的數(shù)據(jù)均不小于10，，由圖可知A中數(shù)據(jù)波動程度較大，B中數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，.故選B.7、B【解題分析】

利用正三棱錐的性質，作出側棱與底面所成角，利用直角三角形進行計算.【題目詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因為是正三棱錐，所以面，所以為側棱與底面所成角，因為，所以，所以，故選B.【題目點撥】本題考查線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.8、B【解題分析】

將不等式解集轉化為對應方程的根，然后根據(jù)韋達定理求出方程中的參數(shù)，從而求出所求．【題目詳解】解：不等式的解集為，為方程的兩個根，根據(jù)韋達定理：解得，故選：B。【題目點撥】本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及韋達定理的運用和一元二次不等式解集與所對應一元二次方程根的關系，屬于中檔題．9、C【解題分析】

設球心為，的中心為，求出與，利用勾股定理求出外接球的半徑，代入球的表面積公式即可.【題目詳解】設球心為，的中心為，則，，球的半徑，所以球的表面積為.故選：C【題目點撥】本題考查多面體外接球問題，球的表面積公式，屬于中檔題.10、B【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質，求得，再由，即可求解.【題目詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，即，則，故選B.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質，以及特殊角的三角函數(shù)值的計算，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】

由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長可得答案.【題目詳解】因為，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，．故答案為4【題目點撥】解決直線與圓的綜合問題時，一方面，要注意運用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決．12、【解題分析】

根據(jù)成等差數(shù)列得到，計算得到答案.【題目詳解】成等差數(shù)列，則故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的綜合應用，意在考查學生對于數(shù)列公式的靈活運用.13、【解題分析】

利用第m行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，得的位置即可求解【題目詳解】因為第m行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，所以應該在第11行倒數(shù)第二個數(shù)，所以的位置為.故答案為：【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項和求和公式，發(fā)現(xiàn)每行個數(shù)成等差是關鍵，是基礎題14、64【解題分析】由題設可得q3=8?q=3，則a715、【解題分析】

先得出直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立得出的坐標，可得出，并設，根據(jù)題中條件找出數(shù)列的遞推關系式，結合遞推關系式選擇作差法求出數(shù)列的通項公式，即利用求出數(shù)列的通項公式?！绢}目詳解】設數(shù)列的前項和為，則點的坐標為，易知直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立，解得，；當時，點、，所以，點，直線的斜率為，則，即，等式兩邊平方并整理得，可得，以上兩式相減得，即，易知，所以，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差也為，因此，.故答案為：。【題目點撥】本題考查數(shù)列通項的求解，根據(jù)已知條件找出數(shù)列的遞推關系是解題的關鍵，在求通項公式時需結合遞推公式的結構選擇合適的方法求解數(shù)列的通項公式，考查分析問題的能力，屬于難題。16、【解題分析】

由，結合三角函數(shù)線，即可求解，得到答案.【題目詳解】如圖所示，因為，所以滿足的的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及三角函數(shù)線的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4.【解題分析】

（1）運用等差數(shù)列的性質求得公差d，再由及d求得通項公式即可．（2）利用前n項和公式直接求解即可.【題目詳解】（1）設數(shù)列的公差為，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式及項數(shù)的求法，考查了前n項和公式的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質的合理運用．18、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）當時，可求出，當時，利用可求出是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故而可求出其通項公式；（2）由裂項相消可求出其前項和.試題解析：（1）依題意：當時，有：，又，故，由①當時，有②，①－②得：化簡得：，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）得：，∴∴19、（1）；（2）；（3）存在，和.【解題分析】

（1）根據(jù)圓心在，的中垂線上，設圓心的坐標為，根據(jù)求出的值，從而可得結果；（2）利用點到直線的距離公式以及勾股定理可得結果；（3）首先驗證直線的斜率不存在時符合題意，然后斜率存在時，設出直線方程，與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理，根據(jù)列方程求解即可.【題目詳解】解：（1）由題意可得：圓心在直線上，設圓心的坐標為，則，解得，即圓心，所以半徑，所以圓的方程為；（2）圓心到直線的距離為：，；（3）設，由題意可得：，且的斜率均存在，即，當直線的斜率不存在時，，則，滿足，故直線滿足題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由，消去得，則，由得,即，即，解得：，所以直線的方程為，綜上所述，存在滿足條件的直線和.【題目點撥】本題考查直線和圓的位置關系，注意對于直線要研究其斜率是否存在，另外利用韋達定理可以達到設而不求的目的，本題是中檔題.20、（1）；（2）M為AB的中點，N為PC的中點【解題分析】

（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立空間直角坐標系，求平面PCD的一個法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設，利用平面PCD，所以∥，得到的方程，求解即可確定M,N的位置【題目詳解】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則從而設平面PCD的法向量則即不妨取則．所以平面PCD的一個法向量為．設直線PB與平面PCD所成角為所以即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為．（2）設則設則而所以．由（1）知，平面PCD的一個法向量為，因為平面PCD，所以∥．所以解得，．所以M為AB的中點，N為PC的中點．【題目點撥】本題考查空